第11講 二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問題專題探究(原卷版)

第11講二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問題專題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓矩形兩大性質(zhì)【內(nèi)角=90°＋對(duì)角線相等→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問題】正方形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問題【類題訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．2．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，4），與x軸交于A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A，B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BD為對(duì)角線的矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求四邊形PBDC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為對(duì)角線的正方形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．?4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線BD∥AC交拋物線于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，連接DP，交AC于點(diǎn)E，連接BE，BP，求△BPE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位得到新的拋物線y'，點(diǎn)M是新拋物線y'對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出所有以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的求解過程．5．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C為該拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）點(diǎn)D在拋物線上（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)，問是否存在正方形ACPD？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，△BCP的面積最大，并求出這個(gè)最大面積．（3）在直線CD上有點(diǎn)E，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)以O(shè)、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．8．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)B．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)M在線段AB上，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．①若MN：NC＝2：5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PBC的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長數(shù)值是面積數(shù)值的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“二倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)P（，3）是“二倍點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍點(diǎn)”的有；（2）若點(diǎn)E為雙曲線y＝﹣（x＞0）上任意一點(diǎn)．①請說明隨著點(diǎn)E在圖象上運(yùn)動(dòng)，為什么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大？②若將點(diǎn)E向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F為“二倍點(diǎn)”．（3）已知“二倍點(diǎn)”M在拋物線y＝x2（x＞0）的圖象上，“二倍點(diǎn)”N在一次函數(shù)y＝x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)G在x軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)H，若以點(diǎn)M，N，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．11．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）如圖1，請判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作DP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，過P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點(diǎn)