拋物線及其標準方程 (2)

拋物線及其標準方程噴泉34請同學(xué)們思考一個問題我們對拋物線已有了哪些認識？想一想？【課題引入】

大家知道二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，斜拋物體在沒有阻力的情況下其軌跡為拋物線，如鉛球足球的運行軌跡，有些拱橋、雷達的天線等也都是利用拋物線原理所制成的。請同學(xué)們觀察這樣一個小實驗？

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。（定點F不在定直線l上）

點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線。（一）拋物線的定義lFKMN想一想：定義中當(dāng)直線l經(jīng)過定點F，則點M的軌跡是什么?l·F一條經(jīng)過點F且垂直于l的直線········FMlN想一想：求拋物線方程時該如何建立直角坐標系？（二）拋物線的標準方程yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：

拋物線是一個怎樣的對稱圖形？如圖所示，以經(jīng)過點F且垂直于l的直線為x軸,x軸與直線l交于點K，與拋物線交于點O，則O是線段KF的中點，以O(shè)為原點,建立直角坐標系。設(shè)|KF|=p(p>0),那么焦點F的坐標為(,0),準線l的方程為x=－。p2p2xyO··FMlNK設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d=|MN|想一想：p的幾何意義？求拋物線的方程為什么？xyO··FMlNK由拋物線的定義，∵化簡后得:∴拋物線的標準方程為它表示的拋物線焦點在x軸的正半軸上,坐標是，準線方程是注意：拋物線標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線。13

方程

y2=2px（p＞0）叫做拋物線的標準方程.其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是:

焦點到準線的距離！

一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式。想一想：怎樣推導(dǎo)出其它幾種形式的方程？yoxyxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒圖象開口方向標準方程焦點準線向右向左向上向下想一想：

如何判斷上表中拋物線四種標準方程與圖象的對應(yīng)關(guān)系？第一：一次項變量決定對稱軸。第二：一次項系數(shù)的正負決定了開口方向。說明：當(dāng)對稱軸和開口方向確定好之后，拋物線圖象就隨之確定，根據(jù)圖象可以很容易判斷焦點坐標和準線方程。整個判斷過程體現(xiàn)出從數(shù)到形，再由形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。（三）例題講解例1.(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x,求它的焦點坐標和準線方程;(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0,-2)，求它的標準方程。

解:(1)由方程可知,焦點在x軸正半軸上，坐標為，2p=6，所以焦點坐標是，準線方程是.(2)∵拋物線焦點坐標為F(0,-2)，∴拋物線焦點在y軸負半軸上，設(shè)標準方程為x2=-2py,并且∴2p=8，∴拋物線的標準方程為x2=-8y.18例1、（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；（2）已知拋物線的方程是y=－6x2，求它的焦點坐標和準線方程；（3）已知拋物線的焦點坐標是F（0，-2），求它的標準方程。例2：根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（-2，0）（2）準線方程是x=（3）焦點到準線的距離是2解：y2=-8x解：y2=x解：y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y1.由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程

由例1.和例2.反思研究已知拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程先定位，后定量變式訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.(1)焦點是（0，-3）

；(2)準線是；2.求下列拋物線的焦點坐標與準線方程.(1)y=8x2

；(2)x2+8y=0；x2=-12yy2=2x焦點，準線焦點，準線感悟：求拋物線的焦點坐標和準線方程要先化成拋物線的標準方程。感悟：用待定系數(shù)法求拋物線標準方程應(yīng)先確定拋物線的形式，再求p值。強化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.(1)焦點到準線的距離是2；(2)焦點在直線3x-4y-12=0上。關(guān)鍵：理解p的幾何意義，熟記標準方程四種形式關(guān)鍵：標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線解：∵焦點到準線的距離為2∴p=2又∵焦點的位置不確定∴該拋物線標準方程有四種形式

y2=±2px，

x2=±2py

此拋物線的標準方程有四種情況：y2=±4x，

x2=±4y

解：∵標準方程表示的拋物線的焦點在坐標軸上；又∵拋物線的焦點在直線3x-4y-12=0上，∴焦點就是直線與坐標軸的交點，直線3x-4y-12=0與x軸的交點是（4，0），與y軸的交點是（0，﹣3），∴焦點坐標為（4，0）或（0，﹣3）；當(dāng)焦點為（4，0）時標準方程為y2=16x,當(dāng)焦點為（0，﹣3）時標準方程為x2=﹣12y,綜上，拋物線標準方程為y2=16x或x2=﹣12y

例3：求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程。．AOyx解：1）設(shè)拋物線的標準方程為x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=2）設(shè)拋物線的標準方程為y2=-2px，把A（-3，2）代入，

得p=∴拋物線的標準方程為x2=y或y2=x。課堂練習(xí)已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標和準線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a4a1∴焦點坐標是（，0），準線方程是：

x=4a1②當(dāng)a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點坐標是（，0），準線方程是：

x=4a114a①當(dāng)a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a課后練習(xí)25例3、M是拋物線y2=2px（P＞0）上一點，若點

M的橫坐標為X0，則點M到焦點的距離是

————————————X0+—2pOyx．FM．這就是拋物線的焦半徑公式!262、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

（1）y2=20x（2）x2=y

（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦點坐標準線方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2（四）課堂小結(jié)平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。一個定義：兩類問題：三項注意：四種形式：求拋物線標準方程；已知方程求焦點坐標和準線方程。定義的前提條件：直線l不經(jīng)過點F;p的幾何意義：焦點到準線的距離；標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線。拋物線的標準方程有四種：y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)441.已知拋物線

則它的焦點坐標是（

）

A.

B.

C.

D.

拋物線的標準方程為

焦點在y軸上，其坐標為（0,

），選D.

易錯點：研究拋物線的幾何性質(zhì)時，方程必須是標準方程.D452.若拋物線

的準線過雙曲線

的左焦點，則p的值為（

）

A.4

B.-4

C.2

D.-2

雙曲線

的左焦點為（-2,0），拋物線y2=2px的準線方程為所以有

所以p=4，選A.A463.拋物線x2=4y上一點A的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點F的距離為（

）A.2

B.3C.4

D.5D47

解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，所以A（±4,4），焦點坐標為（0,1），由兩點間距離公式知距離為解法2：拋物線的準線方程為y=-1，所以A到準線的距離為5.又因為A到準線的距離與A到焦點的距離相等，所以距離為5,選D.484.已知拋物線過點P（-1,2），則拋物線的標準方程為

.

當(dāng)焦點在y軸上時，方程可設(shè)為x2=

my，因為過點P（-1,2），所以m=

，方程為x2=

y；當(dāng)焦點在x軸上時，方程可設(shè)為y2=nx，因為過點P（-1,2），所以n=-4，方程為y2=-4x.填x2=

y或y2=-4x.

易錯點：求拋物線的標準方程，應(yīng)分析焦點所在的位置.495.已知過點M（2,2）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A,B兩點，且M是線段AB的中點,則弦長

=

.

顯然直線l的斜率必存在，設(shè)l：y-2=k（x-2），

y-2=k（x-2）

y2=4x，則由，消去x得

y2-y+2-2k=050設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），M是線段AB的中點，所以

得k=1，則

y2-y=0，得y=0或y=4.所以A（0,0）,B（4,4），所以

填51討論題：1若拋物線y2=8x上一點M到原點的距離等于點M到準線的距離則點M的坐標是2已知定點A(3,2)和拋物線y2=2x,F是拋物線焦點，試在拋物線上求一點P,使PA與PF

的距離之和最小，并求出這個最小值。

52小結(jié)：1、拋物線的定義,標準方程類型與圖象的對應(yīng)關(guān)系以及判斷方法；2、拋物線的定義、標準方程和它的焦點、準線、方程；3、注重數(shù)形結(jié)合的思想。53課外作業(yè)：課本P73習(xí)題2.4A組T1，2（1）補充1.求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1)過點P(4，-2)；(2)焦點在直線x-2y-4=