2022-2023學(xué)年奧數(shù)專家點(diǎn)撥小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《能被以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征》試題附答案

小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第6課《能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征》試題附答

案

第六講能祓30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征

大家知道，一個(gè)整數(shù)能被2整除，那么它的個(gè)位數(shù)能被2整除；反過(guò)來(lái)也

對(duì)，也就是一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除，那么這個(gè)數(shù)本身能被2整除.因此，我們

說(shuō)“一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除”是“這個(gè)數(shù)能被2整除”的特征.在這一講中，

我們通過(guò)尋求對(duì)于某些質(zhì)數(shù)成立的等式來(lái)導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征。

為了敘述方便起見，我們把所討論的數(shù)N記為：

32

N=""a3a3a]a0=…+a3X10+a2X10+ajX10+a0,

有時(shí)也表示為

N='"DCBAo

我們已學(xué)過(guò)同余，用mod2表示除以2取余數(shù).有公式:

①N=aO(mod2)

②N=alaO(mod4)

③NmaZalaO(mod8)

(4)N—a3a2ala0(modi6)

這幾個(gè)公式表明一個(gè)數(shù)被2(4,8,16)整除的特性，而且表明了不能整

除時(shí)，如何求余數(shù)。

此外，被3(9)整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被3(9)整除.

我們借用同余記號(hào)及一些運(yùn)算性質(zhì)來(lái)重新推證一下一如(mod9),如果，

N=a^a-a1^=a,X1000+a-X100+a,X10+a-

=a,X(999+1)+%X(99+1)+%X(9+1)+1

=Ca?+a；+a,+aj)+(a^X999+a^X99+a1X9),

那么，等式右邊第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)是9的倍數(shù)，從而有

N=a,+(mod9)

對(duì)于mod3,理由相仿，從而有公式：

(5)N=+a；+a2+ax+a^,)(mod9),

N=(…+”.+%+4+%)(mod3)o

對(duì)于被11整除的數(shù)，它的特征為：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差

(大減小)能被11整除。

先看一例.N=31428576,改寫N為如下形式：

N=6+7(11-1)+5(99+1)+8(1001-1)+2(9999+1)+4(100001-

1)+1(999999+1)+3(10000001-1)

=6-7+5-8+2-4+l-3+7X11+5X99+8X1001+2X9999+4X100001+1X

999999+3XlOOOOOOlo

由于下面這兩行里，11、99、1001,9999、10000L999999、10000001都

是11的倍數(shù)，所以

N=6-7+5-8+2-4+1-3(modll)。

小學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，碰上“小減大”無(wú)法減時(shí)，可以從上面N的表達(dá)式最后

一行中“借用T1的適當(dāng)倍數(shù)(這樣，最后一行仍都是11的倍數(shù))，把它加到

"小減大''的算式中，這樣就得到：

設(shè)N="'a7a6a5a4a3a2ala0，

N=11+6-7+5-8+2-4+1-3三3(modll)。

現(xiàn)在總結(jié)成一般性公式(推理理由與例題相仿).

則N三(a0-al+a2-a3+a4-a5+a6-a7+…)(modll)

或者：

⑥N=((a0+a2+a4+…)-(al+a3+a5+…))(modll)

(當(dāng)不夠減時(shí)，可添加11的適當(dāng)倍數(shù))。

因此，一個(gè)自然數(shù)能被11整除的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之

和的差(大減小)能被11整除。

我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數(shù)的情況。

下面研究被7、11、13整除的數(shù)的特征。

有一關(guān)鍵性式子：7X11X13=1001。

如有一個(gè)數(shù)有六位，記為N=FEDCBA,那么

N=FEDX1000+

=FEDX(1001)-FED+^A

=FEDX0X11X13)+CBA-FEDO

所以NtE被7、11、13整除，相當(dāng)于

而支-麗或而而久(以大減小)

能被7、11、13整除總結(jié)為公式：

?N=-GFEDCBA=C3A--GFED(mod7)；

(modll)；(modi3)

(當(dāng)^Z<?“GFED時(shí),可在畝入…GFED上加上7或11或13的適

當(dāng)倍數(shù))。

表述為：判定某數(shù)能否被7或11或13整除，只要把這個(gè)數(shù)的末三位與前面

隔開，分成兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)，取它們的差(大減小)，看它是否被7或11或13整

除。

此法則可以連續(xù)使用。

例：N=31428576.判定N是否被11整除。

987654987

-321-333

第一步：…333第二戔F

因?yàn)?22不能被11整除，所以N不能被11整除。

例：N=215332一判定N是否被7、11、13整除。

332

由于117=13X9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此既旨被

13整除,不能被7、11整除。

此方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)判定一個(gè)較大的數(shù)能否被7或11或13整除時(shí)，可用減

法把這個(gè)大數(shù)化為一個(gè)至多是三位的數(shù)，然后再進(jìn)行判定。

如N=987654321.判定醺自否被13整除？

987654987

-321-333

第一步.____________第二步:

987333654

而654=50X13+4,所以原數(shù)不能被13整除.如直接計(jì)算，很費(fèi)力：

987654321=75973409X13+4。

下面研究可否被17、19整除的簡(jiǎn)易判別法.回顧對(duì)比前面，由等式1001=7

X11X13的啟發(fā)，才有簡(jiǎn)捷的“隔位相減判整除性”的方法.對(duì)于質(zhì)數(shù)17,我們

有下面一些等式：

17X6=102,17X59=1003,17義588=9996,

17X5882=99994,

我們不妨從17義59=1003出發(fā)。

由于N=FEDCBA=^X1000+^X

=FEDX(1003-3)+畝鼠

=FEDX1003+CBA-3XFED。

^^A-3XFED(modi?)。

（亦可在礪-3X由上加上V7的適當(dāng)倍數(shù)）。

因此，判定一個(gè)數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位

數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除。

例：N=31428576,判定原好否被「整除。

第一步：31428第二步：708

義3-279

94284—429（93X3）

-576

-93708

而429=25X17+4,所以N不能被整除。

例：N=2661027能否被17整除？

第一步：2661第二步：956

X3-21

7983￥1~5~（7X3）

-027

7956

又935=55義17。

所以N可被17整除。

下面來(lái)推導(dǎo)被19整除的簡(jiǎn)易判別法。

尋找關(guān)鍵性式子：19X52=988,19X53=1007.

由于N=FEDCBA=玄BX(1000)+CBA

=FEDX(1007-7)+^A

=FEDX1007+CBA-7XFED

=CBA-7XFED(mod)9)。

（亦可在向￡-7X函上加上19的適當(dāng)倍數(shù)）。

因此，判定一個(gè)數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位

與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減?。┦欠癖?9整除。

五年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第六講能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征習(xí)題

習(xí)題六

1.公式1003=17義59曾用于推導(dǎo)判定被17整除的公式，請(qǐng)說(shuō)明公式②也是

判定被59整除的簡(jiǎn)便公式。

2.說(shuō)明公式③也是判定被53整除的簡(jiǎn)便公式。

3.61是質(zhì)數(shù)，并且10004=61X164,你能利用這一等式導(dǎo)出判定被61整除

的簡(jiǎn)便公式嗎？

4.67是質(zhì)數(shù),1005=67X15,請(qǐng)證明：

N=GFEDCBA=CBA-5XGFED(mod67)

(可在右端加上67的適當(dāng)倍數(shù))。

5.994=71X14,71是質(zhì)數(shù)，請(qǐng)導(dǎo)出判定被71整除的公式。

6.N=31428576可否被37整除？

7.已知整除Ix2x3x4x第總被11整除,求x可能的值。

8.判別517214316+721°能否被6整除？能否被9整除？說(shuō)明理由。

9.證明210-28+2、-2,+2?-1能被9整除。

10.求使產(chǎn)】能被7整除的所有自然數(shù)n.

五年級(jí)奧數(shù)

上冊(cè)：第六講能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征習(xí)題解答

習(xí)題六解答

1.N=GFEDCBA=GFEDX(1003-3)+CBA

=CBA-3XGFED(mod59)。

2.N=GFEDX(1007-7)+^A

(?.,1007=19X53)

^^A-7XCTED(mod53)。

3.N=DCBA+OTEX(10004-4)三DCBA-4X■(mod61)?

4.N=GFEDCBA=CTEDX(1005-5)+CBA

=CBA-5XGFED(mod67)。

5.N=GFEDCBA=CTEDX(994+6)+福五

=6XCTED+^A(mod71)o

6.N=31428576=31428+576=32004

=4+32=36(mod37).所以不可以。

7.x=lo

8.N=517214316+7210=0(mod2)；

N=0(mod3),=>N=0(mod6),N=3(mod9)?

9.寫成二進(jìn)制N=(10001000100)2-(10001000)2=(1100110011)2

,(9)10=