統(tǒng)計學(xué)3–電子科大

第三講概率知識回顧第一章

概率論初步第一節(jié)基礎(chǔ)概念隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件樣本空間事件的關(guān)系計數(shù)法則一、概率基本概念1、隨機(jī)試驗在討論概率時，我們定義試驗為產(chǎn)生結(jié)果的任何過程。隨機(jī)試驗是指從某一研究目的出發(fā)，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察均稱為。試驗拋硬幣抽取一個零件檢查踢足球試驗結(jié)果正面，反面合格，不合格贏，輸，平局一、概率基本概念2、隨機(jī)試驗必須滿足的三個條件試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的。并且不止一個；每次試驗總只出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，試驗之前不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。3、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機(jī)事件。一、概率基本概念4、樣本空間試驗所有可能的結(jié)果所組成的集合，稱為樣本空間，常用S表示。若樣本空間有k個可能結(jié)果組成，則可記為S={w1,w2,…wk}。5、樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果。可用只包含一個元素w的單點(diǎn)集{w}表示，稱為樣本點(diǎn)。一、基本概念6、基本事件、基本事件組、復(fù)合事件√隨機(jī)事件的每一個可能結(jié)果稱為基本事件（不可再分）；√所有基本事件的全體稱為基本事件組；√若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件?！汤纾阂粡埣t顏色的撲克牌√一張紅色A.二、計數(shù)法則反反正反1.多步驟試驗（乘法原理）：如果一個試驗有K個步驟，第一步有n1個可能結(jié)果，第二步有n2個可能結(jié)果，如此等等，試驗結(jié)果的總數(shù)就是（n1)(n2)….(nk)例如：連續(xù)拋擲兩枚硬幣，結(jié)果為：正 （正，正）正（正，反）（反，正）（反，反）例：進(jìn)度控制中的樹形圖肯塔基電力公司（KP&P）進(jìn)度樹形圖（2，6）（2，7）（2，8）（3，6）（3，7）（3，8）（4，6）（4，7）（4，8）·階乘n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1·排列從n個不同對象中抽取r個（r<n）進(jìn)行有序放置稱為排列。若n=r叫全排列。=n(n-1)···(n-r+1)=2.組合計數(shù)法則·組合計數(shù)法則不考慮順序，從n個對象中每次抽取r個進(jìn)行組合，組合方法有組合計數(shù)法則的特征是不考慮抽樣排序例如：質(zhì)量檢查人員從5個零件中隨機(jī)抽取兩個進(jìn)行檢驗，共有多少種抽法。A

B

C

D

EAB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE三、事件的關(guān)系與概率1、必然事件和不可能事件必然事件是指在每一次試驗中必然出現(xiàn)的結(jié)果。最常見的必然事件是樣本空間S；不可能事件是指在每一次試驗中不可能出現(xiàn)的結(jié)果。2、事件包含若A發(fā)生

B發(fā)生，則事件A含于事件B,或事件B包含事件A。記為A

B。若A

B且B3、事件等A，則A和B相等，記作A=B。4、事件和(并)若事件A與B至少有一個發(fā)生這一事件，稱為A與B的和

(并)。記作A∪B若A、B互斥，則記為A+B。5、事件積(交)事件A與B同時發(fā)生這一事件，稱為A與B的交。記作A∩B或AB。6、事件差事件A發(fā)生而B不發(fā)生這一事件稱為A與B之差。記作A-B或

。三、事件的關(guān)系7、事件逆樣本空間S與事件A之差，即S-A這一事件稱為A的逆事件、對立事件或互補(bǔ)事件。記作

。8、互斥事件如果兩個事件A與B不可能同時發(fā)生，則稱A與B互不相容事件，或稱為互斥事件,記作AB=Φ。三、事件的關(guān)系在我們的生活中會面臨許多不確定性的決策問題概率1.00.5事件是否發(fā)生的可能性均等1、如果提高產(chǎn)品價格，則銷售下降的“機(jī)會”有多少？2、某種新的裝配方法會有多大的“可能性”提高生產(chǎn)率？3、某項工程按期完成的“可能”有多大？4、新投資贏利的機(jī)率有多大？解決這些不確定性問題的最有效的方法是建立概率這一概念基礎(chǔ)上的。概率是某事件將會發(fā)生的可能性的一種數(shù)量測度。因此概率可以用來測量上述4個事件不確定性的程度。概率的特點(diǎn)事件發(fā)生可能性遞增第二節(jié)概率的定義古典概率的定義概率的統(tǒng)計定義主觀概率的定義一、古典概率的定義一項試驗，如果只有有限種試驗結(jié)果n，并且每一種試驗出現(xiàn)的可能性相同，而事件A是由其中的m個結(jié)果所組成，那么就說事件A出現(xiàn)的概率是m/n,記為：P(A)=m/n各種試驗結(jié)果發(fā)生的可能性均相等二、概率的統(tǒng)計定義（試驗概率）對于試驗中其結(jié)果的出現(xiàn)并不具等可能性時，可

用通過大量觀察或重復(fù)實(shí)驗的方法求出事件的頻率，

再根據(jù)頻率隨實(shí)驗次數(shù)變化的趨勢來確定概率的方法，就是概率的統(tǒng)計定義。例：KP&P公司40項工程資料樣本點(diǎn)工程項目樣本點(diǎn)概率（2，6）60.15（2，7）60.15（2，8）20.05（3，6）40.10（3，7）80.20（3，8）20.05（4，6）20.05（4，7）40.10（4，8）60.15統(tǒng)計定義的缺陷在于需要大量的重復(fù)實(shí)驗，但有些實(shí)驗或不可能重復(fù)進(jìn)行（如社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、政治變革等。如俄國革命、文革）或代價太昂貴等，因此就以有理智和經(jīng)驗豐富的專家對某一事件進(jìn)行的主觀判斷作為其發(fā)生的概率。三、主觀概率的定義分配概率的基本要求每種試驗結(jié)果分配到的概率在0和1之間所有試驗結(jié)果的概率之和必須等于1。P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1第三節(jié)概率的基本運(yùn)算法則概率的加法定理概率的乘法定理一、概率的加法定理1、互斥事件的加法定理若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B)一般，若A1,A2,…,An中任取兩兩事件均互不相容，則有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)[[例]100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，5件廢品。問任抽1件產(chǎn)品是h合格品的概率是多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)=70/100+25/100=0.95KP&P公司案例：十個月完工的概率是多少？工期超過十個月的概率是多少？一、概率的加法定理2、相容事件的加法定理如果事件A、B同時出現(xiàn)，則事件A和事件B稱為聯(lián)合事件,記為AB。兩個相容事件A與B之和的概率為：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)[例]投資房地產(chǎn)賺錢的概率是0.7，投資電腦軟件業(yè)的成功率是0.8，同時投資的成功率是0.6，問投資二者中至少一種賺錢的概率為多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9加法定理舉例：小型裝配線工廠業(yè)績評價：50名雇員5人未及時完成工作，6人產(chǎn)品中有次品，2人未及時完成且出現(xiàn)次品。未按時完成任務(wù)定義為實(shí)踐L，有次品定義為事件DP(L)=5/50=0.1·

P(D)=6/50=0.12·

P(LD)=2/50=0.04工人被認(rèn)為低業(yè)績等級的概率為：·

P(L+D)=P(L)+P(D)-P(LD)=0.18二、概率的乘法定理P(AB)是事件A、B同時發(fā)生的概率；P(A)和P(B)是事件A或B的邊緣概率。1、相容事件的條件概率在事件A出現(xiàn)的條件下，事件B出現(xiàn)的概率，或者事件B出現(xiàn)的情況下A出現(xiàn)的概率。用P(A|B)表示。二、概率的乘法定理2、相容事件的聯(lián)合概率由條件概率可知，在一次實(shí)驗中事件A與事件B同時出現(xiàn)的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積。即：P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)二、概率的乘法定理3、相容事件邊緣概率相容事件的邊緣概率等于包括單一事件出現(xiàn)的那些聯(lián)合概率的總和。即：其中，ΣBi=S是必然事件，BiBj=Φ。二、概率的乘法定理4、獨(dú)立事件的概率事件A、B獨(dú)立

P(AB)=P(A)·P(B)一般，若A1,A2,…,An兩兩相互獨(dú)立P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。案例：美國某警察局問題共有警察1200人，男性960人，女性240人，過去兩年中，男性提升288人，女性提升36人（共提升324人）判斷：是否有性別歧視。升職信息表男性（M）女性(W)合計提升人28836324數(shù)未提升672204876人數(shù)合計9602401200由上表得出概率信息√

P(MY)=288/1200=0.24√

P(MN)=6721200=0.56√

P(WY)=361200=0.03√

P(WN)=2041200=0.17聯(lián)合概率分布及邊緣概率為男性（M）女性(W)合計提升（Y）0.240.030.27未提升(N)0.560.170.73合計0.800.201.00計算及結(jié)論：·

P(Y/M)=288/960=0.30·即：P(Y/M)=P(MY)/P(M)=0.24/0.8=0.30同理：P(Y/W)+P(YW)/P(W)=0.03/0.2=0.15結(jié)論：女性提升率明顯偏低。練習(xí)：p149,34第四節(jié)全概率公式和Bayes定理全概率公式Bayes定理—Bayes決策的基礎(chǔ)概率修正過程新信息先驗概率后驗概率Bayes定理一、全概率公式設(shè)A1,A2,…,An是一個完備事件組，事件B僅當(dāng)完備事件組中任意事件Ai(I=1,2,…,n)發(fā)生時才能發(fā)生，且P(Ai)>0，則有B=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn第四節(jié) 全概率公式和Bayes定理二、Bayes定理—Bayes決策的基礎(chǔ)若存在一個完整的和互斥的事件A1,A2,…An的集合，事件Ai中的某一個事件的出現(xiàn)是另外一個事件B發(fā)生的必要條件。P(B|Ai)和先驗概率P(Ai)是已知的。給定B已發(fā)生，事件Ai的后驗概率為：第四節(jié) 全概率公式和Bayes定理兩家供貨商(A1,A2)質(zhì)量等級分析：·

P(G/A1)=0.98·

P(G/A2)=0.95P(B/A1)=0.02P(B/A2)=0.05·

P(A1,G)=P(A1)P(G/A1)=0.65*0.98=0.6370·

P(A1,B)=0.0130·

P(A2,G)=P(A2)P(G/A2)=0.35*0.95=0.3325·

P(A2,B)=0.0175·購買零件后發(fā)現(xiàn)質(zhì)量問題，來自A1或A2的概率為·

P(A1/B)=0.4262

P(A2/B)=0.5738某公司有50000元富余資金，如用于某項開發(fā)事業(yè)估計成功率為9