2022年天津市濱海新區(qū)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2022年天津市濱海新區(qū)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

一.選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上.

1.（5分）設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},8={-2,0,

2},貝ijAn（CuB）=（）

A.{0,1,2}B.{-2,0,2}C.{0,2}D.{-1,1,3}

2.（5分）設(shè)x€R,則“（x-1）（x+2）20”是“|x-2|<1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）函數(shù)/（x）=放畏的大致圖象為（）

4.（5分）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.線性回歸直線方程y=bx+a一定過(guò)點(diǎn)（己y）

B.數(shù)據(jù)xi,X2,…，筋的平均數(shù)為總則2x1+2,2x2+2,…，2/〃+2的平均數(shù)為蘇+2

C.數(shù)據(jù)5,1,2,3,4,6的第40百分位數(shù)為2

D.隨機(jī)變量X?N（2。2）,其正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=口對(duì)稱(chēng)

5.（5分）設(shè)函數(shù)/（工）在R上是偶函數(shù)，且在（-8,0］上單調(diào)遞增，6/=/（logo.30.5）,h

=f（50-2）,c=f（-lne\則（）

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

6.（5分）如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面分別為同一個(gè)球的兩個(gè)

截面，且圓錐的頂點(diǎn)也在該球的球面上.若球的體積為36m圓柱的高為2,則圓錐的體

積為（）

第1頁(yè)共24頁(yè)

516

A.5nB.-TiC.16nD.—n

33

%?y2

7.(5分)設(shè)拋物線Ci：/=2pxCp>0)與雙曲線C2：—-^7=1(a>0,b>0)的兩

條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線。的準(zhǔn)線/與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)M,若△ABM為直角

三角形，則雙曲線C2的離心率為()

A.V2B.V3C.V5D.V17

8.(5分)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理(圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒

車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2,將筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為R的圓，設(shè)

筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)t=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)兒(3,-3V3),

經(jīng)過(guò)f秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿足(f)=Rsin(o)r+<p)(r20,co>

0,|<p|<J),則下列敘述不正確的是()

A.筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3=看

B.當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2舊

C.當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M和初始點(diǎn)Po的水平距離為6

D.筒車(chē)在(0,60J秒的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，盛水筒M最高點(diǎn)到x軸的距離的最大值為6

\log2x\,0<%<4/

9.(5分)已知函數(shù)/(%)=]n57T若函數(shù)y=/(x)-a(〃WR)恰有

2s沆—泊)，4<%<10.

4個(gè)零點(diǎn)，分別為XI,X2,X3,X4,且X1<X2<X3<X4,則X1+X2+X3+X4的取值范圍是()

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A.（15,為B.（16,為C.（15,令D.（16,竽）

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將正確的答案填寫(xiě)在答題紙上.試題

中包含2個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)空的得3分，全部答對(duì)的得5分.

10.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z（1+3/）=5i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為.

11.（5分）在（苧+§6的展開(kāi)式中，4的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

12.（5分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3,-1）且斜率為左的直線/與圓C：（x+1）2+（>--2）2=14相

交于A,8兩點(diǎn)，若|4B|=2有，則上的值為.

13.（5分）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對(duì)黨

史知識(shí)的了解，某中學(xué)開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一一和高

二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)，根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)，兩個(gè)年

級(jí)各個(gè)等級(jí)的人數(shù)如下表.

等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀

高一4745

高二3566

若從樣本中任取3名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)，在成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的條件下這3名同學(xué)來(lái)自同一

個(gè)年級(jí)的概率為;若從樣本中成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，用X

表示抽到高一年級(jí)的人數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.

14.（5分）已知x>0,y>0,x+2y=2,則空皿區(qū)的最小值為_(kāi)_____.

xy

15.（5分）在四邊形ABC。中，AB//DC,A8=3,CD=6,40=2,點(diǎn)E是線段AO上一

TTTTCO

點(diǎn)，且。E=2E4CE-DB=一茬,則cosN4DC=,若點(diǎn)P為線段4B上的動(dòng)

點(diǎn)，則H?茄的取值范圍為.

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三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.(14分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知。=2,sinA=

a2+一爐=|ac.

(1)求cosB和c的值；

(2)求cos(2B+第的值.

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17.(15分)如圖，在五棱錐尸-A8CDE中，平面B4E_L平面ABCDE,△B4E是等邊三角

形，點(diǎn)O,G分別為4E和PC的中點(diǎn)，ABLAE,AB//0C//ED,AE=OC=2AB=2ED

=2.

(I)求證：AG〃平面POD；

(II)求平面P0Q與平面PBC的夾角的余弦值；

(IH)設(shè)M是線段0P上的動(dòng)點(diǎn)，若直線MB與平面P8C所成角的正弦值為鬻，求

線段的長(zhǎng).

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18.(15分)已知橢圓C：—+—=1(a>b>0)的焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),

a2b2

過(guò)點(diǎn)A的直線I與橢圓交于點(diǎn)B.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)設(shè)M為線段A8的中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，OM所在的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)

。在x軸上方)，問(wèn)是否存在直線/使得△AM0的面積是△BMO面積的6倍？若存在，

求直線/的方程，并求此時(shí)四邊形APB。的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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19.（15分）已知在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛〃”｝中，ai=l,且m,“2,。5成等比數(shù)歹人

n+1

數(shù)列｛加｝中,6i=k>g2(a2+l),bn+1=4bn+2,?€N*.

(I)求｛a”｝的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和S,；

(II)求證：｛%+2目是等比數(shù)列，并求｛為｝的通項(xiàng)公式;

%n=2k,keN*,

玩+2〃’

(III)3x2fc求數(shù)列｛cn｝的前2n項(xiàng)的和T2n.

，n=2k—1,kEN*,

k+1

4bk-2+2

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20.(16分)已知函數(shù)/(x)(〃ER).

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(II)當(dāng)4>0時(shí)，若函數(shù)g(x)=xex+f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)。>0時(shí)，若函數(shù)/?(x)=f(x)+2/-or恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)xi,X2,且xi

八、％1+32

<X2T求證：---<ln2a.

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2022年天津市濱海新區(qū)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題：本題共9小題，每小題S分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上.

1.(5分)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A=[-1,0,1,3},8={-2,0,

2),則API(CuB)=()

A.{0,1,2}B.{-2,0,2}C.{0,2}D.{-1,1,3}

解:VCuB={-hL3},

AAn(CuB)={-1,1,3).

故選：D.

2.(5分)設(shè)x€R,則“(x-1)(x+2)20"是“|x-2|<1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：由(x-1)(x+2)20,解得或xW-2,

由|x-2|Vl,得解得1cxV3,

:由或xW-2不能夠推出\<x<3,

由lVx<3,能夠推出或xW-2,

..."(x-1)(x+2)20”是“僅-21V1”的必要不充分條件,

故選:B.

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解：因?yàn)?0,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xW0},

f(-r\-2仇1rl_2伍田

X)XXXX=f（X），

J-2~+2~2+2-

所以/（x）為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和C,

由于/（2）=峭馬》,所以選項(xiàng)力錯(cuò)誤.

22+22

故選：A.

4.（5分）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.線性回歸直線方程y=bx+a一定過(guò)點(diǎn)（7,y）

B.數(shù)據(jù)xi,X”的平均數(shù)為元，則2xi+2,2x2+2,…，2知+2的平均數(shù)為2元+2

C.數(shù)據(jù)5,1,2,3,4,6的第40百分位數(shù)為2

D.隨機(jī)變量X?N（山。2）,其正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=p對(duì)稱(chēng)

解：線性回歸直線一定過(guò)其中心點(diǎn)（元，9），砌正確;

由__---HXn得QXi+Z)+QXz+Z)+.TQXyt+Z)2(x1+x2+-+xn)+2=

Hnn

2x+2,故8正確;

數(shù)據(jù)5,1,2,3,4,6應(yīng)重新排列為1,2,3,4,5,6,其第40百分位數(shù)為3,C錯(cuò)

誤：

由正態(tài)曲線的性質(zhì)知D正確.

故選：C.

5.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）在R上是偶函數(shù)，且在（-8,0］上單調(diào)遞增，。=/.（logo.30.5）,b

—f(502),c—f(-Ine),則(）

第10頁(yè)共24頁(yè)

A.h<c<aB.a<c<hC.a<h<cD.c<h<a

解：??V(x)在R上是偶函數(shù)，且在(-8,0］上單調(diào)遞增,

：.f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，

c=f(-Ine')=f(-1)=f(1),

0<logo,30.5<l,502>1,

貝ij0<logo,30.5<l<5°-2,

則/(logo.30.5)>/(1)>f(502),

即b<c<a,

故選：A.

6.（5分）如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面分別為同一個(gè)球的兩個(gè)

截面，且圓錐的頂點(diǎn)也在該球的球面上.若球的體積為36m圓柱的高為2,則圓錐的體

積為（）

A.5TlB.-7iC.16nD.—n

33

4

解：設(shè)球的半徑為R,由§兀/?3=36兀，得R=3.

?.?圓柱的兩個(gè)底面分別為同一個(gè)球的兩個(gè)截面，

球心在圓柱高的中點(diǎn)上，可得圓錐的高6=R-1=2,

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則，=V/?2-I2=,32—12=2我，

二明婚=>〃（2。2.2=竽兀.

故選：D.

%2y2

7.（5分）設(shè)拋物線C”?=2px（p>0）與雙曲線C2：---=1（a>0,b>0）的兩

條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線C1的準(zhǔn)線/與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)M,若為直角

三角形，則雙曲線C2的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.V17

第11頁(yè)共24頁(yè)

解：由題意知，M（一看0）,雙曲線的漸近線方程為），=土1,

/a

聯(lián)立卜—ax,得gv2-2Px=0,解得x—0或,

（y2=2pxa2b2

當(dāng)彳=竿時(shí)，y=[=轡，

由拋物線和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，A（笑-，華），B（能竽

因?yàn)椤?8M為直角三角形，所以NAMB=90。，

由zA，八工/pa?pa2pa2p2pa、2pa2p2pa

所以M4?MB=(——+p2-----)?(——4-——T-)=(——+-)2-(------)2

b22bb22bb22b

=0,

…2pa2p2parraoal

因?yàn)椤?gt;0，?>0,b>0,所以，.+—1~=0，BP2>(—)--2?r+—=0,

b22bbb2

8.（5分）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒

車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2,將筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為R的圓，設(shè)

筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)1=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)P°（3,-3V3）,

經(jīng)過(guò)/秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸（x,y）,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)滿足y=/（/）=Hsin（a）r+（p）（r^O,a）＞

0,⑼號(hào)），則下列敘述不正確的是（）

第12頁(yè)共24頁(yè)

A.筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3=看

B.當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-26

C.當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M和初始點(diǎn)Po的水平距離為6

D.筒車(chē)在(0,60］秒的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，盛水筒M最高點(diǎn)到x軸的距離的最大值為6

解：A.因?yàn)橥曹?chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，

27r71

所以因此本選項(xiàng)敘述正確；

12060

B.因?yàn)楫?dāng)f=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)-3V3),所以R=^32+(-3V3)2=6,

所以有f(0)=6sin(p=-3>/3=>sin(p=一等，

因?yàn)樗?lt;p=—條

TCJT

即/(f)=6sin(―r—

7174兀Br-

所以/(100)=6sin(—X100—r=6sin—=6X(―丁)=-3遮,

J60332

因此本選項(xiàng)敘述不正確；

C.由8可知：盛水筒M的縱坐標(biāo)為-3百，設(shè)它的橫坐標(biāo)為刈

所以有卜+(-3V3)2=6nx=±3,

因?yàn)橥曹?chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，所以此時(shí)盛水筒M在第三象限，

故x=-3,盛水筒M和初始點(diǎn)尸o的水平距離為3-(-3)=6,因此本選項(xiàng)敘述正確;

D.因?yàn)槎?一號(hào)=當(dāng)=尸50€(0,60J,

603乙

所以筒車(chē)在(0,60］秒的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，盛水筒M最高點(diǎn)到x軸的距離的最大值為6,因

此本選項(xiàng)敘述正確.

故選：B.

(\log2x\,0<x<4,

9.(5分)已知函數(shù)/'(x)=］57r若函數(shù)y=/(x)-a(?GR)恰有

(2sin7(rJx-^),4<x<10.

第13頁(yè)共24頁(yè)

4個(gè)零點(diǎn)，分別為XI,X2,X3,X4,且XIVx2Vx3VM則Xl+X2+%3+X4的取值范圍是()

A.(15,聆B.(16,為C.(15,約D.(16,竿)

\log2x\,0<%<4/

解：函數(shù)/(%)=7r57r作出『G)的圖象如圖所示，

2sin(^x——4<%<10.

因?yàn)閄1<X2<X3<X4,

當(dāng)0〈xV4時(shí)，f(x)=|log2x|與y=o的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為xi,必

所以|k)g2Xl|=|log”2|,即logzri=Tog?2,

所以xix2=l;且OVxiVIVx2V4,

7T57T

當(dāng)4<xW10時(shí)，f(x)=2sin(—r---)與y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X3,X4,

36

n57r

又/(九)=2sin(-x---)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=3Z+4,kWZ,

36

所以X3,X4關(guān)于直線x=7對(duì)稱(chēng)，

故X3+X4=14,

則Xl+X2+X3+X4=14+X2+—,

x2

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得14+X2+工￡(14+1+1,14+4+i)>

x24

73

所以X1+R2+X3+X4,的取值范圍為(16,—).

4

故選：D.

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將正確的答案填寫(xiě)在答題紙上.試題

中包含2個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)空的得3分，全部答對(duì)的得5分.

10.(5分)若復(fù)數(shù)Z滿足Z(1+3/)=5i(i是虛數(shù)單位)，則Z的虛部為-.

~2-

解:?:z(l+3i)=5i,

.~Si5i(l-3i)3+i3,1：

'■z=1+37=(l+3j)(l-3i)=I-=2+2J,

第14頁(yè)共24頁(yè)

1

故Z的虛部為二.

2

故答案為：

11.(5分)在(孝+56的展開(kāi)式中，4的系數(shù)是—三(用數(shù)字作答)

乙x64

6-3Z

解：由題知Tk+1=22k-6.ct.Z=0,1,2,....,6,

當(dāng)2=0時(shí),可得4的系數(shù)為2-6.以=卷

故答案為：—.

64

12.(5分)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,-1)且斜率為k的直線/與圓C：(x+1)2+(y-2)2=14相

交于A,B兩點(diǎn),若［48|=2遍，則k的值為一苧或0.

解：設(shè)直線A8的方程為y=k(x+3)-1,

圓C：(x+1)2+(y-2)2=14的圓心為(-1,2),半徑為r=V14,

由勾股定理得圓心到直線AB的距離為d=J(g)2—(石產(chǎn)=3,

即圓心為(-1,2)到直線AB：kx-y+3k-\=Q的距離為d=1+2+3-1|=3)

解得上=0或化=一號(hào).

故答案為：—等或0.

13.(5分)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對(duì)黨

史知識(shí)的了解，某中學(xué)開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一和高

二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)，根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)，兩個(gè)年

級(jí)各個(gè)等級(jí)的人數(shù)如下表.

等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀

高一4745

高二3566

若從樣本中任取3名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)，在成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的條件下這3名同學(xué)來(lái)自同一

個(gè)年級(jí)的概率為—;若從樣本中成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，用X

—11―

表示抽到高一年級(jí)的人數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為I.

—5—

第15頁(yè)共24頁(yè)

解：在成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的條件下這3名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的概率為筆空=三，

由題意可得，X服從超幾何分布，

一m46

故E(X)=n—=3x——=

M4+65

26

故答案為：—;

115

14.(5分)已知x>0,y>0,x+2y=2,則竺的最小值為&+3彼.

''xy—2-

解：因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=2,

(^+l)(y+2)xy+2x+y+2xy+3x+3y3,3,,31,1,,,3

則nill-----------=------------=-----------=H----1--=1+?(一+-)(x+2y)=1+5

xyxyxyyxLxy乙

(3++：)Nl+,x(3+2V2)=+3^2.

2vx_一

當(dāng)且僅當(dāng)上=一且x+2y=2,即y=2-V2,x=/一1時(shí)取等號(hào).

xy

故答案為：4-3V2.

15.(5分)在四邊形ABC。中，AB//DC,A8=3,CD=6,AO=2,點(diǎn)E是線段AD上一

點(diǎn)，且DE=2E4CE?DB=-除則cos/AOC=一,若點(diǎn)P為線段A5上的動(dòng)點(diǎn)，

3-4―

貝IJTCP-DTP的取值范圍為[-471，1]..

解：如圖所示，

四邊形A8CD中，AB//DC,AB=3,CD=6,AD=2,DE=2EA,

選擇易、辰:為基底，則0=茄-后1=

DB=DA+AB=DA+^DC,

所以=C-DA-DCXDA+^DC)=DA2-DA'DC-DC2=^x4-^x2X

3Z33Z33

6XcosZADC-^1x36=一5學(xué)7，

解得cosZADC=i,

4

TTk

若點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)力P=。8=加(7,0WZ1,

則而=DA+AP=DA+^DC,

TTTT〃TTTk

CP=DP-DC=DA+^DC-DC=DA+(--1)DC,

22

第16頁(yè)共24頁(yè)

DA*DC=\DA\\DC\cosZADC=2X6x=3,

TTTk—T卜T

所以CP?DP=[DA+(--1)DC]*(DA+^DC)

=DA2+(k-l)DC'DA+i(--1)DC2

22

kk

=4+3(攵-1)+36-(--1)

22

=9^-154+1,0WZW1,

對(duì)稱(chēng)軸為k=I，

o

所以當(dāng)我時(shí)，CP?OP取得最小值為一斗，

當(dāng)々=0時(shí)，H?而取得最大值為1,

TT91

所以CP?"的取值范圍是［-4，1］.

171

故答案為：［一~T，1

三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.(14分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=2,sinA=

o

a2+c2—b2=|ac.

(1)求cos3和c的值；

(2)求cos(2B+令的值.

解：(1)因?yàn)镸-人2=^QC,

所以由余弦定理得cosB=次霖廬=3(

因?yàn)?是三角形內(nèi)角，sinB=J1-(1)2=

一ab2b

由正弦定理=丁不得，-J==萬(wàn)，

sinAsinB業(yè)業(yè)

84

所以b=4,

2

由Q2+。2―82=得4+c-16=3。,

第17頁(yè)共24頁(yè)

解得C=當(dāng)豆或c=三要(舍去).

(2)sin2B=2sinBcosB=2x乎x*=,cos2B=2cos2B-1=看，

“Di乃、n7r11377/31-37^7

cos(2B+2)=cos2OBDcos耳—sinzBsin-^=ox2----o-X~2'=——16——,

17.(15分)如圖，在五棱錐尸-A8CCE中，平面B4E_L平面ABODE,△B4E是等邊三角

形，點(diǎn)。，G分別為AE和PC的中點(diǎn)，ABLAE,AB//OC//ED,AE=OC=2AB=2ED

—2.

(I)求證：AG〃平面POD；

(II)求平面POD與平面PBC的夾角的余弦值；

2V70

(III)設(shè)M是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)，若直線MB與平面P8C所成角的正弦值為?，求

35

線段。用的長(zhǎng).

(I)證明：因?yàn)椤鰾4E是等邊三角形，。為AE的中點(diǎn)，則尸OLAE,

因?yàn)槠矫婢W(wǎng)EJ_平面ABCCE,平面以印平面A8CDE=AE,POu平面％E,

所以，PO_L平面ABCZJE,

VAB±A￡,AB//OC//ED,貝ljOC_LAE,

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OC、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

第18頁(yè)共24頁(yè)

則A(1,0,0)、8(1,1,0)、C(0,2,0)、。(-1,1,0)、E(-1,0,0)、P(0,0,國(guó))、

G(0,1,-^)，

設(shè)平面P。。的法向量為蔡=Qi，%，Zi),OD=(-1,1,0),OP=(0,0,遮)，

/->T

.m-OD=—%i+y=0,i-

由LTt,取nrX1=1,可得m=(l,L0),

m-OP=V3zt=0

AG—(—1/1/,則AG,Tn——1+1=0,貝！J4G.LTH,

YAGC平面尸O。，故AG〃平面POQ.

(II)解：設(shè)平面PBC的法向量為3=(%2,、2,Z2),CB=(1,-1,0),CP=(0,

-2,V3),

JT

由n-CB=x2-y2=0，取小=6，可得蔡=(b，02),

ji-CP=-2yz+A/3Z2=0

—>—>

—?T__m_-_n__2V3/15

cos<m,n>==

|m|-|n|x/^XxflO5

/15

因此，平面POD與平面PBC的夾角的余弦值為一^一.

(III)解：設(shè)點(diǎn)M(0,0,t),其中OWtW遮，則扇=(一1,

—1/￡),

由已知可得IcosVBA,￡>|=叵4=4里=空，

\BM\-\n\-2+2X同8

整理可得3/一14V^t+13=0,因?yàn)镺WtwVI,解得t=第，因此，0M=等.

42y2

18.(15分)已知橢圓C：—+￡7=1(a>b>0)的焦距為2次，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),

a2b2

過(guò)點(diǎn)A的直線/與橢圓交于點(diǎn)B.

第19頁(yè)共24頁(yè)

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)M為線段A8的中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，0M所在的直線與橢圓C交于尸，。兩點(diǎn)(點(diǎn)

。在x軸上方)，問(wèn)是否存在直線/使得△AMQ的面積是△BMO面積的6倍？若存在，

求直線/的方程，并求此時(shí)四邊形4P8Q的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

久2y2

解：(I)因?yàn)橹獧E圓C：—+—=1(a>b>0)的焦距為26,

a2b2

所以2c=2>/3=>c=V3=>c2=3,又因?yàn)樵摍E圓過(guò)A(0?-1),

所以丁十^2^-=1=戶=1,因此/=y+。2=3+[=4,

z

QNb

x2

因此該橢圓的方程為：—+y2=l；

(II)顯然直線/存在斜率，設(shè)為k(ZWO),該直線方程設(shè)為y=fcv-1,

與橢圓方程聯(lián)立，|彳+'-1=(1+41)/_8kx=0=%=0,或%=———2>

[y=kx-ll+4fc

所以點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為：一二，則有一成立,

l+4/c21+4必

因此點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：舟.k一1=怎,即B(舟,

18/c4k

因?yàn)镸為線段A5的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：--——7=-77，

2l+4/c2l+4/c2

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：-(7^77-1)=-T4TT-即”(*7，——2)，

2l+4/c2l+4/c2'1+4/l+4k"

所以直線的斜率為：心押:一4，

c4k

1+4/C2

X2

所以直線OM的方程為：y=-正1%=%=-4初，把它代入橢圓方程丁+丁=1中,

得：y=±—L=,因?yàn)辄c(diǎn)。在X軸上方，所以點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為：7r它的橫坐

4k+1

14k

標(biāo)為：/丁(—4k)

V4k2+1、4H+T

產(chǎn)1||4k2+1

7^711_1_W4k2+1+11

點(diǎn)Q到直線/的距離為：

y/k2+lVfc2+1V/c2+l

V4fc2+1+1

yJk2+l，

|-1|1

點(diǎn)O到直線/的距離為：4==-y==，

V/c^+lVF+1

第20頁(yè)共24頁(yè)

假設(shè)存在直線I使得△AMQ的面積是△8M。面積的6倍,

-1V4/C2+1+111

則有屋心+1平根=2-VTO.1則'6'

因?yàn)镸為線段A8的中點(diǎn)，

所以有HMT8M，于是有44k2+1+I=6nk2=6nk=土布，顯然滿足

—2<—<2,直線/的方程為，V6x—y-1=0,或n尤+y+1=0,

1+4必

8k4?六必二8%卜必+1_8742

\AB\=+I）2

l+4/c21+4必=k

當(dāng)直線/的方程為，V6x—y-1=0,此時(shí)Q（—‘當(dāng)，g）和—^）,

18y/42|-^^xV6--l||^^xV6+1-l|876

四邊形APBQ的面積為：-x--（---5—+—~蕓一）=—,

225V7V75

當(dāng)直線/的方程為，V6x+y+1=0.此時(shí)Q（42卷）和P（—今生—i）,

18V42|^xV6+1-l||-^xV6-1-l|8A/6

四邊形的面積為:

AP802'H樂(lè)+樂(lè)）=V

所以存在使得△AMQ的面積是aBM。面積的6倍的直線，方程為：

8

V6x—y—1=0,或V^x+y+l=0,四邊形APBQ的面積為一^—.

19.（15分）已知在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛麗｝中，m=1,且山，02,“5成等比數(shù)列,

n+1

數(shù)列｛加｝中，加=log2（42+1）,bn+1=4bn+2,nGN*.

（I）求｛”“｝的通項(xiàng)公式及其前"項(xiàng)和S”；

（II）求證：｛%+29是等比數(shù)列，并求｛為｝的通項(xiàng)公式;

（III）設(shè)“求數(shù)列｛Cn｝的前2"項(xiàng)的和公”.

kG.N*,

解：（/）設(shè)各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛加｝的公差為d#0,=且ai,42,a5成等比

數(shù)列，

.,.諼=ai?45,即（1+d）2=1+44,解得d=2,

1+2（n-1）—2n-1.

.3=幾（1+占1）=/.

（〃）證明：數(shù)列｛d｝中，Z?l=10g2（02+1）=log24=2,

第21頁(yè)共24頁(yè)

n+1

'：bn+1=4bn+2,nGN*.

，6"+i+2"+i=4(加+2"),加+2=4.

，數(shù)列｛/+2"｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4,公比為4,

nn

：.bn+2=4,

n

：.bn=^-2".

(Ill)①n=2k時(shí)，keN*,Cn=C2k=—J=-77-

k

bk+24K

數(shù)列｛czi｝的前k項(xiàng)的和At=*+亳+…+等土

.1.1,3,,2k—3,2k—1

?.74=+-Q+H----r-I—rrr-，

44Z4?4"4及十1

()

3i1112fc-l_1,2f2fe-l

『=

4+2K&+…+H4Z+I-44卜+1'

3562+125353n+125

化為：Ak=

99x4feV9x2n-

3x2^_3x21_3x2&

②時(shí)，

"=2k-1Cnk+lkkk+1k+1fc+1

4bk-2+2-4(4-2)-2+2-(2-l)(2-2)

fc_1

3x2：=3(11

(2fc+1-l)(2k-l)-22k-l2k+1-l,

all11