初中數(shù)學(xué)七年級上冊《1.4有理數(shù)的乘除法》課件（二）

有理數(shù)的乘除法有理數(shù)的乘法有理數(shù)的乘法法則內(nèi)容圖例乘法法則兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0同號兩數(shù)相乘異號兩數(shù)相乘與0相乘內(nèi)容圖例知識解讀（1）“同號得正，異號得負”的符號法則，只適用于兩個有理數(shù)相乘.（2）避免把確定有理數(shù)乘積的符號與確定有理數(shù)和的符號相混淆.（3）要記住把算式中的負因數(shù)加上括號巧記樂背兩數(shù)相乘積為何？結(jié)果符號看因數(shù)；一旦有0積為0，同正異負別弄錯.（1）帶分數(shù)的乘法：當(dāng)某個因數(shù)是帶分數(shù)時，先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再相乘；（2）分數(shù)與小數(shù)的乘法：當(dāng)算式中既有分數(shù)又有小數(shù)時，先統(tǒng)一為分數(shù)或小數(shù)再相乘.例1

計算：（1）（-125）×3；（2）（-33）×（-5）；分析：根據(jù)有理數(shù)乘法法則計算，注意（4）有因數(shù)0，結(jié)果為0.解：（1）（-125）×3=-（125×3）=-375.（2）（-33）×（-5）=+（33×5）=165.（3）兩個有理數(shù)的乘法運算：先確定符號，再把兩因數(shù)的絕對值相乘.倒數(shù)內(nèi)容倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)知識解讀（1）倒數(shù)是相互的，即若a是b的倒數(shù)，則b也是a的倒數(shù)，單獨一個數(shù)不能稱其為倒數(shù).（2）求有理數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)的方法：當(dāng)a為整數(shù)時，則即為a的倒數(shù)；當(dāng)a是分數(shù)（真分數(shù)或假分數(shù)，若為帶分數(shù)，應(yīng)將其化為假分數(shù)）時，把a的分子與分母顛倒位置，即可得到a的倒數(shù)注意求一個帶分數(shù)的倒數(shù)時，要先把這個帶分數(shù)化為假分數(shù)再求其倒數(shù).忽略倒數(shù)存在的條件，誤認為任何一個有理數(shù)都有倒數(shù)，記住0沒有倒數(shù).相同點不同點倒數(shù)都是指兩個數(shù)之間的關(guān)系，都是相互的互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘得1正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù)相反數(shù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0倒數(shù)和相反數(shù)的異同例2求下列各數(shù)的倒數(shù)：（1）；（2）-1；（3）；（4）0.125；（5）-1.4.解：（1）的倒數(shù)是.（2）-1的倒數(shù)是-1.（3）的倒數(shù)是.（4）0.125的倒數(shù)是8.（5）-1.4的倒數(shù)是.多個有理數(shù)相乘的運算內(nèi)容示例一般運算方法多個有理數(shù)相乘，可以把它們按照自左至右的順序依次相乘（-2）×（-3）×5×-112=-6×5×112=-30×112=-52內(nèi)容示例符號確定法則幾個不是0的數(shù)相乘，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)（-1）×2×（-3）×4=24，（-1）×（-2）×（-3）×4=-24幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于012×（-2017）×0×（-0.51）=0注意多個有理數(shù)相乘時，注意要看有無因數(shù)0，若有可直接寫出積的結(jié)果為0.多個非零的有理數(shù)相乘的一般步驟：（1）數(shù)一數(shù)負因數(shù)的個數(shù)，按照“偶正奇負”的方法確定出積的符號；（2）把各因數(shù)的絕對值相乘，得出積的絕對值.巧記樂背多個有理數(shù)相乘，先看有0沒有0，有一個0積為0，沒0負數(shù)要查清，奇為負來偶為正，再把絕對值相乘，仔細觀察巧運算，交換結(jié)合簡便行.例3

計算：（1）（-4）×（+2）×（-5）×（-3）；解：（1）原式=-（4×2×5×3）=-120.（1)三個以上非零有理數(shù)相乘，應(yīng)該先確定積的符號，再計算積的絕對值.（2）無論多少個有理數(shù)相乘，若其中有一個因數(shù)是0，則積為0.有理數(shù)乘法的運算律內(nèi)容字母表示乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等ab=ba乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等（ab）c=a（bc）分配律一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加a（b+c）=ab+ac內(nèi)容字母表示知識解讀根據(jù)有理數(shù)乘法運算律的內(nèi)容可知，小學(xué)學(xué)過的乘法運算律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，所不同的是，運算律中的a或b或c不僅可以表示正數(shù)，還可以表示0和負數(shù).運用乘法運算律的目的是通過改變有理數(shù)乘法的運算順序，達到對有理數(shù)乘法進行簡便計算的目的乘法運算律的推廣（1）交換律和結(jié)合律：三個或三個以上的數(shù)相乘，任意交換因數(shù)的位置，或者任意先把其中幾個因數(shù)相乘，積都不變.（2）分配律：一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.（3）逆用分配律：對于含有相同因數(shù)的幾個乘積式相加，往往可逆用分配律簡化運算.注意（1）乘法交換律是指因數(shù)的位置可改變，乘法結(jié)合律是指因數(shù)相乘的順序可改變，它們都包含自身符號；（2）運用分配律時，不要漏乘括號里面的項.例4

用簡便方法計算：運用乘法運算律簡化運算：若是只有乘法運算，一般運用乘法交換律、結(jié)合律；若是乘法與加法的混合運算，一般運用分配律.對倒數(shù)的概念理解不透徹例5

下列說法正確的是（）①兩個正數(shù)中倒數(shù)大的反而?。虎趦蓚€負數(shù)中倒數(shù)大的反而?。虎蹆蓚€有理數(shù)中倒數(shù)大的反而??；④兩個符號相同的有理數(shù)中倒數(shù)大的反而小.A.①②④B.①C.①②③D.①④A只有兩個數(shù)同號時，才能說倒數(shù)大的反而??；在兩個數(shù)的符號未知時，不能說倒數(shù)大的反而小.運用分配律時，漏乘項或漏掉符號例6

計算：用-24乘括號里面的各數(shù)時，漏乘-1導(dǎo)致出錯；或忽略-56，-1是負數(shù)，與-24相乘漏掉負號導(dǎo)致出錯.題型一對有理數(shù)乘法法則的深入理解例7

若a，b滿足a+b＞0，ab＜0，則下列式子正確的是（）A．|a|＞|b|B．|a|＜|b|C．當(dāng)a＞0，b＜0時，|a|＞|b|D．當(dāng)a＜0，b＞0時，|a|＞|b|C思路導(dǎo)圖根據(jù)ab<0得到a,b異號綜合各個條件，確定出正確選項結(jié)合a+b>0得到正數(shù)的絕對值大解析：因為ab＜0，所以a，b異號.因為a+b＞0，所以正數(shù)的絕對值較大.故選C．題型二倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值的綜合運用思路導(dǎo)圖根據(jù)a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，得到兩個等式根據(jù)m的絕對值是2，得到m的值分別代入原式計算，即可求得結(jié)果例8

若a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，求（a+b+cd）m-cd的值.解：由題意可知a+b=0,cd=1,m=±2.當(dāng)m=2時，（a+b+cd）m-cd=（0+1)×2-1=1；當(dāng)m=-2時，（a+b+cd）m-cd=（0+1)×（-2)-1=-3.方法點撥兩數(shù)互為倒數(shù)，則其積為1；兩數(shù)互為相反數(shù)，則其和為0；已知一個數(shù)的絕對值求該數(shù)，要注意分情況討論.題型三巧用分配律簡化計算例9

用簡便方法計算：分析：（1）先逆用分配律把公因數(shù)“”提出來，再進行計算.（2）先把帶分數(shù)拆成整數(shù)和分數(shù)的差，再運用分配律進行計算.題型四利用有理數(shù)的乘法解決實際問題例10

某班舉辦數(shù)學(xué)知識比賽，共分五個小組，其中四個小組的成績?nèi)缦卤恚盒〗M第一組第二組第三組第四組人數(shù)15131412小組平均分與全班平均分的差值4-3-21（1）這四個小組的總平均分比全班的平均分高還是低？為什么？（2）據(jù)（1）你能否判斷出第五組的平均分比全班的平均分高還是低？思路導(dǎo)圖對于第（1）小題，求出四個小組的總平均分與全班的平均分之差，判斷即可得到結(jié)果對于第（2）小題，若這四個小組的總平均分高于全班的平均分，則第五組的平均分比全班的平均分低，否則比全班的平均分高解：（1）高.理由：因為4×15+12×1-13×3-14×2=5＞0，所以四個小組的總平均分比全班的平均分高.（2）根據(jù)（1）可判斷出第五組的平均分比全班的平均分低．題型五有理數(shù)乘法的規(guī)律探究題例11

閱讀材料，大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時研究過這樣一個問題，1+2+3+…+10=？經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=，其中n是正整數(shù)，現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？觀察下面三個特殊的等式：1×2=2×3=3×4=將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=讀完以上材料，請你計算下列各題：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）.（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=_____________.（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=_____．分析：（3）1260.解讀中考：有理數(shù)的乘法是有理數(shù)運算的重點之一，中考對此部分的考查有以下幾個明顯的特點：（1）有理數(shù)的乘法多以選擇題、填空題的形式考查，題目比較簡單；（2）關(guān)于倒數(shù)，一般以選擇題或填空題的形式考查一個數(shù)的倒數(shù)，也常常與相反數(shù)、絕對值等綜合一起考查.例12

（陜西中考）計算：

×2=（）A．-1B．1C．4D．-4例13

（四川雅安中考）P為正整數(shù)，現(xiàn)規(guī)定P!=P（P-1）（P-2）×…×2×1，若m!=24，則正整數(shù)m=________．解析：原式=×2=-1.故選A.A解析：因為P!=P（P-1）（P-2）×…×2×1=1×2×3×4×…×（P-2）（P-1）P，所以m!=1×2×3×4×…×（m-1）m=24.因為1×2×3×4=24，所以m=4.4考點一列式表示數(shù)量關(guān)系解析：A.4×（-4）≠1，故此選項不符合題意；B.-3×≠1，故此選項不符合題意；C.-2×=1，故此選項符合題意；D.0沒有倒數(shù)，故此選項不符合題意．故選C.例14

（山東菏澤中考）下列兩數(shù)互為倒數(shù)的是（）A．4和-4B．-3和13C．-2和-12D．0和0C考點二倒數(shù)的概念例15

（湖南永州中考）

的相反數(shù)的倒數(shù)是（）A．1B．-1C．2016D．-2016解析：的相反數(shù)是.因為×2016=1，所以的相反數(shù)的倒數(shù)是2016．故選C.C核心素養(yǎng)例16

現(xiàn)有一種計算13×12的方法，具體算法如下：第一步：用因數(shù)13加上因數(shù)12的個位數(shù)字2，即13+2=15．第二步：把第一步得到的結(jié)果乘10，即15×10=150．第三步：用因數(shù)13的個位數(shù)字3乘因數(shù)12的個位數(shù)字2，即3×2=6．第四步：把第二步和第三步所得的結(jié)果相加，即150+6=156．于是得到13×12=156．（1）填空．第一步：用因數(shù)14加上因數(shù)17的個位數(shù)字7，即________________________．第二步：把第一步得到的結(jié)果乘10，即________________________．第三步：用因數(shù)14的個位數(shù)字4乘因數(shù)17的個位數(shù)字7，即______________________．第四步：把第二步和第三步所得的結(jié)果相加，即________________________．于是得到14×17=238．14+7=2121×10=2104×7=28210+28=238.（2）對于（10+a）×（10+b）.第一步：用因式10+a加上因式10+b的個位數(shù)字b，即10+a+b．第二步：把第一步得到的結(jié)果乘10，即10（10+a+b）．第三步：用因式10+a的個位數(shù)字a乘因數(shù)10+b的個位數(shù)字b，即ab．第四步：把第二步和第三步所得的結(jié)果相加，即10（10+a+b）+ab=100+10a+10b+ab．故（10+a）·（10+b）=100+10b+10a+ab.（2）一般地，對于兩個十位上的數(shù)字都為1，個位上的數(shù)字分別為a，b（0≤a≤9，0≤b≤9，a，b為整數(shù)）的兩位數(shù)相乘都可以按上述算法進行計算．請你通過計算得出一般結(jié)論．有理數(shù)的除法有理數(shù)除法的法則內(nèi)容法則一除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)法則二兩數(shù)相除，同號得正并把絕對值相除兩數(shù)相除，異號得負0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0內(nèi)容知識解讀有理數(shù)相除的一般步驟：（1）當(dāng)運用法則一時，先利用法則一把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則及運算律計算；（2）當(dāng)運用法則二時，先確定商的符號，再求商的絕對值注意除法的兩個法則要根據(jù)具體情況靈活選用，當(dāng)兩個數(shù)不能整除時，用法則一比較簡便；當(dāng)兩個數(shù)能整除時，用法則二比較簡便.（1）分數(shù)可以理解為分子除以分母，如-123=-12÷3=-4，因此利用除法運算可以化簡分數(shù)；（2）兩個數(shù)相除，若商是1，則這兩個數(shù)相等，若商是-1，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)，反之亦然.例1

計算：解：（1)原式=-（3780÷42）=-90.有理數(shù)的乘除運算一般都要先把小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再分別按照乘除運算法則進行計算.有理數(shù)的乘除混合運算運算順序一般步驟有理數(shù)的乘除混合運算只有乘除運算時，按照自左向右的順序計算；有括號的先計算括號里面的（1)一般將除法轉(zhuǎn)化為乘法；（2)確定積的符號；（3)運用乘法運算律簡化運算,求出最后的結(jié)果運算順序一般步驟知識解讀（1）在同一級運算中,要按照從左到右的順序進行計算.（2）乘除混合運算時,①將除法轉(zhuǎn)化成乘法,算式化成連乘的形式.②先由負因數(shù)的個數(shù)確定積的符號,同時將小數(shù)化成分數(shù),帶分數(shù)化成假分數(shù),再進行計算.計算結(jié)果能約分的必須約分例2計算：當(dāng)一個算式中既有乘法運算，又有除法運算時，一般是將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，這樣可使難度降低，從而不易出錯.有理數(shù)的加減乘除混合運算內(nèi)容有理數(shù)的加減乘除混合運算順序（1）先乘除，后加減，有括號先算括號里面的.（2）同級運算中，按照自左向右的順序計算知識解讀知識解讀（1）有理數(shù)加減乘除混合運算中，首先要把乘除混合運算統(tǒng)一為乘法運算，加減混合運算統(tǒng)一為加法運算，然后按照有理數(shù)乘法與加法的法則及運算律進行運算.（2）當(dāng)乘除混合運算的算式較復(fù)雜時，可借助于計算器計算結(jié)果巧記樂背混合運算有順序，同級運算左邊起；先算乘除要牢記，再算加減沒問題；算式如果有括號，先算括號里面的.注意如果算式中有多重括號，一般按小括號、中括號、大括號的順序依次進行計算.例3計算：進行含括號的除法運算時，誤用分配律例4計算：本題易誤為除法可用分配律，從而得到錯解：有理數(shù)的乘除混合運算，弄錯運算順序而出錯例5計算：-31÷3×解：-31÷3×=-31××=-319.乘除是同級運算，沒有按照從左向右的順序依次計算，而是先算3×

，從而得到錯解：-31÷3×

=-31÷1=-31.題型一先巧妙變形，再運用運算律進行運算解：原式=0.25×68×=0.25×4×17×=（0.25×4)×[17×]=1×（-15)=-15.例6計算：0.25÷×方法點撥利用運算律可使運算簡便，對于某些不能直接使用運算律運算的題目，應(yīng)結(jié)合數(shù)的特點，適當(dāng)變形，從而為運用運算律創(chuàng)造條件.題型二巧用分配律進行加減乘除混合運算例7用簡便方法計算：（1）13÷16+（-7）÷+（-36）÷；（2）（-9999）÷11.分析：（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再逆用分配律進行計算.（2）把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把帶分數(shù)拆成整數(shù)和分數(shù)的和，再運用分配律進行計算.題型三利用有理數(shù)的混合運算解決實際問題例8

某班抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準，超出的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10．（1）這10名同學(xué)中最高分是多少？最低分是多少？（2）這10名同學(xué)中，低于80分的所占的百分比是多少？（3）這10名同學(xué)的平均成績是多少？解：（1）最高分是80+12=92（分），最低分是80-10=70（分）.（2）低于80分的有5個，所占的百分比是5÷10×100%=50%.（3）平均成績是［80×10+（8-3+12-7-10-3-8+1+0+10）］÷10=80（分）．方法點撥解決這類問題的關(guān)鍵是先讀懂題意，弄清各數(shù)量之間的關(guān)系，再列出正確的算式.題型四巧用倒數(shù)進行有理數(shù)的混合運算例9請用簡便方法計算：解：原式的倒數(shù)為故原式=題型五有理數(shù)的新定義運算例10已知a是有理數(shù)，［a］表示不超過a的最大整數(shù)，如［3.2］=3,［-1.5］=-2,［2］=2，試計算下列各式的值：（1）［3］+[]×［-3.4］-［0.7］×［0.9］;（2）［-9.2］÷［5.9］+[]×［-4.8］.解：（1）［3］+[]×［-3.4］-［0.7］×［0.9］=3+（-6）×（-4）-0×0=3+24=27.（2）［-9.2］÷［5.9］+[]×［-4.8］=（-10）÷5+（-10）×（-5）=-2+50=48.解讀中考：中考對本節(jié)內(nèi)容的考查有以下幾個特點：（1）有理數(shù)的除法以選擇題、填空題的形式進行考查，題目比較簡單；（2）有理數(shù)的加減乘除混合運算多與平方根、三角函數(shù)（后面學(xué)習(xí)）等知識綜合命題，偶爾也會以簡單的解答題的形式命題.例11

（江蘇揚州中考）與-2的乘積為1的數(shù)是（）A．2B．-2C．D．解析：（-18）÷6=-（18÷6）=-3．故選A.解析：1÷（-2）=．故選D.D例12（2015·天津中考）計算（-18）÷6的結(jié)果等于（）A．-3B．3C．D．A考點一有理數(shù)的除法運算例13

（內(nèi)蒙古赤峰中考）8月份是新學(xué)期開學(xué)準備季，東風(fēng)和百惠兩家書店對學(xué)習(xí)用品和工具書實施優(yōu)惠銷售．優(yōu)惠方案分別是：在東風(fēng)書店購買學(xué)習(xí)用品或工具書累計花費60元后，超出部分按50%收費；在百惠書店購買學(xué)習(xí)用品或工具書累計花費50元后