高等數(shù)學(xué)：重積分的計算

1第七章重積分7.3重積分的計算

7.3.4球面坐標(biāo)系下的三重積分的計算法一、球面坐標(biāo)M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo2M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo3r=常數(shù)，即以原點為心的球面。

=常數(shù)，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面。

=常數(shù)，即邊z軸的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo4zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo④球面坐標(biāo)下的體積元素5

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)平面r=常數(shù)，

=常數(shù)，

=常數(shù)把積分區(qū)域

分成許多小閉區(qū)域。

考慮由r,,各取得微小增量dr,d

,d

所成的六面體的體積(如圖)。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方形。xyzo

d

rd

drrd

6xyzo

d

rd

rd

經(jīng)線方向的長為rd

,這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。緯線方向的寬為rsin

d

,于是，小六面體的體積為dr向徑方向的高為dr。7二、

三重積分的球面坐標(biāo)形式

計算三重積分，一般是化為先r，再

，最后

的三次積分。8例如，半徑為R的球體的體積910xyz2RoR

11xyzo

12

zxyo1

13xyzo

14xyz1o

15xyzo

16yxzo17yxzo18yxzo解法二用柱面坐標(biāo)系19yxzoyxzo20

abcxyzo21

abcxyzo2223xyzo124xyzo125xyzo126小結(jié)三重積分的計算方法：基本方法：化三重積分為三次積分計算。關(guān)鍵步驟：(1)坐標(biāo)系的選取(2)積分順序的選定（直角）(3)定出積分限27柱形體域錐形體域拋物體域柱面坐標(biāo)長方體四面體任意形體球面坐標(biāo)球形體域或其中一部分直角坐標(biāo)坐標(biāo)系適用范圍體積元素變量代換287.4重積分的應(yīng)用

在前面幾節(jié)中我們已經(jīng)介紹了利用重積分可以求空間立體體積以及空間物體的質(zhì)量，本節(jié)再介紹重積分在幾何和物理方面的幾個應(yīng)用。297.4.1微元法（元素法）如果要求的量U(2)在D內(nèi)任取一直徑很小的閉區(qū)域d

，相應(yīng)的部分量可近似地表示為(1)U對于有界閉區(qū)域D具有可加性；量U的元素（微元）是較d

高階的無窮小,(f(x,y)連續(xù)時成立)則3031例1

求半徑為a的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體（如圖）的體積。解設(shè)球面通過原點O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點在原點O，其軸與z軸重合，立體所占有的空間閉區(qū)域

可用不等式表示:Oxyz球面方程為r=2acos

，錐面方程為

=

。32所以O(shè)xyz33347.4.2曲面的面積

設(shè)曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D,f在D上一階偏導(dǎo)連續(xù)。(1)S的面積A對于D具有可加性(2)在D內(nèi)任取一直徑很小的區(qū)域d

，在d

上任取一點P(x,y,0)對應(yīng)于S上一點M(x,y,f(x,y))

。顯然(3)過點M(x,y,f(x,y))，作S的切平面

。35(4)以d

的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，該柱面在曲面S上截下一小片曲面⊿A，在切平面

上截下來一小片平面dA。再看dA與d

之間的關(guān)系

由于d

直徑很小,fx,fy連續(xù)，有

A≈dA。曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D36曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D曲面S的面積元素37

曲面面積計算公式①曲面方程:z=f(x,y)(x,y)

Dxy

②曲面方程:x=g(y,z)(y,z)

Dyz38③曲面方程:y=h(z,x)(z,x)

Dzx39例3求半徑為a的球的表面積。

xyzoa

因為這函數(shù)在閉區(qū)域D上無界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。40

取區(qū)域D1：x2+y2

b2(0<b<a)為積分區(qū)域，求出相應(yīng)于D1上的球面面積A1后，再令b→a取A1的極限即可得到半球的面積。

所以整個球面的面積為A=4

a2。41Dxyyxoab4243yxoyaxoD44yxoDyaxo45zoy2467.4.3質(zhì)心先討論平面薄片的質(zhì)心。

設(shè)在xoy平面有n個質(zhì)點分別位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)處，質(zhì)量分別為m1、m2、…、mn,由力學(xué)知道:My、Mx叫質(zhì)點系對于坐標(biāo)軸的靜力距。

47DxOyyx

先將物體分割為許多小部分，考慮其中的一個部分d

，它的質(zhì)量元素為

這個部分d

對于x軸以及對于y軸的靜力距元素為48

以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，可得DxOyyx49

如果薄片是均勻的，即當(dāng)

(x,y)為常量時，可得到如下的質(zhì)心坐標(biāo)：DxOyyx

這時薄片的質(zhì)心完全由閉區(qū)域D的形狀決定，這樣求得的質(zhì)心又稱為平面薄片的形心。50例6求位于兩圓r=2sin

和r=4sin

之間的均勻薄片的質(zhì)心(如圖)。

D

由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A=3

。4o2xy51

再利用極坐標(biāo)計算積分D4o2xy5253例7求均勻半球體的重心。解取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上。

：x2+y2+z2

a2，z

0zxyoa54先討論平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量。

設(shè)在xoy平面有n個質(zhì)點分別位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)處，質(zhì)量分別為m1、m2、…、mn,由力學(xué)知道:Ix、Iy是該質(zhì)點系對于坐標(biāo)軸x軸以及y軸的轉(zhuǎn)動慣量。

7.4.4轉(zhuǎn)動慣量55

設(shè)有一平面薄片占有平面閉區(qū)域D,在點(x,y)處具有連續(xù)面密度

=

(x,y)，下面利用元素法求該平面薄片對兩坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量。DxOyyx

先將物體分割為許多小部分，考慮其中的一個部分d

，它的質(zhì)量元素為

這個部分d

對于x軸以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為56DxOyyx

以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，可得5758例8求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量

)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量。解取坐標(biāo)系如圖所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為x2+y2

a2，y

0；yxa-ao

而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix。59xyzoa607.4.5引力

設(shè)有一平面薄片，占有xoy平面上的閉區(qū)域D，在點(x,y)處的面密度為

(x,y)，假定

(x,y)在D上連續(xù)。

現(xiàn)在要計算該薄片對位于z軸上點M0(0,0,a)(a>0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力。P(x,y,0)xyozx