課件 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 貝塞爾曲線及B樣條

6.5

貝塞爾曲線：—

問(wèn)題的提出：1拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲線的共同特點(diǎn)：生成的曲線通過(guò)所有的型值點(diǎn)，即所謂的“點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)”。2缺點(diǎn)：拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲線在外形設(shè)計(jì)中缺少直觀性和靈活性，例如：為了調(diào)整一小段曲線的形狀而改變一個(gè)點(diǎn)時(shí)，曲線可能出現(xiàn)小鼓包或小凹坑等現(xiàn)象，直接影響曲線的平滑。這時(shí)必須改變一批型值點(diǎn)，觀察效果后繼續(xù)調(diào)整，直到滿意為止。這種做法顯然不直觀也不靈活。二問(wèn)題的解決：一種新的參數(shù)表示法—貝塞爾曲線的提出：1962年法國(guó)雷諾汽車公司的貝塞爾提出了貝塞爾曲線（Bezier并以這種方法為主，完成了一種曲線和曲面的設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNISURF，并于1972年在雷諾公司應(yīng)用。貝塞爾曲線的基本思想：將函數(shù)逼近與幾何表示結(jié)合起來(lái)，使得設(shè)計(jì)師可以直觀地通過(guò)改變參數(shù)來(lái)改變曲線的形狀和階次。通過(guò)控制點(diǎn)即頂點(diǎn)直觀而方便地調(diào)整曲線的形狀，僅通過(guò)起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，而不通過(guò)其它的型值點(diǎn)。三貝塞爾曲線舉例曲線僅通過(guò)起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，而不通過(guò)其它的型值點(diǎn)。四貝塞爾曲線的性質(zhì)：1該曲線由一組多邊形折線的多個(gè)頂點(diǎn)唯一地定義出來(lái)。多邊形折線又稱特征多邊形，頂點(diǎn)又稱為控制點(diǎn)。貝塞爾曲線的例子：頂點(diǎn)起始點(diǎn)終止點(diǎn)在多邊折線的各個(gè)頂點(diǎn)中，只有第1點(diǎn)和最后1點(diǎn)在曲線上。頂點(diǎn)用于定義曲線的階次和形狀，如n+1個(gè)頂點(diǎn)定義n次多項(xiàng)式。下圖中4個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)唯一的三次貝塞爾曲線。曲線的形狀趨向于多邊形折線的形狀，若改變頂點(diǎn)則改變曲線形狀，因此它被用于外形設(shè)計(jì)。特征多邊形的第一條邊和最后一條邊表示出起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向。多邊形折線（特征多邊形）貝塞爾曲線五貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：Bezier曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：在第1個(gè)和最后一個(gè)端點(diǎn)之間進(jìn)行插值的多項(xiàng)式混合函數(shù)(調(diào)和函數(shù))它可以參用數(shù)方程表示如下：這是一個(gè)n次多項(xiàng)式，具有n+1項(xiàng)。：表示特征多邊形n+1個(gè)頂點(diǎn)的位置向量。Bi,n(t)：伯恩斯坦多項(xiàng)式，稱為基底函數(shù)，即曲線上各個(gè)點(diǎn)位置矢量的調(diào)和函數(shù)，它表示為：其中i表示第i個(gè)頂點(diǎn)，n表示n次，t為參數(shù)。六

bezier曲線特性分析:由伯恩斯坦多項(xiàng)bernstein基函數(shù)的性質(zhì)能推導(dǎo)出貝塞爾曲線性質(zhì)(一)曲線通過(guò)起始點(diǎn)與終止點(diǎn)可以證明起點(diǎn)和終點(diǎn)在曲線上，規(guī)定:另：0！為1。展開(kāi)曲線為：（當(dāng)n

=0,1,2,3時(shí)）當(dāng)t=0(參數(shù)的起點(diǎn)),i=0(第1個(gè)頂點(diǎn)0)時(shí),曲線:（∵ti

=00=1,∴第1項(xiàng)為P0，∵0i=0，∴其余3項(xiàng)為0）當(dāng)t=1(參數(shù)的終點(diǎn)),i=n(最后一個(gè)頂點(diǎn))時(shí),曲線:可見(jiàn)，曲線經(jīng)過(guò)多邊折線的始點(diǎn)和終點(diǎn)。（二）起始點(diǎn)與終止點(diǎn)切矢量的方向通過(guò)對(duì)基函數(shù)求導(dǎo)，可以證明起始點(diǎn)與終止點(diǎn)的切矢量與第1和第n（最后）條邊一致（走向一致）?；瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)：貝塞爾曲線的導(dǎo)數(shù)因?yàn)椋涸?中，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)以外的各項(xiàng)均為0所以：在起始點(diǎn)在終止點(diǎn)可見(jiàn)起始點(diǎn)處的切矢量P’(0)與特征多邊形的第1條邊（P1

-P0

）相一致。終止點(diǎn)處的切矢量P’(1)與特征多邊形的第n-1條邊（Pn-Pn-1

）相一致。P0P1P2P3P4(三）凸包性:P0P1P2P3P4Bezier曲線p(t)位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)。所謂的凸包指的是包含這些點(diǎn)的最小凸集。(四)曲率因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=1時(shí)可見(jiàn)貝塞爾曲線在端點(diǎn)處的r階導(dǎo)數(shù)，只與（r+1）個(gè)相鄰的點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)的點(diǎn)無(wú)關(guān)。例如：二階導(dǎo)數(shù)只與3個(gè)相鄰的點(diǎn)有關(guān)，P’’(0)與P0，P1，P2；而P’’(1)與Pn-2,Pn-1,Pn，或者說(shuō)只有這些點(diǎn)對(duì)曲率有貢獻(xiàn)。七一次和二次貝塞爾曲線（一）一次bezier曲線：n=1，一次多項(xiàng)式，有兩個(gè)控制點(diǎn)，則：這說(shuō)明，一次bezier曲線是連接起點(diǎn)p0和終點(diǎn)p1的直線段（二）二次bezier曲線：寫(xiě)成矩陣形式：1二次貝塞爾曲線方程P1P0PPmP22曲線一定通過(guò)P0,P,P2,不通過(guò)P1當(dāng)t＝1/2時(shí)：控制點(diǎn)為：P0,P1,P2,即由該三點(diǎn)控制曲線的形狀利用二次bezier曲線方程求P0P,PP2之間的插值點(diǎn)，可畫(huà)出該曲二次bezier曲線方程二次bezier曲線是一條拋物線八三次貝塞爾曲線1三次貝塞爾曲線方程三次貝塞爾曲線有4個(gè)控制點(diǎn)，基函數(shù)為三次多項(xiàng)式頂點(diǎn)P0P1P2P3定義一條三次貝塞爾曲線。其中混合函數(shù)分別為：B0，3

=

1-

3t

+

3t2

-

t3

=3t

-

6t2

+

3t3

=B1，3

=B2，3

=B3，3

=3t2

-

3t3

=t3=(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t32矩陣表達(dá)式為：3三次貝塞爾曲線能達(dá)到二階連續(xù)九貝塞爾曲線在使用中的問(wèn)題1貝塞爾曲線的階次m-1由多邊形的頂點(diǎn)數(shù)m所決定，使用不靈活。如3頂點(diǎn)則2次，4頂點(diǎn)則3次。2當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)m較大時(shí)，曲線的階次將比較高，多邊形對(duì)曲線形狀的控制將大為減弱。P03改變?nèi)我忭旤c(diǎn)的位置將會(huì)對(duì)整條曲線產(chǎn)生影響，這不利于對(duì)曲線做局部修改。P1P2P3P44 改變?nèi)我庖粋€(gè)頂點(diǎn)的位置將會(huì)對(duì)整條貝塞爾曲線產(chǎn)生影響，不利于對(duì)曲線做局部修改。三次參數(shù)樣條曲線通過(guò)所有的型值點(diǎn)二次B樣條曲線三次B樣條曲線三次貝塞爾曲線6.6

B樣條曲線：從貝塞爾到B樣條：（一）為什么要使用B樣條曲線？問(wèn)題點(diǎn)：貝塞爾曲線，在外形設(shè)計(jì)的應(yīng)用中，存在不足之處。解決方法：為了克服以上提到的在貝塞爾曲線中存在的一些問(wèn)題，Gordon，Riesenfeld等人拓展了貝塞爾曲線，用n次B樣條基函數(shù)替換了伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了B樣條曲線。B樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)：保持了原貝塞爾曲線所具有的優(yōu)點(diǎn)，增加了可以對(duì)曲線進(jìn)行局部修改這一突出的優(yōu)點(diǎn)。

(3)具有對(duì)特征多邊形更逼近，多項(xiàng)式階次較低等優(yōu)點(diǎn)。因此，B樣條曲線在外形設(shè)計(jì)中得到了廣泛的重視和應(yīng)用。（二）從曲線曲面研究的發(fā)展與應(yīng)用看B樣條的地位和作用（三）使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)的工作三次參數(shù)樣條曲線: 過(guò)型值點(diǎn)，不方便。Beizier曲線:不過(guò)點(diǎn)，調(diào)整方便，但次數(shù)高，不能局部調(diào)整。B樣條曲線:不過(guò)點(diǎn)，調(diào)整方便，可以進(jìn)行局部調(diào)整。非均勻有理:不過(guò)點(diǎn)，調(diào)整方便，可以進(jìn)行局部調(diào)整。通過(guò)控制點(diǎn)和權(quán)因子來(lái)靈活地改變形狀等。中國(guó)第二汽車制造廠，南京汽車制造廠研制“計(jì)算機(jī)輔助汽車外表交互式設(shè)計(jì)系統(tǒng)”中使用Beizier和重節(jié)點(diǎn)非均勻B樣條曲線作為幾何設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。從實(shí)物采樣p43關(guān)于汽車CAD設(shè)計(jì)見(jiàn)《鐵道自動(dòng)車》p118工藝CAD見(jiàn)《汽車車身與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)》p40二汽（即第二汽車廠）用CAD及B樣條曲線n次B樣條曲線連接全部曲線段所組成的整條曲線稱為n次B樣條曲線。B特征多邊形依次用線段連接Pi+k(k=0,1，…，n)所組成的多邊折線稱為B樣條曲線在第i段的B特征多邊形。B樣條曲線是分段組成的。所以特征多邊形的頂點(diǎn)對(duì)曲線的控制靈活直觀。n次B樣條曲線可達(dá)到n一1階連續(xù)。在工程實(shí)際應(yīng)用中，二階連續(xù)的曲線已能使工程問(wèn)題的解決相當(dāng)滿意，所以在實(shí)際應(yīng)用中，三次B樣條曲線和二次B樣條曲線應(yīng)用得較為廣泛。高于三次的B樣條曲線，由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，且也不一定適合于一般的工程應(yīng)用，所以用得很少。三

二次B樣條曲線B0B2原因：Q點(diǎn)是第i段曲線的終點(diǎn)，又是第i+1段曲線的起點(diǎn)。則:Q四三次B樣條曲線3

討論三次B樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)：（1）上式進(jìn)一步推導(dǎo)得：以t的端點(diǎn)值代入可得：（2）三次B樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)：曲線段的起點(diǎn)P(0)位于△B0B1B2底邊B0B2的中線B1Bm上，且距Bl點(diǎn)的三分之一處。該點(diǎn)處的切矢量P’(0)平行于△B0B1B2的底邊B0B2，且長(zhǎng)度為其二分之一。該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)P’’(0)等于中線矢量B1Bm的二倍，見(jiàn)圖3)終點(diǎn)P(1)處的情形與此相應(yīng)，4)如果在B特征多邊形上增加了一個(gè)頂點(diǎn)B4，則B1B2B3B4又可定義—段新的三次B樣條曲線。4三次B樣條曲線可以達(dá)到二階連續(xù)。因?yàn)?新曲線段起點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)和上一段曲線的終點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)都只和B1、B2、B3三點(diǎn)有關(guān)，所以:該二段曲線在連接處的位置矢量，—階切矢和二階切矢都應(yīng)相等，即：5三次B樣條曲線的特技處理：畫(huà)直線：畫(huà)直線的場(chǎng)合：鴨子浮在水面上，畫(huà)直線時(shí)不能用line()畫(huà)，不自然應(yīng)仍然用B樣條曲線畫(huà).方法：讓五個(gè)頂點(diǎn)共線。(2)使B樣條曲線與特征多邊形相切：

1）方法1：讓三個(gè)頂點(diǎn)共線：原曲線：P0P1現(xiàn)曲線：B1,B2,B3共線，曲線與特征多邊形相切P0位于B1M的1/3處P1位于B2N的1/3處P0P1MN2）方法2：讓兩個(gè)定點(diǎn)重合：P0P1P0P1MN原曲線：現(xiàn)曲線：B2,B3重合，曲線與特征多邊形相切P0位于B1M的1/3處B1B3的中點(diǎn)為NP1位于B2N的1/3處（3）產(chǎn)生尖點(diǎn)：方法：讓3個(gè)頂點(diǎn)重合.給出一系列頂點(diǎn)數(shù)據(jù)想生成一個(gè)鴨子嘴的形狀如圖所示：讓B2B3B4這3個(gè)點(diǎn)重合。P0位于B1M的1/3處P1位于B5N的1/3處P0P段與特征多邊形相切P1P段也與特征多邊形相切形成尖點(diǎn)。P0PMNP1（4）想使曲線以特征多邊形的B0為始點(diǎn)，且與B0B1相切方法：增加一個(gè)控制點(diǎn)使

B0＝B0B1B1的中點(diǎn)M與B0重合則： MB0的靠近B0的1/3處仍然是B0點(diǎn)。因此：

畫(huà)出的曲線段以B0為始點(diǎn)Q五

二次B樣條曲線與三次B樣條曲線的區(qū)別：繪制兩段曲線需要的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)起點(diǎn)，終點(diǎn)的位置連接處的連續(xù)性二次B樣條曲線4處一階三次B樣條曲線5處二階章節(jié)曲線名分類畫(huà)法特點(diǎn)和用途6.1常見(jiàn)二次曲線的繪制有曲線方程6.4以直線代曲線

用直線段近似曲線引入?yún)?shù)方程，計(jì)算曲線上的點(diǎn)，以直線連接點(diǎn)，用于非常用曲線，而常用曲線一般有現(xiàn)成函數(shù)可調(diào)用。6.2拋物樣條曲線曲線過(guò)每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)通曲線過(guò)每一個(gè)點(diǎn)，用于慢變化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)單、易編程，光滑度一般。為C16.3三次參數(shù)樣條曲線用已知過(guò)(插值法)