數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期2.1 二元一次方程

專題2.1二元一次方程（組）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識(shí)二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的定義；2.會(huì)檢驗(yàn)一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程（組）的解.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．特別說(shuō)明：二元一次方程滿足的三個(gè)條件：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.要點(diǎn)二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一組解．特別說(shuō)明：(1)二元一次方程的解都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，如：．(2)一般情況下，二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，即有無(wú)數(shù)多對(duì)數(shù)適合這個(gè)二元一次方程．要點(diǎn)三、二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.特別說(shuō)明：組成方程組的兩個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，例如也是二元一次方程組.要點(diǎn)四、二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.特別說(shuō)明：（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對(duì)，它必須同時(shí)滿足方程組中的每一個(gè)方程，一般寫(xiě)成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)．【典型例題】類型一、二元一次方程1．方程是二元一次方程，求，．【答案】，．【分析】只含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都是1的方程叫二元一次方程.所以，，，可再求得答案.解:根據(jù)二元一次方程的定義，，，解得，．【點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：二元一次方程的定義.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解二元一次方程的定義.舉一反三：【變式1】已知方程mxm－1＋yn－8＝5是關(guān)于x，y的二元一次方程．求m2－2mn＋n2的值．【答案】49【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程，可得m、n的值，再根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．解：由方程＋＝5是關(guān)于x，y的二元一次方程，得：m－1＝1，n－8＝1，解得m＝2，n＝9，當(dāng)m＝2，n＝9時(shí)，m2－2mn＋n2＝(m－n)2＝(2－9)2＝49.【點(diǎn)撥】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．【變式2】是關(guān)于x、y的二元一次方程，求的值．【答案】0分析：二元一次方程滿足的條件是：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．詳解：根據(jù)題意得：，解得：．則．【點(diǎn)撥】：本題主要考查了二元一次方程的定義，關(guān)鍵在于根據(jù)二元一次方程的定義列出式子.類型二、二元一次方程的解2．判斷下列各組數(shù)是否是二元一次方程組的解．（1）（2）【答案】（1）不是方程組的解；（2）不是方程組的解【分析】根據(jù)二元一次方程的解，將二元一次方程的解代入方程計(jì)算即可．解：（1）把代入方程①中，左邊＝2，右邊＝2，所以是方程①的解．把x＝3，y＝-5代入方程②中，左邊＝，右邊＝，左邊≠右邊，所以不是方程②的解．所以不是方程組的解．（2）把代入方程①中，左邊＝-6，右邊＝2，所以左邊≠右邊，所以不是方程①的解，再把代入方程②中，左邊＝x+y＝-1，右邊＝-1，左邊＝右邊，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程組的解．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解，檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解．舉一反三：【變式1】下面4組數(shù)值中，哪些是二元一次方程的解？（1）（2）（3）（4）【答案】（2）；（4）【分析】把各項(xiàng)中x與y的值代入方程檢驗(yàn)即可．解：（1）、把代入方程得：左邊=4+6=2，右邊=10，∵左邊≠右邊，∴不是方程的解；（2）、把代入方程得：左邊=6+4=10，右邊=10，∵左邊=右邊，∴是方程的解；（3）、把代入方程得：左邊=8+3=11，右邊=10，∵左邊≠右邊，∴不是方程的解；（4）、把代入方程得：左邊=12-2=10，右邊=10，∵左邊=右邊，∴是方程的解；綜合上述，（2）、（4）是二元一次方程的解．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式2】已知方程2x-y+m-3=0的一個(gè)解是，求m的值．【答案】3【分析】將代入方程2x-y+m-3=0中進(jìn)行求解即可得．解：將代入方程2x-y+m-3=0得解得，則m的值為3．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將方程的解代入到方程中去．類型三、二元一次方程組3．判斷下列方程組是否為二元一次方程組，并說(shuō)明理由．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義可以判斷．解：（1）中含有3個(gè)未知數(shù)，所以它不是二元一次方程組；（2）中含有2個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程，該方程組符合二元一次方程組的定義，故它們是二元一次方程組；（3）該方程組中一個(gè)方程的含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2，所以它不是二元一次方程組；（4）該方程組中的一個(gè)方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程組；（5）中含有2個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程，該方程組符合二元一次方程組的定義，故它們是二元一次方程組．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的定義．一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”，細(xì)心觀察排除，得出正確答案．舉一反三：【變式1】已知方程組是二元一次方程組，求m的值．【答案】m=5解：依題意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，

解得：m=5．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的定義．二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程，②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)，③每個(gè)方程都是一次方程．【變式2】下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程，據(jù)此逐一判斷即可得答案．解：A、符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)正確；B、本方程組中含有3個(gè)未知數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、第一個(gè)方程式的xy是二次的，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x2是二次的，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的定義，掌握定義判斷方程組是否是二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.類型四、二元一次方程組的解4．判斷是否是二元一次方程組的解.【答案】不是【分析】將x和y的值帶入到二元一次方程組中看是否正確即可得出本題答案.解：將分別代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以不是方程組的解.【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程和二元一次方程組的解，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】已知下列五對(duì)數(shù)值:

①④(1)哪幾對(duì)數(shù)值是方程x-y=6的解?(2)哪幾對(duì)數(shù)值是方程2x+31y=-11的解?(3)指出方程組的解.【答案】（1）①②③（2）③④⑤（3）③【解析】【分析】(1)把每組數(shù)據(jù)代入方程進(jìn)行判斷即可；(2)把每組數(shù)據(jù)代入方程進(jìn)行判斷即可；(3)在①②中的公共解就是方程組的解．解：(1)只有①②③滿足方程x－y＝6,所以①②③是方程x－y＝6的解.(2)只有③④⑤滿足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.(3)③是方程組的解.【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的解和二元一次方程組的解，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.【變式2】已知方程，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程，使它與已知方程所組成的方程組的解為．【答案】本題答案不唯一，如方程組.分析：先檢驗(yàn)是否是方程的一個(gè)解，若是，則再構(gòu)造一個(gè)有一個(gè)解為的方程，并與已知方程組成一個(gè)方程組即可.解：把代入方程得：左邊=右邊，∴是方程的一個(gè)解，∵也是方程的一個(gè)解，∴方程組的解是，∴本題答案不唯一，方程組是其中一個(gè)符合要求的方程組.【點(diǎn)撥】：本題答案不唯一，理解“二元一次方程的解的定義”和“二元一次方程組的解的定義”是正確解題的關(guān)鍵.類型五、已知二元一次方程（組）求參數(shù)5．（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互為相反數(shù)，求xy的值．（2）已知是方程組2x+(m-1)y=2nx+y=1的解，求m+n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)互為相反數(shù)把解代入方程得2x+x=，解一元一次方程，解得x=，再求xy的值．（2）把解代入方程組求出二元一次方程組的解再求m+n即可．解：（1）∵x，y互為相反數(shù)，∴y=-x，將y=-x代入方程2x-y=中，得2x+x=，解得x=，∴y=．∴xy=．（2）∵是方程組的解，∴2×2+(m-1)×1=22×n+1=1解得∴m+n=-1．【點(diǎn)撥】本題考查互為相反數(shù)，二元一次方程組的解，解一元一次方程，代數(shù)式的值，掌握互為相反數(shù)，二元一次方程組的解，解一元一次方程，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是關(guān)于x，y的方程．（1）k為何值時(shí)，方程為一元一次方程？（2）k為何值時(shí)，方程為二元一次方程？【答案】（1）k=-2或k=6；（2）k≠-2且k≠6時(shí)【分析】（1）根據(jù)一元次方程的定義，含有一個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程可得k+2=0k-6≠0或k+2≠0k-6=0（2）根據(jù)方程是二元一次方程方程的定義含有兩個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程可得k+2≠0k-6≠0解：∵方程是一元一次方程，∴k+2=0k-6≠0或k+2≠0∴解得k=-2或k=6．∴當(dāng)k=-2或k=6時(shí)，該方程是一元一次方程．【小題2】解：∵方程是二元一次方程，∴k+2≠0∴解得k≠-2且k≠6．∴當(dāng)k≠-2且k≠6時(shí)，該方程是二元一次方程．【點(diǎn)撥】本題考查一元一次方程的定義，二元一次方程方程的定義，掌握一元一次方程的定義，二元一次方程方程的定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（1）若等式的x，y滿足方程組．求的值．（2）求二元一次方程的正整數(shù)解．【答案】（1）；（2