專題3.6求離心率（強化訓練）（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）

第第頁專題3.6求離心率題型一利用幾何性質求解題型二利用坐標法求解題型三利用第一定義求解題型四利用第二定義求解題型五利用第三定義求解題型六與斜率乘積相關題型七焦點三角形雙余弦定理模型題型八焦點弦與定比分點題型一 利用幾何性質求解1．已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】求出線段的中點坐標，根據(jù)兩直線垂直斜率關系可得，再結合可求得離心率.【詳解】

如圖，設的垂直平分線與交于點，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故答案為：.2．已知雙曲線的左焦點為，坐標原點為，若在雙曲線右支上存在一點滿足，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】構建焦點三角形，判斷出其為直角三角形，進而可求.【詳解】如圖，因為，所以，所以，則，，，解得.故答案為：

3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且，過作的垂線交軸于點，若，記橢圓的離心率為，則.【答案】【分析】由題意可得，從而可求得，根據(jù)勾股定理可求得，利用橢圓離心率的定義即可求得結果.【詳解】如下圖所示：

因為，，所以，可得，即，可得；又在中，，由橢圓定義可得，即，所以，可得.故答案為：4．橢圓的兩個焦點為是橢圓上一點，且滿足.則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，可得，進而得出，再求出離心率范圍即得.【詳解】由點滿足，得，即是直角三角形，原點是斜邊的中點，因此，又點在橢圓上，則，即，整理得，即，而，因此，所以橢圓離心率的取值范圍為.故選：D5．點P在橢圓上，且在第一象限，過右焦點作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為．【答案】/【分析】延長，交于點Q，根據(jù)PA是的外角平分線，得到，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】延長，交于點Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點，，且.又，，，則，∴離心率為.故答案為：6．如圖，是橢圓上的三個點，經(jīng)過原點經(jīng)過右焦點，若且，則該橢圓的離心率為.

【答案】【分析】設橢圓的左焦點為，連接，設，利用對稱性得到，，，再根據(jù)，分別在和中，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示：

設橢圓的左焦點為，連接，設，由對稱性知：，，，因為，所以，在中，，即，解得，在中，，將代入上式，得，故答案為：題型二 利用坐標法求解7．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡得到，結合，化簡得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設，聯(lián)立方程組，解得.因為，所以，即，可得.又因為點在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

8．已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設P的坐標，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標表示，結合雙曲線離心率的計算公式求解即得.【詳解】設，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當且僅當時取等號，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D9．過雙曲線的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，為虛軸上的一個端點，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質求出的坐標，寫出向量，根據(jù)∠ADB為鈍角，結合向量的數(shù)量積公式化簡求解即可.【詳解】設雙曲線的左焦點為，令，得，可設由對稱性，不妨設，可得，，由題意知三點不共線，所以∠ADB為鈍角，即為，將代入化簡得，由，可得，又，解得，則，綜上，離心率的取值范圍為．故選：D.10．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，過作x軸的垂線交C于點P﹒于點M（其中O為坐標原點），且有，則C的離心率為.【答案】【分析】由向量垂直的坐標表示得出關于的齊次式后可得離心率．【詳解】如圖，易得，，，設，，由得，，解得，即，，又，∴，，代入得，因為故解得，故答案為：．

11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作直線分別交雙曲線左支和一條漸近線于點（在同一象限內），且滿足．聯(lián)結，滿足．若該雙曲線的離心率為，求的值．【答案】【分析】設點，由，在雙曲線上，得到的坐標，然后根據(jù)在漸近線上列方程，解方程得到，然后求離心率即可.【詳解】

不妨設，由得，化簡得（1），在雙曲線上，∴，即，代入（1）解得，，，又在漸近線上，，即．兩邊平方得（2），將和代入（2）得，化簡得，解得或（舍去），即，化簡得.故答案為：.12．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段與軸的交點恰為的中點，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】求得點坐標，根據(jù)直線的斜率列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】由于線段與軸的交點恰為的中點，且是的中點，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D

13．直線與橢圓C：的交點在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)在橢圓上和直線上列方程，整理后求得橢圓的離心率.【詳解】設在第一象限的交點為A，右焦點為，根據(jù)題意：軸，A在橢圓上，由解得，則，A在直線上，則，所以，，，所以，解得.故選：A題型三 利用第一定義求解14．已知橢圓分別是的左，右焦點，為上一點，若線段的中點在軸上，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點關系可得軸，進而根據(jù)直角三角形中的邊角關系，結合橢圓定義即可求解.【詳解】由于線段的中點在軸上,是的中點，所以軸，，，所以，由橢圓定義可得，故選：A

15．，是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)，得到，且是的角平分線，再結合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：因為，所以，則是的角平分線，所以，又因為，所以，設，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：16．已知橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】利用向量的數(shù)量積的運算律，以及橢圓的定義，利用齊次化方法求離心率.【詳解】因為，所以，即，所以，所以.設，則，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以.

故答案為:.17．已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，結合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設，則，，，

在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.18．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，利用余弦定理可得，再由雙曲線定義可得，由離心率定義可得.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可設，易知；由余弦定理可知，可得；即，由雙曲線定義可知可知，即；所以離心率.故選：A19．已知是雙曲線的左，右焦點，過點傾斜角為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設，利用雙曲線的定義及題中幾何關系將用表示，再利用幾何關系建立關于齊次方程，從而求出離心率.【詳解】如圖，過作與,

設，則，，∴，，，由題意知，∴在中，，，∴，在中,,即解得.雙曲線的離心率為.故選：A.題型四 利用第二定義求解20．已知直線與雙曲線（，）的漸近線交于，兩點，且過原點和線段中點的直線的斜率為，則的值為．【答案】【分析】設，，利用點差法可求的值.【詳解】設，，的中點為，故，所以即，所以.因為過原點和線段中點的直線的斜率為，故.由可得，所以，所以.故答案為.【點睛】直線和圓錐曲線的位置關系中，如果涉及到弦的中點問題，可以考慮用點差法來簡化計算.21．已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形，結合勾股定理即可求解.【詳解】設，則，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故選：D22．設，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】如圖，設，由題意，橢圓定義結合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.【詳解】如圖，設，則，.又由橢圓定義可得.則在中，由余弦定理可得:.則，則在由余弦定理可得：.又.故答案為：

23．已知橢圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理與構建出關于、、的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.【詳解】設，，，過點做傾斜角為的直線斜率，直線方程為，聯(lián)立方程，可得，根據(jù)韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.故選：C.24．已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達定理，進而根據(jù)向量共線的坐標運算可得，進而結合求解離心率.【詳解】設，，，過點所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.故選：C25．設分別為橢圓的左右焦點，M為橢圓上一點，直線分別交橢圓于點A，B，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出，根據(jù)向量的定比分點，將兩點的坐標表示成含的式子，再代入橢圓方程聯(lián)立即可解得，即可求得離心率.【詳解】如下圖所示：

易知，不妨設，，易知，由可得，即同理由可得；將兩點代入橢圓方程可得；即，又，整理得解得，所以離心率；故選：D26．已知橢圓，過左焦點且不與軸垂直的直線交于、兩點，若直線上存在點，使得是等邊三角形，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設直線的方程為，其中，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的長以及等邊的高，根據(jù)幾何關系可得出，即可求得該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】知點，設直線的方程為，其中，設點、，

聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，所以，，設線段的中點為，則，，因為為等邊三角形，則，且直線的斜率為，所以，，且，即，即，整理可得，所以，，故選：D.題型五 利用第三定義求解27．雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根據(jù)點差法，設出交點坐標，代入作差即可得解.【詳解】設代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B．【點睛】本題考查了解析幾何中的點差法，點差法主要描述直線和圓錐曲線相交中斜率和中點的關系，在解題中往往大大簡化計算，本題屬于基礎題.28．已知斜率為的直線與雙曲線：(，)相交于、兩點，且的中點為.則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，得，兩式做差得到，代入條件即可計算離心率．【詳解】設，兩式做差得整理得，而，，，代入有，即可得．故選：A.【點睛】直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的內容之一，也是高考的一個熱點問題，其解法可以利用“點差法”．29．已知橢圓，點為左焦點，點為下頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點，且的中點為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點差法解決中點弦問題.【詳解】由題意，設橢圓方程為，有，，設，，的中點為，，．，．由，．兩式相減得，即，，可得：，，化為：，解得，，．故選：A．30．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別為雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，直線l：1與C交于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于T（﹣5c，0），則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點為S(x0，y0)，運用點滿足雙曲線方程，作差，結合中點坐標公式和平方差公式，以及直線的斜率公式，兩直線垂直的條件，以及雙曲線的離心率公式，計算可得所求值．【詳解】設M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點為S(x0，y0)，聯(lián)立方程組，兩式相減可得b2(x12﹣x22)=a2(y12﹣y22)，可得b2(x1﹣x2)(x1+x2)=a2(y1﹣y2)(y1+y2)，可得2b2(x1﹣x2)x0=2a2(y1﹣y2)y0，所以kMN，即（1），由kMNkST=-1，可得1（2），由（1）（2）可得x0，y0=5b，即S(，5b)，又S在直線l上，所以5＝1，解得e．故選：D．【點睛】本題考查了雙曲線的方程和性質，考查了點差法和方程思想、運算求解能力，屬于中檔題．31．（多選）已知橢圓的焦點分別為，，設直線l與橢圓C交于M，N兩點，且點為線段的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．橢圓C的離心率為C．直線l的方程為 D．的周長為【答案】AC【分析】先由題意求出即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點差法可以求出直線l的斜率，由直線的點斜式化簡即可判斷C；由焦點三角形的周長公式即可判斷D.【詳解】如圖所示：

根據(jù)題意，因為焦點在y軸上，所以，則，故選項A正確；橢圓C的離心率為，故選項B不正確；不妨設，則，，兩式相減得，變形得，又注意到點為線段的中點，所以，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，故選項C正確；因為直線l過，所以的周長為，故選項D不正確.故選：AC．32．已知橢圓上一點M，點F為右焦點，點P為下頂點，，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】過作軸于，根據(jù)相似關系確定，代入方程計算得到答案.【詳解】如圖所示：過作軸于，，則，，故，則，整理得到，故.故答案為：.題型六 與斜率乘積相關33．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，F(xiàn)是C的焦點，點P為C的右支上位于第一象限的點，且軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由已知可得,,的坐標，求得,所在直線的斜率，再由直線與直線的斜率之比為3列式求雙曲線的離心率．【詳解】由題意可得，，，點的橫坐標為，代入，又，所以，，，則，可得．即雙曲線的離心率為2．故選：C．

34．設雙曲線的右焦點為，點A滿足，點P、Q在雙曲線上，且．若直線PQ，PF的斜率之積為，則雙曲線的離心率為．【答案】/【詳解】如圖，取P，Q的中點為M，連接OM，PF，則由題意可得，，，所以，相似，所以，因為直線PQ，PF的斜率之積為，所以，設，，則,且，兩式相減可得,即，即，即，所以雙曲線的離心率為．故答案為：.35．設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】取線段的中點，連接，推導出，可得出，利用點差法可求得的值，由此可求得橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，點為橢圓的左焦點，因為點、，易知點為線段的中點，又因為為的中點，所以，，取線段的中點，連接，則，所以，，所以，，故，設點、，則點，所以，，兩個等式作差可得，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為.故答案為：.36．已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．【答案】/【分析】設，求出的斜率，利用點差法求出直線的斜率，在根據(jù)題意求出之間的關系即可得解.【詳解】，設，因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為，所以，則，由直線l與C相交于A，B兩點，得，兩式相減得，即，所以，即，所以，則，所以，所以離心率.故答案為：.

37．雙曲線C：的右頂點為，點均在C上，且關于y軸對稱.若直線AM，AN的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，設，則，且，而，，，所以.故選：A38．已知橢圓的右頂點為A，P、Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結合橢圓方程整理得，進而可求離心率.【詳解】由題意可知：，設，則，可得，則，又因為點在橢圓上，則，整理得，可得，即，所以C的離心率.故選：A.

39．橢圓：的左頂點為，點，是上的任意兩點，且關于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再結合可求出離心率.【詳解】由題意得，設，因為點，是上的任意兩點，且關于軸對稱，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以離心率，故選：C

題型七 焦點三角形雙余弦定理模型40．已知雙曲線左右焦點分別為，，過的直線在第一象限與雙曲線相交于點，與軸的負半軸交于點，且，，則雙曲線的離心率為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，設，利用由雙曲線的定義，求得，，，分別在和中，由余弦定理，列出方程，求得關系式，即可求解.【詳解】因為且，可設，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.

41．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為坐標原點．過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】先由已知雙曲線方程得出一條漸近線方程，再利用點到直線的距離公式求出，進而求出，，再利用余弦定理得出與的關系，進而求出離心率.【詳解】由雙曲線的性質可知，雙曲線的一條漸近線方程為，焦點，.

由作該漸近線的垂線，則由點到直線的距離公式可得，所以，所以，由于與互補，所以，即，可得，則離心率，故答案為：.42．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為，所以∽，設，則，設，則，．由角平分線的性質可得，由雙曲線的定義可得，，再結合余弦定理可得，從而可求解.【詳解】因為，則，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，解得．故選：A．43．已知雙曲線E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與E交于A，B兩點（B在x軸的上方），且滿足．若直線的傾斜角為120°，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設則,由雙曲線的定義知,，在和中分別利用余弦定理,然后兩式相減即可求解.【詳解】設則,則,由雙曲線的定義知,,在中,由余弦定理可得,，即，在中,由余弦定理可得,即兩式相減可得,,所以離心率.故選:D【點睛】本題考查雙曲線及其性質、直線與雙曲線的位置關系,及三角形中的余弦定理;考查運算求解能力和轉化與化歸能力;雙曲線定義的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.44．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，利用雙曲線定義表示出的長，再利用勾股定理可得，在和中，分別利用余弦定理可得，聯(lián)立兩式即可得離心率.【詳解】如下圖所示，連接，易知以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，即為圓的直徑，所以；

不妨設，則，由雙曲線定義可得所以，即，整理得在中可得，；在中可得，；又易知，可得聯(lián)立可得，，則雙曲線的離心率為故選：B45．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與雙曲線C交于A，B兩點（點A在第二象限），且.則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線斜率可得傾斜角，作焦點三角形，利用余弦定