復雜控制算法

計算機控制系統(tǒng)第6章

復雜控制算法

6.1數(shù)字控制器設計原理Go(s)是被控對象的連續(xù)傳遞函數(shù)，D(z)表示數(shù)字控制器，Gh(s)是零階保持器，采樣周期為T。圖6-1計算機控制系統(tǒng)框圖廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)定義G(z)為則圖6-1對應的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(6-1)

(6-2)

與對象結構有關的設計方法，即按照某一期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(z)來設計數(shù)字控制器D(z)。這時，D(z)的結構將依賴于廣義對象G(z)的結構。因為G(z)和Φ(z)已知，故由式(6-2)可求得(6-3)

數(shù)字控制器的設計步驟如下：

1)根據(jù)式(6-1)求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

2)根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標要求和其他約束條件，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z) 3)根據(jù)式(6-3)求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z) 4)根據(jù)D(z)導出控制器的輸出u(k)設數(shù)字控制器的一般形式為

則

(6-4)

(6-5)

由此可得數(shù)字控制器輸出的時間序列為

按照式(6-6)，就可編寫出控制算法程序。(6-5)

(6-6)

6.2最小拍控制系統(tǒng)的設計6.2.1最小拍控制原理在數(shù)字控制系統(tǒng)中，通常把一個采樣周期稱為一拍。所謂最小拍控制，是指系統(tǒng)在某種典型輸入信號（如階躍信號、速度信號、加速度信號等）作用下，經(jīng)過最少的采樣周期使得系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為零。最小拍控制系統(tǒng)也稱最小拍無差系統(tǒng)或最小拍隨動系統(tǒng)。顯然這種系統(tǒng)對閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的性能要求是快速性和準確性。事實上最小拍控制就是一類時間最優(yōu)控制，系統(tǒng)的性能指標就是要求調節(jié)時間最短。 1.最小拍控制系統(tǒng)的設計由圖6-1可知，誤差的脈沖傳遞函數(shù)為

由誤差表達式

可知，要實現(xiàn)無靜差、最小拍，E(z)應該在最短時間內趨近于零，即E(z)應為有限項式。因此，在輸入R(z)一定的情況下，必須對Φe(z)提出要求。(6-7)

(6-8)

(6-9)

單位階躍輸入單位速度輸入單位加速度輸入由此可得典型輸入Z變換的一般形式：其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多項式根據(jù)Z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，Φe(z)必須含有(1-z-1)因子，且其冪次數(shù)不能低于q，即

式中，Q≥q，F(xiàn)(z)是關于z-1的有限多項式。

(6-10)

為了實現(xiàn)最小拍，Φe(z)中的z-1冪次須為最低。令Q=q，F(xiàn)(z)=1則所得Φe(z)既可滿足準確性，又可滿足快速性要求，于是：

(6-12)

(6-11)

2.典型輸入下最小拍控制系統(tǒng)分析1)單位階躍輸入

即，這說明一個采樣周期后，系統(tǒng)在采樣點上不再有偏差，這時過渡過程時間為一拍。2)

單位速度輸入

即，這說明經(jīng)過兩拍以后，偏差采樣值達到并保持為零，過渡過程時間為兩拍。

3)

單位加速度輸入

即，這說明經(jīng)過三拍以后，輸出序列不會再有偏差，過渡過程時間為三拍。例6.1

被控對象的傳遞函數(shù)和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為采樣周期T=0.5s，當輸入為單位速度函數(shù)時，試設計最小拍控制系統(tǒng)。圖6-2按單位速度輸入設計的最小拍控制器對不同輸入的響應曲線a)單位階躍輸入b)單位速度輸入c)單位加速度輸入3．最小拍控制器設計的限制條件(1)穩(wěn)定性閉環(huán)控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。只有廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的（即在Z平面單位圓上和圓外沒有極點），且不含有純滯后環(huán)節(jié)時，上述方法才能成立。如果不滿足穩(wěn)定條件，則應對設計原則作相應的限制。由式(6-2)可以看出，D(z)和G(z)總是成對出現(xiàn)的，但卻不允許它們的零點、極點相互對消。(2)物理可實現(xiàn)性

D(z)必須是物理可實現(xiàn)的，即當前時刻的輸出只取決于當前時刻及過去時刻的輸入，而與未來的輸入無關。在控制算法中，不允許出現(xiàn)未來時刻的偏差值，這就要求數(shù)字控制器D(Z)不能有z的正冪項。假定對象有d個采樣周期的純滯后，即 而我們所期望的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的一般形式為

顯然，要使D(z)可以實現(xiàn)，必須有這時，Φ(z)應具有形式由此可知，在最小拍控制中，期望的Φ(z)要在對象純滯后的基礎上加以確定，即根據(jù)上面的分析，設計最小拍系統(tǒng)時，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的可實現(xiàn)性，必須考慮以下幾個條件：1)為實現(xiàn)無靜差調節(jié)，選擇Φe(z)

時，必須針對不同的輸入選擇不同的形式，通式為2)為實現(xiàn)最小拍控制，F(xiàn)(z)應該盡可能簡單，F(xiàn)(z)的選擇要滿足恒等式：Φ(z)+Φe(z)

=13)為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Φe(z)的零點應包含G(z)的所有不穩(wěn)定極點；4)為保證控制器D(z)物理上的可實現(xiàn)性，G(z)的所有不穩(wěn)定零點和滯后因子均包含在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)

中。 (6-14)

6.2.2最小拍控制器設計的穩(wěn)定性問題

按照例6-1的方法設計的最小拍系統(tǒng)，閉環(huán)Z傳遞函數(shù)Φ(z)的全部極點都在z=0處，因此系統(tǒng)輸出值在采樣時刻的穩(wěn)定性可以得到保證。但系統(tǒng)在采樣時刻的輸出穩(wěn)定并不能保證連續(xù)物理過程的穩(wěn)定。如果控制器D(z)選擇不當，極端情況下控制量u就可能是發(fā)散的，而系統(tǒng)在采樣時刻之間的輸出值以振蕩形式發(fā)散，實際連續(xù)過程將是不穩(wěn)定的。例6.2圖6-1所示的系統(tǒng)中，被控對象的傳遞函數(shù)和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為采樣周期T=1s，當輸入為單位階躍函數(shù)時，試設計最小拍控制系統(tǒng)。圖6-1計算機控制系統(tǒng)框圖解首先求取廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)按例6-1的解法，因輸入是單位階躍，故則由此可導出輸出量及控制量從零時刻起的輸出系列為0，1，1，…，表面上看起來輸出可一拍后到達穩(wěn)態(tài)，但控制器輸出序列為3.744，-16.1，46.96，-130.985…，呈現(xiàn)振蕩發(fā)散，這必然導致對象的實際輸出是振蕩發(fā)散的，所以實際過程是不穩(wěn)定的，如圖6-3所示。圖6-3不穩(wěn)定的最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出由圖6-1可得，，即 如果對象G(z)的所有零點都在單位圓內，則控制器是穩(wěn)定的。若G(z)帶有在單位圓上和圓外的零點則為保證其穩(wěn)定性，Φ(z)必須含有相同的零點，即圖6-1計算機控制系統(tǒng)框圖(6-15)

于是，根據(jù) 選取F(z)時，就不能簡單地令F(z)=1而應根據(jù)Φ(z)中z-1的冪次確定F(z)的次數(shù)。上例中，由于對象G(z)有一個在單位圓外的零點z=－2.78，對于單位階躍輸入，若選取 并令 由此可解出 即控制器輸出是收斂的，其輸出時間序列為1，－1.486，0.5832，－0.1166，…系統(tǒng)輸出為圖6-4穩(wěn)定的有波紋最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出6.2.3無紋波最小拍控制系統(tǒng)設計

無紋波最小拍控制系統(tǒng)的設計，是對期望閉環(huán)響應Φ(z)進行修正，以消除采樣點之間的輸出紋波。因此，除了選擇Φ(z)以保證控制器的可實現(xiàn)性及閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性外，還應將被控對象G(z)在單位圓內的非零零點包括在Φ(z)中，以便對消控制器中引起振蕩的所有極點，使得輸出紋波得以消除。但這也增加Φ(z)中z-1的冪次，從而延長了調整時間。例6-2的輸出有紋波（見圖6-4），主要是由于對象傳遞函數(shù)有一個零點z=－0.2，從而使控制器有一極點z=－0.2，造成了控制量的上下波動。

為了消除紋波，令 在對單位階躍輸入作最小拍設計時，應滿足 由此可解出：控制器為

控制器輸出為當輸入為單位階躍時圖6-5無波紋最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出有波紋最小拍系統(tǒng)波形無波紋最小拍系統(tǒng)波形6.2.4有限拍控制

在最小拍設計的基礎上，如果把閉環(huán)Z傳遞函數(shù)φ(z)中的z-1冪次適當提高一到二階，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應將比最小拍時多持續(xù)一到二拍才歸于零。這時顯然已不是最小拍系統(tǒng)，但仍為一有限拍系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)的設計中，由于維數(shù)的增高，將使我們在選擇Φ(z)及Φe(z)中的若干待定系數(shù)時增加一些自由度。一般情況下，這有利于降低系統(tǒng)對參數(shù)變化的敏感性，并減小控制作用。以一階對象為例說明這一設計方法，設采樣周期T=1s，且單位反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)

如果選擇單位速度輸入設計最小拍控制器，按例6-1，則，由此得到數(shù)字控制器 這時，系統(tǒng)對單位速度輸入具有最小拍響應，如圖6-2b。(6-16)

如果被控對象的時間常數(shù)發(fā)生變化，使對象Z傳遞函數(shù)變?yōu)?則閉環(huán)Z傳遞函數(shù)將變?yōu)?6-17)

在單位速度輸入時 輸出值系列為0，0，2.4，2.4，4.44，4.56，6.384，6.648，…，顯然與期輸出望值0，1，2，3，…，相差較大，如圖6-6所示。

圖6-6參數(shù)變化時系統(tǒng)響應變差

針對這種情況，在設計輸入為單位速度的最小拍控制器時，如果不是取F(z)=1，而是取F(z)=1+0.5z-1（0.5是自由選擇的），那么可以得到 由此可求出 相應的有限拍控制器的Z傳遞函數(shù)為對單位速度輸入的響應為系統(tǒng)輸出在三拍后準確跟隨單位速度變化，所需拍數(shù)比最小拍時增加了一拍。當系統(tǒng)參數(shù)變化引起對象傳遞函數(shù)變?yōu)槭?6-17)所示的時，閉環(huán)傳遞函數(shù)為對單位速度輸入的響應為輸出系列為0，0，1.8，2.88，3.828，5.027，5.959，…，如圖6-7所示。與最小拍控制的圖6-6相比，控制系統(tǒng)對于參數(shù)變化的靈敏度顯然降低了。圖6-7增加調整時間后的系統(tǒng)響應圖6-6參數(shù)變化時系統(tǒng)響應變差Simulink仿真如圖6-8所示，這是降低參數(shù)變化靈敏度的系統(tǒng)。圖6-8離散控制系統(tǒng)仿真圖6.2.5慣性因子法慣性因子法是針對最小拍系統(tǒng)只能適用于特定的輸入類型，而對其它輸入不能取得滿意效果而采用的一種改進方法。它以損失控制的有限拍無差性質為代價，而使系統(tǒng)對多種類型輸入有較滿意的響應。這一方法的基本思想，是使誤差對系統(tǒng)輸入的Z傳遞函數(shù)不再是最小拍控制中的z-1有限多項式，而是通過一慣性因子項將其修改為閉環(huán)系統(tǒng)

不再為z-1的有限多項式。這表明，采用慣性因子法后，系統(tǒng)已不可能在有限個采樣周期內準確到達穩(wěn)態(tài)，而只能漸近地趨于穩(wěn)態(tài)，但系統(tǒng)對輸入類型的敏感程度卻因此降低。通過選擇合適的參數(shù)c，它可對不同類型的輸入均作出較好的響應。(6-18)

仍以式（6-16）所描述的一階對象為例，先按單位速度輸入設計最小拍控制系統(tǒng)，然后將期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)由改變?yōu)槭?6-18)的形式，并取c=0.5，即由此可得數(shù)字控制器為

系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應為這表明在期望值突變時，輸出漸近地趨于期望值，系統(tǒng)輸出如圖6-9a所示。系統(tǒng)對單位速度輸入的響應為系統(tǒng)輸出如圖6-9b所示，可見經(jīng)過四拍后，系統(tǒng)輸出基本跟蹤上期望輸出。圖6-9用慣性因子法改善系統(tǒng)對不同類型輸入的響應

a)單位階躍輸入b)單位速度輸入圖6-2按單位速度輸入設計的最小拍控制器對不同輸入的響應曲線a)單位階躍輸入b)單位速度輸入c)單位加速度輸入圖6-9用慣性因子法改善系統(tǒng)對不同類型輸入的響應

a)單位階躍輸入b)單位速度輸入6.3純滯后控制在工業(yè)過程（如熱工、化工）控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，使得被控對象具有純滯后性質，對象的這種純滯后性質對控制性能極為不利。當對象的純滯后時間τ與對象的時間常數(shù)T之比，即τ/T≥0.5時，采用常規(guī)的PID控制會使控制過程嚴重超調，穩(wěn)定性變差。早在20世紀50年代，國外就對工業(yè)生產(chǎn)過程中的純滯后對象進行了深入的研究。6.3.1施密斯(Smith)預估控制1.

施密斯預估控制原理在圖6-10所示的單回路控制系統(tǒng)中，D(s)表示調節(jié)器的傳遞函數(shù)，表示被控對象的傳遞函數(shù)，G(s)為被控對象中不包含純滯后部分的傳遞函數(shù)，為被控對象純滯后部分的傳遞函數(shù)。圖6-10帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母中包含有純滯后環(huán)節(jié)，它降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當純滯后時間τ較大時，系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的，這就是大純滯后過程難以控制的本質。(6-19)

施密斯預估控制器原理：引入一個補償環(huán)節(jié)與對象并聯(lián)，用來補償被控對象中的純滯后部分，該環(huán)節(jié)稱為預估器，其傳遞函數(shù)為，補償后系統(tǒng)框圖如圖6-11a所示。實際補償器的實現(xiàn)是并聯(lián)在控制器上的，故圖6-11a可轉換成圖6-11b的等效形式。由施密斯預估控制器和調節(jié)器組成的補償回路稱為純滯后補償器，其傳遞函數(shù)為D'(s)，即

(6-20)

圖6-11帶施密斯預估器的控制系統(tǒng)經(jīng)補償后的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-21)

6-12施密斯預估控制系統(tǒng)等效框圖

上式說明，經(jīng)過補償后，消除了純滯后部分對控制系統(tǒng)的影響，因為式中的在閉環(huán)控制回路之外，不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，拉氏變換的位移定理說明，僅僅將控制作用在時間軸上推移了一段時間τ

，控制系統(tǒng)的過渡過程及性能指標都與對象特性為時完全相同，如圖6-12a所示。圖6-12b表明，帶純滯后補償?shù)目刂葡到y(tǒng)就相當于在控制器為D(s)、被控對象為的系統(tǒng)的反饋回路串上一個傳遞函數(shù)為的反饋環(huán)節(jié)，即檢測信號通過超前環(huán)節(jié)后進入控制器。因此，從形式上可把純滯后補償視為對輸出狀態(tài)的預估作用，故稱為施密斯預估器。

2.具有純滯后補償?shù)臄?shù)字控制器由圖6-13可見，純滯后補償?shù)臄?shù)字控制器由兩個部分組成：一部分是數(shù)字PID控制器；另一部分是施密斯預估器。圖6-13具有純滯后補償?shù)目刂葡到y(tǒng)圖6-14施密斯預估器方框圖

(1)施密斯預估器施密斯預估器的輸出可按圖6-14計算，在此取PID控制器前一個采樣時刻的輸出u(k-1)作為預估器的輸入。為了實現(xiàn)滯后環(huán)節(jié)，在內存中設置N個單元作為存放信號m(k)的歷史數(shù)據(jù)，存儲單元的個數(shù)N由下式?jīng)Q定：（取整）式中：τ

——純滯后時間；

T——采樣周期。在每個采樣周期，把第N-1個單元移入第N個單元，第N-2個單元移入第N-1個單元，以此類推，直到把第1個單元移入第2個單元，最后將m(k)移入第1個單元。從單元N輸出的信號，就是滯后N個采樣周期的信號。圖中，u(k-1)是PID數(shù)字控制器上一個采樣（控制）周期的輸出，yτ(k)是施密斯預估器的輸出。從圖中可知，必須先計算傳遞函數(shù)G(s)的輸出后，才能計算預估器的輸出

(6-22)

許多工業(yè)對象可近似用一階慣性環(huán)節(jié)加純滯后來表示

式中：K——被控對象的放大系數(shù)；

T0——被控對象的時間常數(shù)；

τ——純滯后時間。則預估器的傳遞函數(shù)為

(6-23)

(2)

純滯后補償控制算法步驟1)

計算反饋回路的偏差e1(k)

2)

計算純滯后補償器的輸出。先由圖6-14求m(k)，再按式(6-22)得到y(tǒng)τ(k)

。式中

(6-24)

對式(6-23)這樣模型較簡單的對象，可由直接求出yτ(k)

上式稱為施密斯預估控制算法。(6-25)

3)

計算偏差e2(k)

4)

計算控制器的輸出u(k)。當控制器采用PID控制算法時，則(6-26)

(6-27)

算法的計算順序總是從最外面的回路向內進行，直到u(k)

6.3.2大林（Dahlin）算法(設計目標？）計算機控制系統(tǒng)如圖6-1所示，考慮帶有零階保持器的Φ(s)

，其所對應的期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

則

圖6-1計算機控制系統(tǒng)框圖(6-31)

(6-32)

1）被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)為：

將式(6-33)代入式(6-32)得到數(shù)字控制器

(6-33)

(6-34)

2)

被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)為

其中

將式(6-35)代入式(6-32)得

(6-35)

(6-36)

(6-37)

2.

振鈴現(xiàn)象及其消除方法

所謂振鈴（Ringing）現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出以1/2采樣頻率的幅度衰減的振蕩，這與前面介紹最小拍有紋波系統(tǒng)中的紋波實質上是一致的。

被控象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對系統(tǒng)的輸出幾乎沒有任何影響，但是振蕩現(xiàn)象卻會增加執(zhí)行機構的磨損；在存在耦合的多回路控制系統(tǒng)中，還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)

振鈴現(xiàn)象的分析由式(6-15)得U(z)=Φu(z)R(z)，Φu(z)

表達了數(shù)字控制器的輸出與系統(tǒng)輸入函數(shù)的關系，這是分析振鈴現(xiàn)象的基礎。單位階躍輸入函數(shù)中含有極點，如果Φu(z)中的極點在Z平面的負實軸上，且與z=－1點相近，那么數(shù)字控制器的輸出序列u(k)因含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項而有波動。分析Φu(z)在Z平面負實軸上的極點分布情況，就可得出振鈴現(xiàn)象的有關結論。1)被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)

為式(6-33)，閉環(huán)系統(tǒng)的期望傳遞函數(shù)Φ(z)為式(6-31)，由式(6-15)，則有

求得極點，故得出結論：在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，Φu(z)

不存在負實軸上的極點，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。(6-38)

2)被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時，G(z)為式(6-35)，Φ(z)仍為式(6-31)，由式(6-15)，可得

上式有兩個極點，第一個極點，不會引起振鈴現(xiàn)象；第二個極點z=－C2/C1

。由式(6-36)，在T→0時，有

說明可能出現(xiàn)負實軸上與相近的極點，這一極點將引起振鈴現(xiàn)象。(6-39)

(6-40)

(2)

振鈴幅度（RA：RingingAmplitude）振鈴幅度用來衡量振鈴強烈的程度。為了描述振鈴強烈的程度，應找出數(shù)字控制器輸出量u(k)的最大值。由于這一最大值與系統(tǒng)參數(shù)的關系難于用解析的式子描述出來，所以常用單位階躍作用下數(shù)字控制器第0拍輸出量與第1拍輸出量的差值來衡量振鈴幅度。由式(6-15)，Φu(z)是z的有理分式，寫成一般形式為

從上式看出，數(shù)字控制器的單位階躍響應輸出序列幅度的變化僅與Q(z)有關，因為只是將輸出序列延時和放大或縮小。故為簡單起見，令，則有

(6-42)

(6-41)

有兩種方法可用來消除振鈴現(xiàn)象。第一種方法是先找出D(z)中引起振鈴現(xiàn)象的因子（z=－1附近的極點），然后令其中的z=1，根據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值。前面已介紹在帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D(z)為式(6-37)，其極點z=-C2/C1將引起振鈴現(xiàn)象。令極點因子中的z=1，就可消除這個振鈴極點。這種消除振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻改變了數(shù)字控制器的動態(tài)特性，將改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。第二種方法是從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性出發(fā)，選擇合適的采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)Tτ，使得數(shù)字控制器的輸出避免產(chǎn)生強烈的振鈴現(xiàn)象。從式(6-44)中可以看出，振鈴幅度與被控對象的參數(shù)T1、T2有關，也與閉環(huán)系統(tǒng)期望的時間常數(shù)Tτ以及采樣周期T有關。通過適當選擇T和Tτ

，可以把振鈴幅度抑制在最低限度以內。有的情況下，系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)Tτ作為控制系統(tǒng)的性能指標被首先確定了，但仍可通過式(6-44)選擇采樣周期T來抑制振鈴現(xiàn)象。3.

大林算法的設計步驟用直接設計法設計具有純滯后系統(tǒng)的數(shù)字控制器，主要考慮的性能指標是控制系統(tǒng)無超調或超調很小，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，允許有較長的調節(jié)時間。設計中應注意的問題是振鈴現(xiàn)象。

考慮振鈴現(xiàn)象影響時設計數(shù)字控制器的一般步驟。1)

根據(jù)系統(tǒng)性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)Tτ，給出振鈴幅度RA的指標；2)

由式(6-44)與采樣周期T的關系，解出給定振鈴幅度下對應的采樣周期，如果T有多解，則選擇較大的采樣周期；3)

確定純滯后時間τ與采樣周期T之比的最大整數(shù)N；4)

求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及閉環(huán)系統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)

；5)

求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。6.4常用多回路控制系統(tǒng)

在工業(yè)控制系統(tǒng)中，由于相當一部分被控對象的動態(tài)特性或工藝操作條件等原因，對控制系統(tǒng)提出了一些特殊的要求，這時需要在PID控制的基礎上，構成多回路控制系統(tǒng)，其中串級控制和前饋－反饋控制在工業(yè)過程控制中具有廣泛的應用。6.4.1串級控制系統(tǒng)串級控制是在單回路PID控制的基礎上發(fā)展起來的一種控制結構。當系統(tǒng)中同時有幾個因素影響同一個被控量時，如果只控制其中一個因素，將難以滿足系統(tǒng)的控制性能。串級控制針對上述情況，在原控制回路中，需增加一個或幾個采用PID控制的內回路，用以控制可能引起被控量變化的其他因素，從而有效地抑制了被控對象的時滯特性，提高了系統(tǒng)的快速性。圖6-15爐溫控制系統(tǒng)1.串級控制的結構為了及時檢測系統(tǒng)中可能引起被控變化的某些因素并加以控制，本例在爐溫控制回路中，增加煤氣流量控制副回路，形成串級控制結構，如圖6-16所示，圖中主控制器D1(s)和副回路控制器D2(s)分別表示溫度調節(jié)器TC和流量調節(jié)器FC的傳遞函數(shù)。圖6-16爐溫和煤氣流量的串級控制結構圖2.數(shù)字串級控制算法計算機串級控制系統(tǒng)如圖6-17所示，圖中D1(z)和D2(z)是由計算機實現(xiàn)的數(shù)字控制器，通常采用PID控制規(guī)律，Gh(s)是零階保持器，T為采樣周期。

不管串級控制有多少級，計算的順序總是從最外面的回路向內進行。對圖6-17所示的雙回路串級控制系統(tǒng)，其計算順序為：

圖6-17計算機串級控制系統(tǒng)1)計算主回路的偏差e1(k) 2)計算主回路控制器D1(z)的輸出u1(k) 其中Kp1

為比例增益，Ki1

=Kp1T/Ti1為積分系數(shù)，Kd1

=Kp1Td1/T為微分系數(shù)。3)計算副回路的偏差e2(k) 4)計算副回路控制器D2(z)的輸出u2(k)

其中Kp2為比例增益，Ki2=Kp2T/Ti2為積分系數(shù)，Kd2

=Kp2Td2/T為微分系數(shù)。(6-46)

(6-47)

(6-48)

(6-49)

(6-50)

(6-51)

3.

副回路微分先行串級控制算法為防止主控制器輸出（也就是副控制器的給定值）過大而引起副回路的不穩(wěn)定，同時，也為了克服對象慣性較大而引起調節(jié)品質的惡化，在副回路的反饋通道中加入微分控制，稱為副回路微分先行，系統(tǒng)的結構如圖6-18所示。圖6-18副回路微分先行的串級控制系統(tǒng)微分先行部分的傳遞函數(shù)為

其中，Td2為副控制器（PID）的微分時間常數(shù)，a為微分放大系數(shù)。將上式離散化，整理可得

(6-52)

(6-53)

1)計算主回路的偏差e1(k)2)計算主回路控制器D1(z)的輸出u1(k) 3)計算微分先行部分的輸出y2d(k)

3)計算副回路的偏差e2(k)4)計算副回路控制器D2(z)的輸出u2(k) (6-54)

(6-55)

(6-56)

(6-57)

(6-58)

(6-59)

(6-60)

按偏差的反饋控制能夠產(chǎn)生作用的前提是，被控量必須偏離設定值。也就是說，在干擾的作用下，被控量必須先偏離設定值，然后通過偏差進行控制，抵消干擾的影響。如果干擾不斷產(chǎn)生，則系統(tǒng)總是跟在干擾作用之后波動，特別是系統(tǒng)滯后嚴重時波動就更為嚴重。前饋控制則是按擾動量進行控制的，當系統(tǒng)出現(xiàn)擾動時，前饋控制就按擾動量直接產(chǎn)生校正作用，以抵消擾動的影響。這是一種開環(huán)控制形式，在控制算法和參數(shù)選擇合適的情況下，可以達到很高的精度。6.4.2前饋－反饋控制系統(tǒng)

1.

前饋控制結構前饋控制的典型結構如圖6-19所示。圖中是Gn(s)被控對象擾動通道的傳遞函數(shù)；Dn(s)是前饋控制的傳遞函數(shù)；G(s)是被控對象控制通道的傳遞函數(shù)，n、u、y分別為擾動量、控制量、被控量。圖6-19前饋控制結構為了便于分析擾動量的影響，假定由偏差產(chǎn)生的控制量u1=0，則有若要使前饋作用完全補償擾動作用，則應使擾動引起的被控量變化為零，即Y(s)=0，因此完全補償?shù)臈l件為

由此可得前饋控制器的傳遞函數(shù)

(6-61)

(6-62)

(6-63)

2.前饋－反饋控制結構

采用前饋與反饋控制相結合的控制結構，既能發(fā)揮前饋控制對擾動的補償作用，又能保留反饋控制對偏差的控制作用。因為前饋控制是一個開環(huán)系統(tǒng)，所以在實際生產(chǎn)過程中很少單獨采用前饋控制的方案，通常采用前饋和反饋控制相結合的方案

圖6-20給出了前饋－反饋控制結構，由圖可知，前饋－反饋控制結構圖是在反饋控制的基礎上，增加了一個擾動的前饋控制，由于完全補償?shù)臈l件未變，因此仍有圖6-20前饋－反饋控制結構圖

實際應用中，還常采用前饋－串級控制結構，如圖6-21所示。圖中D1(s)、D2(s)分別為主、副控制器的傳遞函數(shù)；G1(s)

、G2(s)分別為主、副對象。圖6-21前饋－串級控制結構圖3.數(shù)字前饋－反饋控制算法圖6-22是計算機前饋－反饋控制系統(tǒng)的方框圖，T

為采樣周期，Dn(z)為前饋控制器，D(z)為反饋控制器，Gh(s)為零階保持器。圖6-22計算機前饋－反饋控制系統(tǒng)方框圖若

令 ，則

由上式可得前饋控制器的微分方程

(6-64)

(6-65)

設純滯后時間τ是采樣周期T的整數(shù)倍，即，對上式離散化可得到差分方程

式中 (6-66)

計算機前饋－反饋控制的算法步驟：1)

計算機反饋控制的偏差e(k)

2)

計算反饋控制器（PID）的輸出u1(k)

3)

計算前饋調節(jié)器Dn(z)的輸出un(k)

4)

計算前饋－反饋調節(jié)器的輸出u(k)

(6-68)

(6-67)

(6-69)

(6-70)

(6-71)

(6-72)

預測控制是一類已廣泛應用于工業(yè)生產(chǎn)的先進控制技術。預測控制的基本出發(fā)點與傳統(tǒng)的PID控制不同，PID控制是根據(jù)偏差來確定當前的控制輸入，而預測控制不但利用當前的和過去的偏差值，而且還利用預測模型來預估過程的未來輸出值，以滾動優(yōu)化確定當前的最優(yōu)輸出策略。目前應用最為廣泛的預測控制技術為模型預測控制，包括動態(tài)矩陣控制（DMC）、模型算法控制（MAC）、廣義預測控制（GPC）等。

6.5模型預測控制將預測控制的各類算法形式的基本思想歸納起來體現(xiàn)在三個方面：預測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正，如圖6-23所示。圖6-23預測控制的基本結構6.5.1模型預測控制的基本原理1.預測模型對于線性對象，如果已知其單位脈沖響應的采樣值，如圖6-24所示，則可根據(jù)離散卷積和公式，寫出其輸入輸出間的關系6.5.2模型算法控制(MAC)

(6-73)

圖6-24系統(tǒng)的離散脈沖響應預測模型(6-74)可以寫成

(6-74)

(6-75)

(6-76)

上式可用向量和矩陣表示為(6-77)

2.

參考軌跡在模型算法控制中，控制系統(tǒng)的期望輸出是由當前的實際輸出出發(fā)，向設定值光滑過渡的一條參考軌跡規(guī)定的。這條參考軌跡通常取為一階指數(shù)變化的形式，離散化的參考軌跡如圖6-25所示。

圖6-25參考軌跡與最優(yōu)化時刻以后參考軌跡序列的向量形式為

具有一階指數(shù)變化規(guī)律的的表達式為

(6-78)

(6-79)

3.

閉環(huán)預測從預測模型(6-77)得到的預測值沒有考慮到真實輸出信息的反饋，故稱為開環(huán)預測。開環(huán)預測的明顯缺點是：當存在模型誤差、參數(shù)漂移、干擾和噪聲時，將會產(chǎn)生靜差，從而影響MAC控制的效果。因此，引入時刻的實際輸出值，與此時刻的模型輸出進行比較后產(chǎn)生誤差，以此來修正模型預測值，這就構成所謂的閉環(huán)預測。在時刻，輸出的閉環(huán)預測(6-80)

(6-81)

4.滾動優(yōu)化和最優(yōu)控制律在MAC中，時刻的優(yōu)化準則是要選擇未來個控制量，使在未來個時刻的預測輸出盡可能接近由參考軌跡所確定的期望輸出。MAC的優(yōu)化目標函數(shù)為(6-82)

(6-83)

(6-84)

(6-85)

(6-86)

圖6-26模型算法控制示意圖如果在優(yōu)化目標函數(shù)中，令，則稱為一步優(yōu)化模型算法控制，這時有(6-87)

(6-88)

(6-89)

(6-90)

(6-91)

如果對控制輸入存在約束，則可由以下公式計算實際控制作用(6-92)

1.

預測模型從被控對象的單位階躍響應出發(fā)，對象的動態(tài)特性可以通過一系列動態(tài)系數(shù)，也就是單位階躍響應在采樣時刻的值來描述，是階躍響應的截斷點，稱為模型時域的長度，如圖6-27所示。對漸近穩(wěn)定的對象，在個采樣周期之后，系統(tǒng)輸出將趨于穩(wěn)定，即

6.5.3動態(tài)矩陣控制(DMC)

圖6-27系統(tǒng)的離散階躍響應在時刻，假定控制作用保持不變，對未來個時刻的輸出有初始預測值，那么，在控制增加量作用后系統(tǒng)的輸出預測值可由下式計算

(6-93)

圖6-28根據(jù)輸入控制增量預測輸出(6-94)

2.

滾動優(yōu)化動態(tài)矩陣控制采用了滾動優(yōu)化的控制策略。在采樣時刻，優(yōu)化目標函數(shù)為(6-95)

(6-96)

(6-97)

(6-98)

(6-99)

圖6-29動態(tài)矩陣控制的優(yōu)化策略3.

反饋校正由于模型誤差、弱非線性以及其他實際過程中存在的不確定因素，按預測模型得到的預測值有可能偏離實際值，因此，如不及時利用實際輸出進行反饋校正，進一步的優(yōu)化就會建立在虛假的基礎上?？紤]到已作用于對象，對系統(tǒng)未來輸出的預測便要疊加上產(chǎn)生的影響，即由式(6-93)算出的。為此，到下一采樣時刻首先檢測對象實際輸出，并將其與預測模型式(6-93)計算的時刻預測輸出相比較，構成預測誤差(6-100)

(6-101)

(6-102)

(6-103)

圖6-30動態(tài)矩陣控制的算法結構在計算機控制系統(tǒng)中執(zhí)行動態(tài)矩陣控制（DMC）算法之前，必須進行以下離線計算：1)測試對象的階躍響應，經(jīng)光滑后得到模型系數(shù)2)選擇優(yōu)化策略，計算控制系數(shù)向量3)選擇校正系數(shù)在線計算程序如圖6-31所示，注意在控制的第一步，由于沒有預測初值，也沒有誤差，故需進行初始化。在主程序中的初始化程序中應建立動態(tài)矩陣控制算法的初始化標志。

圖6-31動態(tài)矩陣控制的算法框圖模糊邏輯控制（FuzzyLogicControl），又稱模糊控制（FuzzyControl），是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為基礎的一類計算機控制策略，模糊控制是一種非線性控制?！澳：笔侨祟惛兄f物、獲取知識、思維推理、決策實施的重要特征，它比“清晰”所擁有的信息量更大，內涵更豐富，更符合客觀世界。模糊控制不是采用純數(shù)學建模的方法，而是結合專家的知識和思維，進行學習與推理、聯(lián)想和決策的過程，由計算機來辨識和建模，并進行控制。因此，它屬于智能控制的范疇。6.6模糊控制1965年，美國的L．A．Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論；1968～1973年期間他先后提出語言變量、模糊條件語句和模糊算法等概念和方法，使得某些以往只能用自然語言的條件語句形式描述的手動控制規(guī)則可采用模糊條件語句形式來描述，從而使這些規(guī)則成為在計算機上可以實現(xiàn)的算法。1974年，英國的E．H．Mamdani首先將模糊控制應用于鍋爐和蒸汽機的控制，在實驗室獲得成功。這一開拓性的工作標志著模糊控制論的誕生。6.6.1模糊控制概述

圖6-32給出了一個模糊控制系統(tǒng)的基本結構，由圖可知模糊控制器由模糊化、知識庫、模糊推理和清晰化（或稱去模糊化）四個功能模塊組成圖6-32模糊控制系統(tǒng)各模塊功能如下：1.模糊化模糊化模塊的功能是將輸入的精確量按某些算法轉換為模糊量。該模塊的輸入量包括了系統(tǒng)的參考輸入、系統(tǒng)輸出或狀態(tài)等。模糊化過程一般如下：1)首先對輸入量進行處理，變換成模糊控制器要求的輸入量。例如，當系統(tǒng)控制是按偏差控制時，計算偏差e=r-y。2)將上述已經(jīng)處理過的輸入量進行尺度變換，使其變換到各自的論域。3)將變換到論域范圍的輸入量進行模糊化處理，把原有的精確量變換成模糊量，并用相應的模糊集合語言值來表示，例如{“正大”，“正中”，“正小”，“零”，“負小”，“負中”，“負大”}。2.知識庫知識庫包含應用領域的知識和控制目標，通常由數(shù)據(jù)庫和模糊控制規(guī)則庫兩部分組成。數(shù)據(jù)庫主要包括了各語言變量的隸屬函數(shù)、尺度變換因子，以及模糊空間的劃分數(shù)等。模糊控制規(guī)則庫包括了用模糊語言變量表示的一系列控制規(guī)則，反映了控制專家的經(jīng)驗和知識。3.模糊推理模糊推理是模糊控制器的核心，該推理過程是基于模糊邏輯中的蘊含關系及推理規(guī)則來進行的。4.清晰化（去模糊化）由于實際的控制量，也就是被控對象的輸入應當是精確量，清晰化的功能就是將模糊推理得到的模糊控制量變換為實際的控制量。它是把模糊量經(jīng)清晰化運算后變換成論域范圍的清晰量，再經(jīng)尺度變換轉換成實際的控制量。圖6-32模糊控制系統(tǒng)

1.模糊集合在人類的思維中，有許多模糊的概念，如大、小、冷、熱等，都沒有明確的內涵和外延——模糊集合有些概念則具有清晰的內涵和外延，如男人和女人——普通集合(或經(jīng)典集合)6.6.2模糊控制的數(shù)學基礎

經(jīng)典集合可以用特征函數(shù)來描述，而模糊集合用隸屬函數(shù)來表示，記作μA(x)。μA(x)表示元素x屬于模糊集合A的程度。隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學中最基本的概念，我們用隸屬函數(shù)來給出模糊集合：在論域U上的模糊集合A，由隸屬函數(shù)μA(x)來表征，μA(x)在[0,1]區(qū)間內連續(xù)取值。μA(x)的大小反映了元素x對于模糊集合A的隸屬程度。

通常采用Zadeh表示法來表達論域U上的模糊集合，當U為有限集{x1,x2,…,xn}時，

式中，μ(x1)/x1

并不表示分數(shù)，而是表示論域中的元素x1與其隸屬度μ(x1)之間的對應關系?！?”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在論域U上的整體。例6-1在由整數(shù)1,2,…,10組成的論域中，即U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，討論“幾個”這一模糊概念。根據(jù)經(jīng)驗，可以定量地給出它們的隸屬函數(shù)，模糊集合“幾個”可表示為

(6-105)

由上式可知，五個、六個的隸屬度為l，說明“幾個”表示五個、六個的可能性最大；而四個、七個對于“幾個”這個模糊概念的隸屬度為0.7；通常不采用“幾個”來表示一個、二個或九個、十個，因此它們的隸屬度為零。(6-105)

在論域U中，的元素集合稱為A的臺集，又稱為模糊集合A的支集。實際上，若某元素的隸屬函數(shù)值為零，即它不屬于這個集合，若用臺集來表示一個模糊集合，可使表達式簡單明了。例如模糊集合“幾個”可表示為

(6-106)

當U為無限連續(xù)域時，Zadeh給出如下記法：

同樣，μA(x)/x不表示分數(shù)，而表示論域上的元素與隸屬度之間的對應關系；“”既不表示“積分”，也不是“求和”，而是表示論域U上的元素x與其隸屬度μA(x)對應關系的一個總括。(6-107)

例6-2以年齡為論域，取U=[0,200]，Zadeh給出了“年老”O(jiān)與“年青”Y兩個模糊集合的隸屬函數(shù)μo(u)

、μY(u)為（見圖6-33）

圖6-33“年青”與“年老”的隸屬函數(shù)曲線

采用Zadeh表示法，“年老”O(jiān)與“年青”Y兩個模糊集可寫為2.模糊集合的運算和基本性質

對于給定論域U上的模糊集合A、B、C，借助于隸屬函數(shù)定義它們之間的運算如下：

(1)相等，都有

μA(x)

=μB(x)

，則稱A與B相等，記作A=B

(2)包含，都有μA(x)

>=μB(x)，則稱A包含B，記作

(3)空集，都有μA(x)

=0，則稱A為模糊空集，記作(4)并集，都有則稱C是A與B的并集，記作

(5)交集，都有

則稱C是A與B的交集，記作(6)補集，都有，則稱B是A的補集，記作(7)直積，若有兩個模糊集合A和B，其論域分別為X和Y，則稱定義在積空間X×Y上的模糊集合A×B為A和B的直積，其隸屬度函數(shù)或直積的概念和運算可以推廣到多個集合的直積。類似于普通集合運算，模糊集合的運算也具有以下基本性質。(1)分配律(2)結合律(3)交換律(4)吸收律(5)冪等律(6)同一律其中X表示論域全集，φ表示空集。(7)達摩根律(8)雙重否定律

以上運算性質和普通集合的運算性質完全相同，但是在普通集合中成立的排中律和矛盾律對于模糊集合不再成立，即3.隸屬函數(shù)正確地確定隸屬函數(shù)，是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎。隸屬函數(shù)是對模糊概念的定量描述，我們遇到的模糊概念不勝枚舉，然而準確地反映模糊概念的模糊集合的隸屬函數(shù)，卻無法找到統(tǒng)一的模式。隸屬函數(shù)的確定有多種方法，常用的有模糊統(tǒng)計法、例證法等。不同的方法所得到的結果是不相同的，但隸屬函數(shù)確定是否合適，主要看其是否符合實際，并在應用中檢驗其效果。圖6-34常用的隸屬函數(shù)(a)三角形(b)梯形(c)高斯型(d)廣義鈴型

三角形隸屬度函數(shù)由三個參數(shù)來描述

參數(shù)[a,b,c](a<b<c)決定了三角形隸屬度函數(shù)的三個角的x坐標。圖6-34a顯示的是MATLAB的FuzzyLogicToolbox中的triangle(x,20,60.80)定義的三角形隸屬度函數(shù)。(6-108)

梯形隸屬度函數(shù)用四個參數(shù)來描述

參數(shù)決定了梯形隸屬度函數(shù)的四個角的坐標。圖6-34b顯示定義的梯形隸屬度函數(shù)。參數(shù)[a,b,c,d](a<b<c<d)決定了梯形隸屬度函數(shù)的四個角的x坐標。圖6-34b顯示的是trapezoid(x,10,20,60.95)定義的梯形隸屬度函數(shù)。(6-109)

高斯型隸屬度函數(shù)用兩個,參數(shù)[c,σ]來描述

其中c表示隸屬度函數(shù)的中心，σ決定函數(shù)的寬度，圖6-34c繪出gaussian(x,50,20)定義的高斯型隸屬度函數(shù)。 (6-110)

廣義的鈴型隸屬度函數(shù)用三個參數(shù)來描述

其中參數(shù)b通常為正，圖6-34d繪出定義的廣義鈴型隸屬度函數(shù)。

(6-111)

4.模糊關系客觀世界的各事物之間普遍存在著聯(lián)系，描寫事物之間聯(lián)系的數(shù)學模型之一就是關系。關系常用符號R表示。由X到Y的關系R，可用序對(x,y)來表示，其中x∈X

,

y∈Y

。所有有關系R的序對可以構成一個R集。在集X與集Y中各取出一元素排成序對，所有這樣序對的集合叫做X和Y的直積集（也稱笛卡爾乘積集），記為顯然，R集是X和Y的直積集的一個子集，即n元模糊關系R是定義直積上的模糊集合，它可以表示為

(6-112)

當是有限集合時，定義在X×Y上的二元模糊關系可用如下的階矩陣來表示：

這樣的矩陣稱為模糊矩陣，其元素均為隸屬度函數(shù)。(6-113)

例6-3設某地區(qū)人的身高論域X={140，150，160，170，180}（單位為cm），體重論域Y={40，50，60，70，80}（單位為kg），表6-1為身高與體重的相互關系，它是從X到Y上的一個模糊關系R。表6-1某地區(qū)人的身高與體重的相互關系用模糊矩陣表示上述模糊關系R時，可寫為

由于模糊關系是定義在直積空間上的模糊集合，所以它也遵從一般模糊集合的運算，下面介紹模糊關系的合成運算。設X,Y,Z是論域，R是X到Y的一個模糊關系，S是Y到Z的一個模糊關系，則R到S的合成T也是一個模糊關系。記它具有隸屬度

(6-114)

其中“∨”是并的符號，它表示對所有y取最大值或上界值，“*”是二項積算子，因此上面的合成稱為合成，也可寫成“*”算子通常可以取模糊交或代數(shù)積。若模糊集合A和B，對應的模糊交和代數(shù)積分別定義如下：模糊交代數(shù)積若“*”算子是取模糊交，則R到S的合成

這稱為max-min合成，是最常用的合成方法。(6-115)

當X,Y,Z為有限時，模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成來表示。設采用max-min合成，則有

5．模糊推理

在模糊推理中有兩類重要的推理方法，一類是廣義取式推理（GMP，GeneralizedModusPonens），另一類是廣義拒式推理（GMT，GeneralizedModusTollens）。在模糊控制中主要采用GMP推理。GMP推理規(guī)則前提1： xisA'前提2： ifxisAthenyisB結論： yisB'這里A'和A是論域X中的模糊集合，B'和B是論域Y中的模糊集合。為了實現(xiàn)模糊推理，需解決以下兩個問題。

(1)關系生成規(guī)則模糊蘊涵關系A→B表示了模糊推理的前提2，它應是X到Y的模糊關系R(x,y)。關系生成規(guī)則可以采用模糊蘊涵關系的運算。

(2)推理合成規(guī)則由模糊關系R(x,y)

＝A→B和前提１中的得到Y上的模糊集，即

式中“"為模糊關系合成算子，而R為模糊蘊涵關系，則

(6-116)

(6-117)

對于有限集有

(6-118)

在模糊控制廣泛使用Mamdani算法。在該算法中，關系生成規(guī)則為推理合成規(guī)則為將關系生成規(guī)則和推理合成規(guī)則合并在一起，則有

用max-min合成運算，用隸屬度函數(shù)可表示為(6-119)

例6-4設有一電加熱爐，存在“如果爐溫低，則應施加高電壓”的經(jīng)驗規(guī)則，試問當爐溫為“非常低”時，應怎樣施加電壓?解設x，y分別表示“爐溫”“和“電壓”，其論域為X和Y，并有X=Y={1，2，3，4，5}設A表示爐溫低的模糊集合，A’表示“爐溫非常低”，B表示“高電壓”，并定義A=“爐溫低”A'=“爐溫非常低” B=“高電壓”則本例的問題就可用“ifxisAthenyisB，xisA'，求y'=?”來描述。

模糊蘊涵關系在A'下的模糊結果 屬于“高電壓”模糊集。對于兩個以上模糊輸入變量稱為多輸入模糊推理。特別是兩輸入的情況，在模糊控制中用得比較普遍。其一般形式是如下的GMP推理，即前提1： xisA'andyisB'前提2： ifxisAandyisBthenzisC結論： zisC'這里A'和A，B'和B，C'和C分別是論域X，Y，Z上的模糊集合。 結果前提2中的“xisAandyisB”可以看成直積空間X×Y上的模糊集合，記為A×B，其隸屬度函數(shù)為

這時模糊蘊涵關系是三元模糊關系，可記為A×B

→

C，即有以下關系生成規(guī)則對于結論C'，可以由以下模糊推理求出，即用隸屬度函數(shù)表示為對于多輸入多規(guī)則的模糊推理，能通過多輸入單規(guī)則模糊推理的組合獲得，可以用模糊規(guī)則的模糊關系得并來計算。設“ifzisAiandyisBithenzisCi”的模糊蘊涵關系定義為這表明，是定義在X×Y×Z上的模糊蘊涵關系?？紤]n條模糊規(guī)則的總的模糊蘊涵關系為

最后可求得模糊推理的結論為例6-7設輸入量為x和y，輸出量為z，x、y、z均為模糊變量，存在兩條控制規(guī)則：R1：ifzisA1andYisB1thenzisC1R2：ifzisA2andYisB2thenzisC2且已知

若新的輸入

求C'。解本例具有兩條模糊控制規(guī)則，均為雙輸入單輸出Mamdani型規(guī)則，其推理過程如下：計算每條規(guī)則的模糊蘊涵關系Ri(i=1，2)為了便于計算，將P1表示成則有同理，可得 即即

在確定性控制系統(tǒng)中，根據(jù)輸入變量和輸出變量的個數(shù)，可分為單變量控制系統(tǒng)和多變量控制系統(tǒng)。在模糊控制系統(tǒng)中也可類似地劃分為單變量模糊控制和多變量模糊控制。

1.單變量模糊控制器（SVFC：SingleVariableFuzzyController）將其輸入變量的個數(shù)定義為模糊控器的維數(shù)，如圖6-35所示。

圖6-35單變量模糊控制器6.6.3模糊控制系統(tǒng)的結構與原理(1)一維模糊控制器

其輸入變量往往選擇為輸入給定和被控量的偏差量e。由于僅僅采用偏差值，很難反映過程的動態(tài)特性品質，因此，所能獲得的系統(tǒng)動態(tài)性能是不能令人滿意的。這種一維模糊控制器往往被用于一階被控對象。(2)二維模糊控制器兩個輸入變量基本上都選用偏差e和偏差變化ec，由于它們能夠較嚴格地反映受控過程中輸出變量的動態(tài)特性，因此，在控制效果上要比一維控制器好得多，也是目前采用較廣泛的一類模糊控制器。(3)三維模糊控制器三個輸入變量分別為系統(tǒng)偏差量e、偏差變化量ec和偏差變化的變化率ecc。由于這種模糊控制器結構較復雜，推理運算時間長，因此除非對動態(tài)特性要求特別高的場合，一般較少選用三維模糊控制器。2.多變量模糊控制器（MVFC：MultiVariableFuzzyController）要直接設計一個多變量模糊控制器是相當困難的，可利用模糊控制器本身的解耦特點，通過模糊關系方程求解。在控制器結構上實現(xiàn)解耦，即將一個多輸入多輸出（MIMO）的模糊控制器分解成若干個多輸入單輸出（MISO）的模糊控制器，這樣可采用單變量模糊控制器方法設計。本小節(jié)主要介紹單變量二維模糊控制器的原理。由圖6-32可知，模糊控制器主要包括輸入量模糊化接口、知識庫、推理機、輸出清晰化接口四個部分。圖6-32模糊控制系統(tǒng)1.模糊化接口模糊控制器的精確量輸入必須經(jīng)過模糊化接口后，轉換成一個模糊量才能用于模糊控制，具體可按模糊化等級進行模糊化。例如，設x的取值為[a，b]區(qū)間，由下式

變換為取值在[－6，6]間的整數(shù)y。(6-120)

變換為取值在[－6，6]間的整數(shù)y，再將y模糊化為七級，相應的模糊量為：－6稱為負大，記為NL；－4稱為負中，記為NM；－2稱為負小，記為NS；

0稱為適中，記為ZO；

2稱為正小，記為PS；

4稱為正中，記為PM；

6稱為正大，記為PL。因此，對于模糊輸入變量y，其模糊子集為y={NL，NM，NS，ZO，PS，PM，PL}。模糊子集可用表6-2表示，表中的數(shù)為對應元素在對應模糊集中的隸屬度。

表6-2模糊變量y不同等級的隸屬度值2.知識庫知識庫由數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫兩部分組成。數(shù)據(jù)庫所存放的是所有輸入輸出變量的全部模糊子集的隸屬度的量值，若論域為連續(xù)域，則為隸屬函數(shù)。對于以上例子，需將表6-3中內容存放于數(shù)據(jù)庫，在規(guī)則推理的模糊關系方程的求解過程中，向推理機提供數(shù)據(jù)。

規(guī)則庫存放了模糊控制規(guī)則，在推理時為“推理機”提供控制規(guī)則。模糊控制器的規(guī)則是基于專家知識或手動操作經(jīng)驗來建立的，它是人的直覺推理的一種語言表示形式。模糊規(guī)則通常由一系列的關系詞連接而成，如if-then、else、also、and、or等。關系詞必須經(jīng)過“翻譯”，才能將模糊規(guī)則數(shù)值化。

如果某模糊控制器的輸入變量為e（誤差）和ec（誤差變化），相應的語言變量為E與EC，控制變量u的語言變量為U，有下述一族模糊規(guī)則：

R1：ifEisNLandECisNLthenUisPLR2：ifEisNLandECisNMthenUisPLR3：ifEisNLandECisNSthenUisPMR4：ifEisNLandECisZOthenUisPM…R49：ifEisPLandECisPLthenUisNLR1：ifEisNLandECisNLthenUisPLR2：ifEisNLandECisNMthenUisPLR3：ifEisNLandECisNSthenUisPMR4：ifEisNLandECisZOthenUisPM…R49：ifEisPLandECisPLthenUisNL

通常把if分稱為“前提部”；而then部分稱為“結論部”，控制系統(tǒng)的全部模糊規(guī)則可寫成模糊關系矩陣R。3.推理機推理機是模糊控制器中，根據(jù)輸入模糊量和知識庫（數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫）完成模糊推理，并求解模糊關系方程，從而獲得模糊控制量的功能部分。

最簡單的單輸入單輸出的控制系統(tǒng)如圖6-36a所示，控制規(guī)則可用“如A則B”語言來描述，若輸入為A1，則輸出為

圖6-36模糊控制系統(tǒng)的輸入輸出關系a)單輸入單輸出b)雙輸入單輸出(6-121)

雙輸入單輸出的控制系統(tǒng)表示如圖6-36b所示，其控制規(guī)則可用“如A且B則C”型控制語言來描述。若輸入為A1、B1

則輸出C1為 圖6-36模糊控制系統(tǒng)的輸入輸出關系a)單輸入單輸出b)雙輸入單輸出(6-122)

4.清晰化接口通過模糊決策所得到的輸出是模糊量，要進行控制必須經(jīng)過清晰化接口將其轉換成精確量。若通過模糊決策所得的輸出量為

經(jīng)常采用下面三種方法，將其轉換成精確的執(zhí)行量。(6-123)

(1)選擇隸屬度大的原則若對應的模糊決策的模糊集C中，元素滿足 則取u*（精確量）作為輸出控制量。如果這樣的隸屬度最大點u*不唯一，就取它們的平均值或[u1*,u2*]的中點(u1*+u2*)/2作為輸出執(zhí)行量，其中(6-124)

這種方法簡單、易行、實時性好，但它概括的信息量少。例如，若則按最大隸屬度原則應取執(zhí)行量u*=4。又如，若

則按平均值法，應取(2)加權平均原則