一階與二階系統(tǒng)舉例

中-一階與二階系統(tǒng)舉例自控前兩章的學(xué)習(xí)主要是打基礎(chǔ)，到了第三章才真正開(kāi)始了自控這門課的核心內(nèi)容。在前兩章建立起系統(tǒng)模型后，接下來(lái)要進(jìn)行的就是認(rèn)識(shí)系統(tǒng)——即分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)，第三章介紹了三種方法中的第一種——時(shí)域分析法。我們首先要明確本章講了哪些內(nèi)容。時(shí)域方法是最基本的方法，也是我們?cè)诜治鰰r(shí)最先想到的方法，它可以直接提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)內(nèi)的所有內(nèi)容，直觀且明確，但是也有它的缺點(diǎn)，那就是這一方法必須要基于求解系統(tǒng)輸出的解析法，過(guò)程很是繁瑣，這一局限性也就決定了應(yīng)用時(shí)域法進(jìn)行分析的系統(tǒng)階數(shù)不能太高，所以本章我們研究對(duì)象只有一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，其中二階系統(tǒng)是研究的重點(diǎn)。接下來(lái)分別給出一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)和其性能指標(biāo)的定義，對(duì)系統(tǒng)輸入典型輸入信號(hào)，研究對(duì)應(yīng)響應(yīng)的情況，在這其中，最重點(diǎn)的是二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，其余的響應(yīng)僅作了解即可。注意到性能指標(biāo)只能定量的描述一個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)的情況，考慮前面所提到的對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的基本要求：“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”。其中“快”——?jiǎng)討B(tài)性能；“穩(wěn)”——基本要求；“準(zhǔn)”——穩(wěn)態(tài)要求，往后的內(nèi)容都是圍繞這三個(gè)字。對(duì)于“快”，其實(shí)就是系統(tǒng)的性能指標(biāo)，對(duì)于“穩(wěn)”，時(shí)域法介紹了赫爾維玆判據(jù)和勞斯判據(jù)，對(duì)于“準(zhǔn)”，介紹了穩(wěn)態(tài)誤差還有校正方法。以上就是本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，接下來(lái)我們來(lái)一一介紹。我們從最簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)說(shuō)起，以下是一階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

一階系統(tǒng)中，只有特征參數(shù)：時(shí)間常數(shù)T。雖然有五個(gè)典型輸入信號(hào)，但一般我們只研究階躍輸入對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，我們把階躍信號(hào)稱為“標(biāo)準(zhǔn)輸入”，其單位階躍響應(yīng)曲線如下：對(duì)于一階系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)有兩個(gè)：上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間1.上升時(shí)間從終值的10%上升到終值的90%所用的時(shí)間。（此定義式基于非振蕩的動(dòng)態(tài)過(guò)程，要區(qū)別于后續(xù)的振蕩動(dòng)態(tài)過(guò)程）。在一階系統(tǒng)單位階躍曲線上表示如下：2.調(diào)節(jié)時(shí)間指第一次進(jìn)入誤差帶且信號(hào)以后都不出誤差帶的時(shí)間。在響應(yīng)曲線上表示為：注意：如上圖，調(diào)節(jié)時(shí)間不是到A點(diǎn)的時(shí)間，因?yàn)榍€在A點(diǎn)以后還有出了誤差帶的部分。而B(niǎo)點(diǎn)以后曲線再也不出誤差帶，所以調(diào)節(jié)時(shí)間應(yīng)該為到B點(diǎn)的時(shí)間。因?yàn)橐浑A系統(tǒng)的響應(yīng)是單調(diào)的，并沒(méi)有振蕩，所以在一階系統(tǒng)中，并沒(méi)有超調(diào)量的概念，因?yàn)轫憫?yīng)曲線沒(méi)有超出穩(wěn)態(tài)值的部分。在一階系統(tǒng)求解對(duì)于五種輸入信號(hào)時(shí)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)時(shí)，雖然這部分只做了解，但這一求解過(guò)程中要求掌握一個(gè)重要的計(jì)算方法：留數(shù)定理。該種方法其實(shí)就是用來(lái)分解部分分式的，通式為：接下來(lái)我們以求一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的過(guò)程來(lái)說(shuō)明留數(shù)定理怎么用：一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為將上試分解為部分分式：注意重根分解后的列寫，還有C1、C2、C3分別為誰(shuí)的分子。接下來(lái)就用留數(shù)定理來(lái)求C1、C2、C3，如下：1.有重根，先算重根重?cái)?shù)r=2，首先要算通式中s1是啥，s1為對(duì)應(yīng)分母為0時(shí)的解，重根部分即為，則有s1=0，再后確定j，帶入通式計(jì)算，為下：（1）要算C2，則使j=0，有（2）要算C1，則使j=1，有2.無(wú)重根部分先求s1，令無(wú)重根部分分母TS+1=0，則s1=-1\T，這部分不要記通式，很簡(jiǎn)單，就是此題即為注意：無(wú)重根部分最簡(jiǎn)單，不用通式計(jì)算，直接用“2”的小公式就行；有重根的帶入通式計(jì)算，搞清楚r、j、s1，一般最高也就計(jì)算到重根為3.留數(shù)定理在后續(xù)的離散系統(tǒng)部分會(huì)經(jīng)常使用，所以今天著重講了一下。（大家可以試著計(jì)算一下一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)）。接下來(lái)聊一聊本章著重講解的二階系統(tǒng)，以下是二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過(guò)程分為兩個(gè)部分：動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程。動(dòng)態(tài)過(guò)程：系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，初始量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程必定是衰減的。穩(wěn)態(tài)過(guò)程：典型輸入作用下，時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)輸出量的表現(xiàn)形態(tài)。這兩個(gè)過(guò)程都有其對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)，下面分別來(lái)看其性能指標(biāo)為什么：動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：我們從二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線中來(lái)看，指標(biāo)共有五個(gè)。也就是共有四個(gè)關(guān)于時(shí)間的指標(biāo)，還有一個(gè)指標(biāo)是超調(diào)量。在這些指標(biāo)中調(diào)節(jié)時(shí)間定義和一階系統(tǒng)中的一致，我們來(lái)介紹一下剩下的三個(gè)。延遲時(shí)間td：第一次到達(dá)其峰值一半時(shí)所用的時(shí)間。對(duì)于以上的五個(gè)性能指標(biāo)，我們還需要知道以下的內(nèi)容：（我們把td、tr、tp、超調(diào)量定義為一組；把ts定義為二組）（1）一號(hào)組的指標(biāo)都是確定的，ts是不確定的，其與誤差帶的選取有關(guān)。（2）一號(hào)組指標(biāo)描述的是動(dòng)態(tài)的過(guò)程，并且是動(dòng)態(tài)開(kāi)始的部分。ts描述作用是雙重的：不僅描述動(dòng)態(tài)過(guò)程的長(zhǎng)短，而且描述靜態(tài)過(guò)程在越過(guò)ts后是穩(wěn)的還是不穩(wěn)的。超調(diào)量描述的是系統(tǒng)的阻尼程度。（可以理解為物理中的阻力，其和峰值有關(guān)）。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)描述，是系統(tǒng)的抗干擾精度或者抗干擾能力的一種度量。我們知道，極點(diǎn)在s域中的分布決定了系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即極點(diǎn)位于s域左半平面時(shí)（不含在實(shí)軸的點(diǎn)），系統(tǒng)穩(wěn)定（可以用極點(diǎn)實(shí)數(shù)部分正負(fù)來(lái)表示）。所以在分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)前先將系統(tǒng)分類，我們用閉環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)的極點(diǎn)，先來(lái)求系統(tǒng)的極點(diǎn)，使系統(tǒng)的特征方程為0（也就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式為0），解得系統(tǒng)的根為：阻尼比的范圍決定了極點(diǎn)在s域中的位置，所以進(jìn)而將阻尼比和系統(tǒng)的阻尼程度掛鉤，將二階系統(tǒng)分為以下幾類，并且畫(huà)出對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線（這部分一定要牢牢記憶）：（1）極點(diǎn)在s域中分布和對(duì)應(yīng)響應(yīng)曲線分別如下：（2）

（3）

（4）

（5）-1<阻尼比<0此時(shí)響應(yīng)曲線是振蕩發(fā)散的。（6）阻尼比<-1此時(shí)響應(yīng)曲線是沒(méi)有振蕩的發(fā)散。（和上面的曲線區(qū)分開(kāi)）雖然二階系統(tǒng)有以上那么多種，輸入信號(hào)也有五種，但是我們只著重研究一種情況，那就是“欠阻尼二階系統(tǒng)的單位系統(tǒng)階躍響應(yīng)”，這一部分內(nèi)容有很多公式需要記憶。以下的式子必須牢牢記憶：響應(yīng)C（t）

根據(jù)以上公式，可以發(fā)現(xiàn)，只要知道了阻尼比和自然頻率，所以的性能指標(biāo)就知道了，所以對(duì)于這部分的題，一般會(huì)已知峰值時(shí)間和超調(diào)量，進(jìn)而求出阻尼比和自然頻率，再讓你求其余指標(biāo)，所以要會(huì)由超調(diào)量求阻尼比的公式，還有根據(jù)峰值時(shí)間求自然頻率的公式