滬教版九年級上冊數(shù)學(xué)知識梳理（本學(xué)期匯編）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（滬教版上海專用）

滬教版九年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)知識梳理匯編（含本學(xué)期三章內(nèi)容）第24章相似三角形知識梳理【知識網(wǎng)絡(luò)】一、比例線段及比例的性質(zhì)1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng).（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．（3）比例的項(xiàng)：已知四條線段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做組成比例的項(xiàng)，線段ａ，d叫做比例外項(xiàng)，線段ｂ，ｃ叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段ｄ還叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例項(xiàng)．（4）比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段ｂ叫做線段ａ和ｃ的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：(2)反比性質(zhì)：(3)更比性質(zhì):或(4)合比性質(zhì):(5)等比性質(zhì):且3.平行線分線段成比例定理（1）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.（2）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應(yīng)成比例.（3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個(gè)基本圖形：這三個(gè)基本圖形的用途是:1.由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形(1):若l1//l2//l3，則或或或基本圖形(2):若DE//BC，則或或或基本圖形(3):若AC//BD，則或或或在這里必須注意正確找出對應(yīng)線段，不要弄錯(cuò)位置.2．由比例式產(chǎn)生平行線段基本圖形(2):若,,,,,之一成立，則DE//BC.基本圖形(3):若,,,,,之一成立，則AC//DB.要點(diǎn)：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問題通常轉(zhuǎn)化到“A”、“X”型中.A型X型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)：（1）重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍；（2）重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)(AC2＝AB·BC)，C點(diǎn)為黃金分割點(diǎn).2.黃金分割的求法①代數(shù)求法：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.分析：設(shè)C點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則AC2＝AB·CB，設(shè)AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根據(jù)求根公式，得：x＝∴(不合題意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，則C點(diǎn)可作.②黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.作法：如圖：(1)過B點(diǎn)作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)連結(jié)AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.則點(diǎn)C就是所求的黃金分割點(diǎn).證明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C點(diǎn)是線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)：①一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).②這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因?yàn)辄S金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價(jià)值.德國著名天文學(xué)家開普勒(Kepler，1571—1630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué).三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的識別：如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．②相似多邊形的周長比等于相似比．③相似多邊形的面積比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.②相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；④如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.⑤如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度問題，加深學(xué)生對相似三角形的理解和認(rèn)識.要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.四、實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義一般的，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長度為的向量.要點(diǎn)：設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；—P也就是將的長度進(jìn)行放縮，但方向相反.2.向量數(shù)乘的定義 一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：①的長度：；②的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點(diǎn)：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（3）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（4）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對于實(shí)數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.要點(diǎn)：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.（2）平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)：（1）定理中，，的符號由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿?，必有，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.（5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)λ，使.五、向量的線性運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算定義向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.要點(diǎn)：（1）如果沒有括號，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得.要點(diǎn)：（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解決平面幾何問題（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.第25章銳角的三角比知識梳理【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】一、銳角三角比1.正弦、余弦、正切、余切的定義如右圖，在Rt△ABC中，∠C=900，如果銳角A確定：(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cotA＝EQ\f(∠A的鄰邊,∠A的對邊)要點(diǎn)：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一個(gè)整體符號，即表示∠A四個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號“∠”，但不能寫成sin·A，對于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.2.銳角三角比的定義銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).要點(diǎn)：1.函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA、cotA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA、cotA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA>0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA130°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；邊邊關(guān)系：勾股定理，即；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即要點(diǎn)：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.2.常見的應(yīng)用問題(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：要點(diǎn)：1．解直角三角形的常見類型及解法：已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的基本方法是：把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：∵∴∵∴∵∴第26章二次函數(shù)知識梳理1.二次函數(shù)定義：如果y＝x2＋bx＋c(，b，c為常數(shù)，≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)2.二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象是對稱軸平行于y軸的一條拋物線拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.③頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸是直線3.二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)對應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì)：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)拋物線開口方向當(dāng)>0時(shí)開口向上，并向上無限延伸；當(dāng)＜0時(shí)開口向下，并無限向下延伸。頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）（0，c）（-m，0）（-m，k）（，）對稱軸y軸y軸直線x=-m直線x=-m直線最值＞0X=0時(shí)X=0時(shí)X=-m時(shí)X=-m時(shí)時(shí)，＜0X=0時(shí)X=0時(shí)X=-m時(shí)X=-m時(shí)時(shí)，增減性＞0在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小 在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大＜0在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大4.二次函數(shù)y=x2+bx+c（≠0）的系數(shù)，b，c，△與拋物線的關(guān)系決定開口方向：當(dāng)＞0時(shí)開口向上，＜0時(shí)開口向下。，b、b同時(shí)決定對稱