專題06 整式乘法與因式分解單元過關（培優(yōu)版）解析版

專題06整式乘法與因式分解單元過關（培優(yōu)版）考試范圍：第十四章；考試時間：120分鐘；總分：150分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評卷人得分一、單選題1．（2022秋·福建福州·八年級?？茧A段練習）下列運算正確的是（）A．x16÷xC．2a2+3【答案】B【分析】選項A根據同底數(shù)冪的除法法則判斷，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；選項B根據冪的乘方運算法則判斷，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；選項C根據合并同類項法則判斷，合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項D根據同底數(shù)冪的乘法法則判斷，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【詳解】解：A.x16B.(aC.2aD.b3故選：B．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法，合并同類項以及冪的乘方，掌握冪的運算法則是解答本題的關鍵．2．（2023春·福建泉州·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）下列計算中，正確的是（）A．a2?a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．a2+a3＝a5 D．a8÷a2＝a4【答案】A【分析】根據同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項法則及同底數(shù)冪的除法逐一計算可得．【詳解】解：A．a2?a3＝a5，故此選項符合題意；B．（a2）3＝a6，故此選項不合題意；C．a2+a3，無法計算，故此選項不合題意；D．a8÷a2＝a6，故此選項不合題意；故選：A．【點睛】本題同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項法則及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．3．（2023·福建福州·八年級校聯(lián)考期中）下列計算中，正確的是（

）A．xy3=xy3 B．a+a=a2【答案】C【分析】根據冪的運算、整式的加減的運算法則即可求解．【詳解】A.xy3=B.a+a=2a，故錯誤；

C.b2?D.y3故選C．【點睛】此題主要考查整式的加減、冪的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．4．（2023·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）若2x2+m與2x2+3的乘積中不含x的二次項，則m的值為（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】利用多項式乘以多項式法則進行計算，再結合“2x2+m與2x2+3的乘積中不含x的二次項”得出6+2m＝0，然后求解即可得出答案．【詳解】解：（2x2+m）（2x2+3）＝4x4+6x2+2mx2+3m，=4x4+(6+2m)x2+3m，∵2x2+m與2x2+3的乘積中不含x的二次項，∴6+2m＝0，∴m＝﹣3．故選：A．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式．多項式乘以多項式法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．5．（2023春·七年級課時練習）x15÷xA．x5 B．x45 C．x12【答案】C【分析】根據同底數(shù)冪的除法進行計算即可求解．【詳解】解：x故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪的除法的運算法則是解題的關鍵．6．（2023春·七年級單元測試）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足【

】A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a【答案】B【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據差與BC無關即可求出a與b的關系式．【詳解】如圖，設左上角陰影部分的長為AE，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為CG=a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，∴陰影部分面積之差S=AE?AF-PC?CG=PC+4b-a∵S始終保持不變，∴3b﹣a=0，即a=3b．故選:B．【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．（2023·七年級統(tǒng)考課時練習）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【分析】根據因式分解是將一個多項式轉化為幾個整式的乘積的形式，根據定義，逐項分析即可．【詳解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等號的右邊不是整式的積的形式，故此選項不符合題意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，這是整式的乘法，故此選項不符合題意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此選項符合題意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等號的右邊不是整式的積的形式，故此選項不符合題意；故選C．【點睛】此題考查因式分解的意義，解題的關鍵是看是否是由一個多項式化為幾個整式的乘積的形式．8．（2023·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）已知25x2+kxy+4y2是一個完全平方展開式，那么k的值是(

)A．20 B．10 C．±20 D．±10【答案】C【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據中間項為這兩個數(shù)乘積二倍即可確定k的值．注意有兩種情況.【詳解】解：∵25x2+kxy+4y2=（5x）2+kxy+（2y）2是一個完全平方展開式，∴k＝±20．故選C．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．9．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，這是一種數(shù)值轉換機的運算程序．若輸入的數(shù)x=5，則經過2022次運行后，輸出的數(shù)是（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】由圖示知，當輸入的數(shù)x為偶數(shù)時，輸出12x，當輸入的數(shù)x是奇數(shù)時，輸出3x+1，按此規(guī)律，求出若輸入的數(shù)為5，每次輸出的數(shù)的規(guī)律，判斷出第【詳解】解：若輸入的數(shù)為5，第1次輸出15+1=16，第2次輸出12第3次輸出12第4次輸出12第5次輸出12第6次輸出3+1=4，…，故從第3次輸出開始，三個一循環(huán)，2022-2所以2022次輸出的數(shù)為4；故選：C．【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，找到輸出數(shù)據呈周期性變化規(guī)律是解決本題的關鍵．10．（2023·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）下列四個多項式，可能是2x2＋mx－3(m是整數(shù))的因式的是A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1【答案】B【分析】將原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【詳解】解：根據2x2+mx-3的常數(shù)項是-3，利用十字相乘法將2x2+mx-3分解．2x2+mx-3（m是整數(shù)）的因式的是2x+3；故選：B.【點睛】此題考查因式分解，根據二次項和常數(shù)項將多項式分解因式是解題的關鍵.第II卷（非選擇題）評卷人得分二、填空題11．（2023·福建·模擬預測）把3a2-6a+3【答案】3【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：3=3=3a-1故答案為：3a-1【點睛】本題考查提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．靈活運用因式分解的方法是解題的關鍵．12．（2023·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）計算：20192+【答案】1【分析】根據完全平方公式因式分解計算即可.【詳解】原式20192+2020故答案為：1.【點睛】本題考查了完全平方公式進行因式分解，熟練掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本題的關鍵．13．（2023·福建泉州·八年級?？茧A段練習）若M=2+122+12【答案】6【分析】將原式轉化成M=(2-1)2+1【詳解】M==(2-1)=(=(=(=(=(=∵232∴M=2+122故答案為：6．【點睛】本題考查平方差公式、尾數(shù)特征等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．14．（2023·福建福州·八年級福建省福州延安中學校考期中）先閱讀后計算：為了計算4×（5+1）×（52+1）的值，小黃把4改寫成5﹣1后，連續(xù)運用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．請借鑒小黃的方法計算：1+12×【答案】2-【詳解】試題分析：把求值的式子乘以2×1-1解：原式=2×1-1=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2-115．（2022秋·八年級課時練習）若x2+2(m-3)x+16是關于x的完全平方式，則m=【答案】7或-1【分析】直接利用完全平方公式的定義得出2（m-3）=±8，進而求出答案．【詳解】解：∵x2+2（m-3）x+16是關于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案為-1或7．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關鍵．16．（2023·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考期中）如圖，邊長分別為a，b(a>b)的兩個正方形并排放在一起，當a-b=m，ab=n時，陰影部分的面積為【答案】1【分析】利用割補法把圖形陰影部面積為：兩個正方形面積減去兩個三角形面積，用a、b表示出面積并化簡，最后配成完全平方形式即可求解．【詳解】解：∵兩正方形面積和為：a2+三角形①面積為：12三角形②面積為：12∴S陰影=整理得S陰影∵當a-b=m，ab=n則S陰影故答案為：12【點睛】本題主要考查完全平方公式在幾何圖形中的應用．此類題主要是應用幾何圖形的面積間等量的關系，來驗證完全平方公式；或者通過完全平方公式求解幾何圖形的面積的問題．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系,更需注意要根據所找到的規(guī)律做題．評卷人得分三、解答題17．（2023·福建廈門·八年級廈門市華僑中學校考期中）計算：x2（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．【答案】x2+x【分析】先根據單項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項即可．【詳解】解：原式＝x3+3x2﹣x3﹣2x2+x＝x2+x．【點睛】本題考查了單項式乘以多項式和合并同類項法則，能靈活運用知識點進行化簡是解此題的關鍵．18．（2023·福建福州·八年級福建省福州則徐中學?？茧A段練習）已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．【答案】12，±1【分析】先根據完全平方公式求出xy的值，再根據完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可.【詳解】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴25＝72﹣2xy，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝25﹣2×12＝1，∴x﹣y＝±1．故答案為12，±1.【點睛】本題考查完全平方公式.19．（2023·福建泉州·八年級校考期末）（1）利用乘法公式計算：(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2（2）利用乘法公式計算：20162【答案】（1）-5a2+6ab-8b【分析】（1）先根據平方差公式和完全平方公式計算，再合并同類項即可；（2）利用平方差化簡分母即可求解．【詳解】（1）解：原式==b（2）解：2016===1．【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算順序及乘法公式是解答本題的關鍵．20．（2022春·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷【答案】2a+b，-1【分析】先根據乘法公式算乘法，合并同類項，算除法，最后代入求出即可．【詳解】解：2a+b＝4＝4ab+2＝2a+b，當a=-14，b=-12時，原式＝2×（-14）＋（【點睛】本題考查了整式的混合運算和求值，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．21．（2022秋·八年級課時練習）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c，例如：因為23=8，所以（1）根據上述規(guī)定，填空：(3,27)=_____，(5,1)=_____；（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象，3n設3n,4n=x∴3x=4，即∴3請你嘗試用這種方法證明下面這個等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)【答案】（1）3,0；（2）證明見解析.【分析】（1）根據材料給出的信息，分別計算，即可得出答案；（2）設(3,4)=x，(3,5)=y，根據同底數(shù)冪的乘法法則即可得出答案.【詳解】（1）∵33∴(3,27)=3；∵50∴(5,1)=0；（2）設(3,4)=x，(3,5)=y，則3x=4，∴3x+y∴(3,20)=∴(3,4)+(3,5)=(3,20)．【點睛】本題考查了乘方的運算、冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法運算，解題的關鍵是理解題目中定義的運算法則.22．（2022秋·福建泉州·八年級福建省惠安第一中學校聯(lián)考期中）已知：a+b=1，ab=-(1)求ab(2)求a2(3)若a-b=k2-2【答案】(1)-(2)17(3)k=【分析】（1）將代數(shù)式ab2+a2b用提公因式法因式分解為（2）將a2+b2變形為(a+b)2（3）類似的方法將(a-b)2變形為(a+b)2-4ab，代入計算后求出a-b的值，繼而根據a-b=【詳解】（1）解：∵a+b=1，ab=-15∴ab（2）解：∵a+b=1，ab=-15∴a=1-2(-=1+=17（3）解：∵(a-b)=1-4(-15∴a-b=±4當a-b=4時，k2-2=4，∵k為非負數(shù)，∴k=6當a-b=-4時，k2-2=-4，∴k=6【點睛】本題考查了完全平方公式的應用以及提取公因式分解因式，能夠靈活應用完全平方公式是解題的關鍵．23．（2023·福建廈門·八年級廈門五緣實驗學校?？计谥校﹥蓚€不相等的實數(shù)m，n滿足m2+n2＝40．（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．【答案】（1）﹣12；（2）6，2【分析】（1）利用配方法可得m2+2mn+n2＝16，再代入m2+n2＝40即可求mn的值．（2）根據m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，可得m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，代入m2+n2＝40，可得（m+n）2﹣2mn＝40，即k＝20﹣3（m+n），再根據m2﹣6m﹣n2+6n＝0可求m+n的值，代入即可求出k的值．【詳解】解：（1）∵m+n＝﹣4，∴（m+n）2＝16，m2+2mn+n2＝16，∵m2+n2＝40，∴40+2mn＝16，∴mn＝﹣12；（2）∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，∵m2+n2＝40，∴（m+n）2﹣2mn＝40，∴k＝20﹣3（m+n），∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，則（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，∵m、n不相等，∴m+n＝6，∴k＝2．【點睛】本題考查了代數(shù)式的運算問題，掌握配方法和代入法是解題的關鍵．24．（2022秋·福建泉州·八年級福建省南安第一中學?？茧A段練習）教材中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2原式=(x例如：求代數(shù)式x2原式=x∵(x+2)2∴當x＝﹣2時，x2+4x+6有最小值是根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：m2(2)求代數(shù)式x2(3)若y=-x2+2x-3，當x＝時，y有最值（填“大”或“小”），這個值是(4)當a，b，c分別為△ABC的三邊時，且滿足a2+b2+【答案】(1)(m+1)(m-5)；(2)x2-6x+12的最小值是(3)1，大，-2(4)△ABC是等腰三角形．理由見解析【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進行因式分解；（2）湊成完全平方加一個數(shù)值的形式；（3）和（2）類似，湊成完全平方加以一個數(shù)值的形式；（4）先因式分解，判斷字母a、b、c三邊的關系，再判