專題1.4 數(shù)軸與動點經(jīng)典題型（四大題型）（原卷版）

專題1.4數(shù)軸與動點經(jīng)典題型（四大題型）重難點題型歸納【題型1最值問題】【題型2線段的和倍差問題】【題型3數(shù)軸與行程相遇綜合問題】【題型4數(shù)軸上新定義問題】滿分必練【題型1最值問題】【典例1】（2023?五華縣校級開學）已知b是最小的正整數(shù)，且（c﹣5）2與|a+b|互為相反數(shù)．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在0和2表示的點之間運動，即0≤x≤2時，化簡：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（請寫出化簡過程）；（3）如圖，a，b，c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，在（1）的條件下，若點A以1個單位長度/s的速度向左運動，同時，點B和點C分別以2個單位長度/s和5個單位長度/s的速度向右運動．ts后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【變式1-1】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和3的兩點之間的距離是．②數(shù)軸上表示﹣1和﹣4的兩點之間的距離是．③數(shù)軸上表示﹣3和5的兩點之間的距離是．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點之間的距離等于．（3）應(yīng)用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝．③若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數(shù)a的取值范圍是．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點對應(yīng)的數(shù)為100．若當電子螞蟻P從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運動，求經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的數(shù)．【變式1-2】（2022秋?玉屏縣期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與3所對應(yīng)的點的之間距離．因為|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與﹣2所對應(yīng)的點的之間距離．（1）發(fā)現(xiàn)問題：|x+2|+|x﹣3|的最小值是多少？（2）探究問題：如圖，點A，B，P分別表示數(shù)﹣2，3，x，AB＝5．∵|x+2|+|x﹣3|的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA+PB＝5，當點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PA+PB＞5，∴|x+2|+|x﹣3|的最小值是5．（3）解決問題：①|(zhì)x﹣1|+|x+3|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣4|＞7；③當m為何值時，代數(shù)式|x+m|+|x﹣7|的最小值是6．【變式1-3】（2022春?南譙區(qū)期中）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣3和2兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和﹣4的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和1的兩點之間的距離為5，則x表示的數(shù)為；（3）若x表示一個有理數(shù)，則|x+1|+|x﹣7|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【變式1-4】（2022春?南崗區(qū)校級期中）我們知道數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法，例如|3﹣1|可表示為數(shù)軸上3和1這兩點的距離，而|3+1|即|3﹣（﹣1）|則表示3和﹣1這兩點的距離．式子|x﹣1|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離，而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與﹣2所對應(yīng)的點之間的距離．根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，試探索：（1）直接寫則|8﹣（﹣2）|＝；（2）結(jié)合數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x，|x﹣2|+|x+3|＝5的所有整數(shù)的和．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x+4|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，請寫出最小值并說明理由；如果沒有，請說明理由．【變式1-5】（2022秋?江岸區(qū)校級月考）（1）閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為|a﹣b|＝AB．（完成下面填空）Ⅰ．數(shù)軸上有三點A、B、P，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣3、2、x．如圖①，當x≤﹣3時，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB＝2PA+5；如圖②，當﹣3≤x≤2時，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝＝5；如圖③，當x≥2時，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PB+AB+PB＝+AB＝2PB+5．Ⅱ．由Ⅰ可得：∵PA≥0，PB≥0，∴2PA+5≥5，2PB+5≥5，∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x≤2時有最小值為．（2）直接應(yīng)用：求|x﹣4|+|x+5|的最小值．（3）應(yīng)用拓展：若S＝|x﹣1|+|x+2|+|x﹣6|，當﹣2≤x≤6時，直接寫出S的取值范圍．【變式1-6】（2023春?南崗區(qū)校級月考）【問題提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2021|的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．|a|的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，那么|a﹣1|可以看作a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．我們先看a表示的點可能的3種情況，如圖所示：（1）如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，a在1和2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．所以a到1和2的距離之和最小值是1．【問題解決】（1）|a﹣3|+|a﹣6|的幾何意義是；請你結(jié)合數(shù)軸探究：|a﹣3|+|a﹣6|的最小值是；（2）請你結(jié)合圖④探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是，此時a為；（3）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|+|a﹣6|的最小值為；（4）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…|a﹣101|的最小值為．【拓展應(yīng)用】如圖⑤，已知a到﹣1，2的距離之和小于4，請寫出a的范圍為．【題型2線段的和倍差問題】【方法技巧】兩點之間的距離：大的數(shù)減去小的數(shù)注：（1）已知兩點的距離和較大數(shù)，較小數(shù)=較大數(shù)－距離；（2）已知兩點的距離和較小數(shù)，較大數(shù)=較小數(shù)+距離.2、兩點的中點公式：.3、解題方法：（1）遇動點問題注意動點的起始位置以及方向和速度；（2）當無法比較兩數(shù)大小的時候，求兩者之間的距離時需要添加絕對值；（3）若遇相遇或追擊問題，通常抓路程作為列等量關(guān)系的依據(jù).【典例2】（2022秋?泉港區(qū)期末）如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為﹣1、3．（1）填空：線段AB的長度AB＝；（2）若點A是BC的中點，點D在點A的右側(cè)，且OD＝AC，點P在線段CD上運動．問：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當P點在這條線段上運動時，PA+PB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？（3）若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是PE、OF的中點．點P、E、F的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？請說明理由．【變式2-1】（2022秋?越秀區(qū)校級期末）如圖，已知數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為﹣1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其表示的數(shù)為x．（1）若點P為AB的中點，則x的值為；（2）若點P在原點的右側(cè)，且到點A，B的距離之和為8，則x的值為；（3）某時刻點A，B分別以每秒2個單位長度和每秒0.5個單位長度的速度同時沿數(shù)軸向右運動，同時點P以每秒6個單位長度的速度從表示數(shù)1的點向左運動．求當點A，B之間的距離為3個單位長度時，點P表示的數(shù)．【變式2-2】（2023?紫金縣校級開學）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)﹣3，B點示數(shù)1，C點表示數(shù)9．（1）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（2）若點A、點B和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動．①若t秒鐘過后，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求t值；②當點C在B點右側(cè)時，是否存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．【變式2-3】（2022秋?陽新縣校級期末）已知在數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為﹣4，20．（1）若P點為線段AB的中點，求P點對應(yīng)的數(shù)．（2）若點A、點B同時分別以2個單位長度/秒的速度相向運動，點M（M點在原點）同時以4個單位長度/秒的速度向右運動．①幾秒后點M到點A、點B的距離相等？求此時M對應(yīng)的數(shù)．②是否存在M點，使3MA＝2MB？若存在，求出點M對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由．【變式2-4】（2022?東陽市校級開學）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周長C＝2πr，本題中π的取值為3.14．（1）把圓片沿數(shù)軸向右滾動2周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，+4，﹣5，+2，﹣3①哪兩次滾動后Q點到原點的距離相等？②當圓片第7次滾動結(jié)束時Q點恰好回到原點，第7次圓片向什么方向滾動了多少周？此時點Q運動的路程共有多少？【變式2-5】（2022秋?宛城區(qū)校級期末）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)對應(yīng)的點重合；（3）若點A、B、C是數(shù)軸上的動點，點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，那么3BC﹣2AB的值是否隨著運動時間t（秒）的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．【變式2-6】（2022秋?黃埔區(qū)校級期末）數(shù)軸上兩點A、B，A在B左邊，原點O是線段AB上的一點，已知AB＝4，且OB＝3OA．點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是a、b，點P為數(shù)軸上的一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．（1）a＝，b＝，并在數(shù)軸上面標出A、B兩點；（2）若PA＝2PB，求x的值；（3）若點P以每秒2個單位長度的速度從原點O向右運動，同時點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，點B以每秒3個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為t秒．請問在運動過程中，3PB﹣PA的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【變式2-7】（2022秋?承德期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A，B，C表示的數(shù)分別為﹣2，0，6．點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點C之間的距離表示為AC．（1）AB＝，BC＝，AC＝；（2）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．①設(shè)運動時間為t，請用含有t的算式分別表示出AB，BC，AC；②在①的條件下，請問：BC﹣AB的值是否隨著運動時間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【變式2-8】（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知數(shù)軸上三點M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為﹣1，0，3，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應(yīng)的數(shù)為x．（1）MN的長為；（2）如果點P到點M、點N的距離相等，那么x的值是；（3）數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點M、點N的距離之和是8？若存在，直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．（4）如果點P以每分鐘1個單位長度的速度從點O向左運動，同時點M和點N分別以每分鐘2個單位長度和每分鐘3個單位長度的速度也向左運動．設(shè)t分鐘時點P到點M、點N的距離相等，求t的值．【變式2-9】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期中）在數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點C表示數(shù)c，其中數(shù)b是最小的正整數(shù)．數(shù)a，c滿足|a+4|+（c﹣9）2＝0．若點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC．（1）由題意可得：a＝，b＝，c＝；（2）若點A沿數(shù)軸向左運動，點B和點C沿數(shù)軸向右運動，3個點均保持運動速度不變，其中點A和點B的速度分別為每秒1個單位長度和每秒2個單位長度．設(shè)點A，B，C同時運動，運動時間為t秒．①當t＝15時，若AB是BC的5倍，求點C的速度；②在點A，B，C同時運動的過程中，若3AC﹣5AB的值始終不變，求出3AC﹣5AB的值及點C的速度．【變式2-10】（2022秋?徐聞縣期中）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0，請回答問題：（1）請直接寫出a、b、c的值，a＝，b＝，c＝．（2）a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在0到2之間運動時（即0≤x≤2時），請化簡式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（請寫出化簡過程）．（3）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【變式2-11】（2022秋?南城縣期中）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝．（2）①若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合．②點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，則AC＝．（用含t的代數(shù)式表示）（3）在（2）②的條件下，請問：3BC﹣2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【題型3數(shù)軸與行程相遇綜合問題】【典例3】（2022秋?鄄城縣期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是，點P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【變式3-1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）數(shù)軸上給定兩點A、B，點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為3，若數(shù)軸上有兩點M、N，線段MN的中點在線段AB上（線段MN的中點可以與A或B點重合），則稱M點與N點關(guān)于線段AB對稱，請回答下列問題：（1）數(shù)軸上，點O為原點，點C、D、E表示的數(shù)分別為﹣3、6、7，則點與點O關(guān)于線段AB對稱；（2）數(shù)軸上，點F表示的數(shù)為x，G為線段AB上一點，若點F與點G關(guān)于線段AB對稱，則x的最小值為，最大值為；（3）動點P從﹣9開始以每秒4個單位長度，向數(shù)軸正方向移動時，同時，線段AB以每秒1個單位長度，向數(shù)軸正方向移動，動點Q從5開始以每秒1個單位長度，向數(shù)軸負方向移動；當P、Q相遇時，分別以原速立即返回起點，回到起點后運動結(jié)束，設(shè)移動的時間為t，則t滿足2≤t≤2.96（t≠2.8）時，P與Q始終關(guān)于線段AB對稱．【變式3-2】（2022春?普陀區(qū)校級期中）如圖，點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣12和8，兩只螞蟻M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，相向而行．M的速度為2個單位長度/秒，N的速度為3個單位長度/秒．（1）運動秒鐘時，兩只螞蟻相遇在點P；點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是；（2）若運動t秒鐘時，兩只螞蟻的距離為10，求出t的值（寫出解題過程）．【變式3-3】（2022秋?新泰市期中）如圖．A、B、C三點在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為﹣10，B表示的數(shù)為14，點C在點A與點B之間，且AC＝BC．（1）求A、B兩點間的距離；（2）求C點對應(yīng)的數(shù)；（3）甲、乙分別從A、B兩點同時相向運動，甲的速度是1個單位長度/s，乙的速度是2個單位長度/s，求相遇點D對應(yīng)的數(shù)．【變式3-4】（2022秋?永安市月考）已知，如圖A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為﹣10，B點對應(yīng)的數(shù)為90．（1）與A、B兩點距離相等的M點對應(yīng)的數(shù)是；（2）現(xiàn)在有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以5個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，則C點對應(yīng)的數(shù)是；（3）若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以5個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向右運動，經(jīng)過多長的時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距24個單位長度？【變式3-5】（2021?新華區(qū)校級三模）已知A，B是數(shù)軸上兩點，點A在原點左側(cè)且距原點20個單位，點B在原點右側(cè)且距原點100個單位．（1）點A表示的數(shù)是：；點B表示的數(shù)是：．（2）A，B兩點間的距離是個單位，線段AB中點表示的數(shù)是．（3）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點A出發(fā)以4個單位/秒的速度向右運動．設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點C處相遇，求點C表示的數(shù)．【變式3-6】（2021秋?方城縣期中）如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點對應(yīng)的數(shù)為100．（1）請寫出與A、B兩點距離相等的點M所對應(yīng)的數(shù)；（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，你知道C點對應(yīng)的數(shù)是多少嗎？（3）若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，請問：當它們運動多少時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位長度？【變式3-7】（2022秋?太湖縣期末）已知，如圖A，B分別為數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)是﹣20，點B對應(yīng)的數(shù)為80．（1）請直接寫出AB的中點M對應(yīng)的數(shù)．（2）現(xiàn)在有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇．請解答下面問題：①試求出點C在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；②何時兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距15個單位長度？【變式3-8】（2022秋?陽新縣期末）如圖，在數(shù)軸上每相鄰兩點間的距離為一個單位長度．點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、d，且d﹣3a＝20．（1）a＝，b＝，c＝．（2）點A以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動，1秒后點B以4個單位/秒的速度也沿著數(shù)軸的正方向運動．當點B到達D點處立刻返回，返回時，點A與點B在數(shù)軸的某點處相遇，求這個點對應(yīng)的數(shù)．（3）如果A、C兩點分別以2個單位/秒和3個單位/秒的速度同時向數(shù)軸的負方向運動，同時，點B從圖上的位置出發(fā)向數(shù)軸的正方向以1個單位/秒的速度運動，當滿足AB+AC＝AD時，點A對應(yīng)的數(shù)是多少？【變式3-9】（2022秋?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示﹣10，點B表示11，點C表示18．動點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每秒2個單位的速度勻速運動；同時，動點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸負方向以每秒1個單位的速度勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）當t為何值時，P、Q兩點相遇？相遇點M所對應(yīng)的數(shù)是多少？（2）在點Q出發(fā)后到達點B之前，求t為何值時，點P到點O的距離與點Q到點B的距離相等；（3）在點P向右運動的過程中，N是AP的中點，在點P到達點C之前，求2CN﹣PC的值．【變式3-10】（2022秋?柯城區(qū)校級期末）如圖，點O為數(shù)軸的原點，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點B表示的數(shù)為7，AB＝12．（1）直接寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)．（2）動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動．①經(jīng)過多少秒，點P是線段OQ的中點？②在P、Q兩點相遇之前，點M為PO的中點，點N在線段OQ上，且QN＝OQ．問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個點中其中一個點為以另外兩個點為端點的線段的三等分點？（把一條線段分成1：2的兩條線段的點叫做這條線段的三等分點）【題型4數(shù)軸上新定義問題】【典例4】（2022秋?海門市期末）對于數(shù)軸上的線段AB與不在線段AB上的點P，給出如下定義：若點P與線段AB上的一點的距離等于a（a＞0），則稱點P為線段AB的“a距點”．已知：數(shù)軸上點A，B兩點表示的數(shù)分別是m，m+1．（1）當m＝1時，在﹣2，﹣1，2.5三個數(shù)中，是線段AB的“2距點”所表示的數(shù)；（2）若數(shù)軸上的點P為線段AB的“a距點”，則a的最大值與最小值的差為；（3）若數(shù)軸上﹣2所對應(yīng)的點是線段AB的“a距點”，且a的最大值與最小值的比為2：1，求m的值．【變式4-1】（2022秋?黃陂區(qū)期末）對于數(shù)軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“聯(lián)盟點”．例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．（1）若點A表示數(shù)﹣1，點B表示的數(shù)2，下列各數(shù)：，0，1，4，5所對應(yīng)的點分別為C1，C2，C3，C4，C5，其中是點A，B的“聯(lián)盟點”的是；（2）點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，P是數(shù)軸上的一個動點：①若點P在線段AB上，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點A的左側(cè)，點P、A、B中有一個點恰好是其它兩個點的“聯(lián)盟點”，求出此時點P表示的數(shù)．【變式4-2】（2022秋?青浦區(qū)校級期末）定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”．（1）寫出點A，C的其他三個“關(guān)聯(lián)點”所表示的數(shù)：、、．（2）若點M表示數(shù)﹣2，點N表示數(shù)4，數(shù)﹣8，﹣6，0，2，10所對應(yīng)的點分別是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”是點．（3）若點M表示的數(shù)是﹣3，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．①若點P在點N左側(cè)，且點P是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．②若點P在點N右側(cè)，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．【變式4-2】（2022秋?臨汾期末）閱讀材料：定義：數(shù)軸上的三點，如果其中一個點與近點距離是它與遠點距離的，則稱該點是其他兩個點的“倍分點”．例如數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為﹣1，0，2，且滿足AB＝BC，則點B是點A，C的“倍分點”．已知點A，B，C，M，N在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示．基礎(chǔ)鞏固：（1）在A，B，C三點中，點是點M，N的“倍分點”．嘗試應(yīng)用：（2）若數(shù)軸上點M是點A，D的“倍分點”，則點D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)有個．靈活運用：（3）若數(shù)軸上點N是點P，M的“倍分點”，且點P在點N的右側(cè)，求此時點P在數(shù)軸上表示的數(shù)．【變式4-3】（2022秋?豐臺區(qū)期末）在數(shù)軸上，點O表示的數(shù)為0，點M表示的數(shù)為m（m≠0）．給出如下定義：對于該數(shù)軸上的一點P與線段OM上一點Q，如果線段PQ的長度有最大值，那么稱這個最大值為點P與線段OM的“閉距離”．如圖1，若m＝﹣1，點P表示的數(shù)為3，當點Q與點M重合時，線段PQ的長最大，值是4，則點P與線段OM的“閉距離”為4．（1）如圖2，在該數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為2．①當m＝1時，點A與線段OM的“閉距離”為；②若點B與線段OM的“閉距離”為3，求m的值；（2）在該數(shù)軸上，點C表示的數(shù)為﹣m，點D表示的數(shù)為﹣m+2，若線段CD上存在點G，使得點G與線段OM的“閉距離”為4，直接寫出m的最大值與最小值．【變式4-4】（2022秋?如皋市期中）定義：在數(shù)軸上，若M，N兩點到原點的距離之和等于點P到原點的距離，則稱點P為M，N兩點的“和距點”．例如，數(shù)軸上，表示5的點是表示2，3的點的“和距點”；表示的點是表示，的點的“和距點”．已知數(shù)軸上A，B，C三點表示的數(shù)分別是a，b，﹣6，點C為A，B兩點的“和距點”．（1）如果a＝﹣3，點B在x軸的正半軸，則b＝；（2）若點A也是B，C兩點的“和距點”，請確定b的值，并說明理由；（3）若a＝﹣2b+1，請直接寫出b的值．【變式4-5】（2022秋?東城區(qū)校級期中）閱讀下列材料：我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合的兩點A，B以及一條線段PQ，（1）若數(shù)軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“中位點”；（2）若點A與點B的“中位點”M在線段PQ上（點M可以與點P或Q重合），則稱點A與點B關(guān)于線段PQ“中位對稱”．如圖1，點A表示的數(shù)為﹣3，點B表示的數(shù)為1，點M表示的數(shù)為﹣1，點M到點A的距離等于2，點M到點B的距離也等于2，那么點M為點A與點B的“中位點”；點P表示的數(shù)為﹣2，點Q表示的數(shù)為2，點A與點B的“中位點”M在線段PQ上，那么點A與點B關(guān)于線段PQ“中位對稱”．根據(jù)以上定義完成下列問題：已知：如圖2，點O為數(shù)軸的原點，點A表示的數(shù)為﹣2，點R表示的數(shù)為3．（1）①若點B表示的數(shù)為﹣5，點M為點A與點B的“中位點”，則點M表示的數(shù)為；②若點A與點B的“中位點”M表示的數(shù)為1，則點B表示的數(shù)為；（2）①點B，C．D分別表示的數(shù)為1，，6，在B，C，D三點中，點A與關(guān)于線段OR“中位對稱”；②點N表示的數(shù)為x，若點A與點N關(guān)于線段OR“中位對稱”，則x的取值范圍是；③點E表示的數(shù)為m，點F表示的數(shù)為m+2，若線段EF上至少存在一點與點A關(guān)于線段EF“中位對稱”，直接寫出m的取值范圍．【變式4-6】（2022秋?雨花區(qū)校級月考）在數(shù)軸上，把原點記作點O，表示數(shù)1的點記作點A．對于數(shù)軸上任意一點P（不與點O，點A重合），將線段PO與線段PA的長度之比定義為點P的特征值，記作，即，例如：當點P是線段OA的中點時，因為PO＝PA，所以．（1）若點N為數(shù)軸上的一個點，點N表示的數(shù)是﹣1，則＝；（2）數(shù)軸上的點M滿足OM＝2OA，求；（3）數(shù)軸上的點P表示有理數(shù)p，已知2≤|P|≤100且p為整數(shù)，則所有滿足條件的的和．【變式4-7】（2022秋?商河縣期中）閱讀下列材料：我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合兩點A，B，若數(shù)軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“平衡點”．解答下列問題：經(jīng)驗反饋：（1）若點A表示的數(shù)為﹣3，點B表示的數(shù)為1，點M為點A與點B的“平衡點”，則點M表示的數(shù)為；（2）若點A