專題8.5 球的外接和內(nèi)切（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題8.5球的外接和內(nèi)切題型一長(zhǎng)（正）方體的外接球題型二線面垂直模型題型三對(duì)棱相等模型題型四共斜邊模型題型五球心在外心正上方模型題型六面面垂直模型題型七折疊模型題型八外接球的最值問(wèn)題題型九內(nèi)切球題型一 長(zhǎng)（正）方體的外接球例1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的球心為O，則四棱錐的體積為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】求出到平面的距離，利用體積公式進(jìn)行求解.【詳解】正方體的外接球的球心為O，由對(duì)稱性可知O為正方體的中心，O到平面的距離為1，即四棱錐的高為1，而底面積為，所以四棱錐O-ABCD的體積為．故選：B例2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得正方體的邊長(zhǎng)，然后求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以球的直徑，半徑，所以球的體積為.故選：A練習(xí)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體外接球的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三邊的長(zhǎng)度，然后利用外接球半徑的計(jì)算公式求出半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為，不妨令，由題意可得，解得，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度為，可得外接球半徑，所以外接球的面積為.故選：A.練習(xí)2．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，若，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為_(kāi)__________【答案】24π【分析】由余弦定理可求出長(zhǎng)方體的高，再由外接球直徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線得解.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的高為c，外接球的半徑為，如圖，則，，，由余弦定理知，，解得，所以，所以.故答案為：練習(xí)3．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】如圖連接，即可得到，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出即外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖連接，因?yàn)?，所以，所以，則，又，所以，所以，所以，所以，即外接球的半徑，所以外接球的表面積.故答案為：練習(xí)4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期中）已知長(zhǎng)方體中，，，若與平面所成的角的余弦值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得，即，設(shè)，求出，根據(jù)該長(zhǎng)方體外接球的直徑是，可求出，再根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】連，因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角，所以，所以，設(shè)，則，即，又，所以，所以，即，所以，，因?yàn)樵撻L(zhǎng)方體外接球的直徑是，所以半徑，所以該外接球的表面積為.故選：B練習(xí)5．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？茧A段練習(xí)）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱所組成的公共部分為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，若“牟合方蓋”的體積為，則正方體的體積為_(kāi)_____，正方體的外接球的表面積為_(kāi)_____.

【答案】812π【分析】根據(jù)已知求出正方體的內(nèi)切球的體積，得到內(nèi)切球的半徑，根據(jù)正方體內(nèi)切球的直徑為其棱長(zhǎng)，外接球的直徑為其對(duì)角線，即可求解.【詳解】因?yàn)椤澳埠戏缴w”的體積為，又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，所以正方體的內(nèi)切球的體積，所以內(nèi)切球的半徑，所以正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積，所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線即，所以，所以正方體的外接球的表面積為．故答案為：；.題型二 線面垂直模型例3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，已知，，，則該三棱柱外接球的表面積為_(kāi)______________．【答案】【分析】根據(jù)直三棱柱的特征及其棱長(zhǎng)可知，構(gòu)造長(zhǎng)方體即可求得外接球半徑，即可求的結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

由直三棱柱可知，平面，又，所以兩兩垂直，設(shè)直三棱柱外接球的半徑為R，通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體外接球相同；即可得，解得，所以所求外接球的表面積．故答案為：例4．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，則二面角的大小為_(kāi)_____，此時(shí)，四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．

【答案】//【分析】把二面角轉(zhuǎn)化為與的夾角，由，利用向量的運(yùn)算，求得，求得二面角的大小為，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】空1：由題意知且，根據(jù)二面角的平面角的定義，可得向量與的夾角就是二而角的平面角，又由，且，和，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以二面角的大小為．?：如圖所示，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，可得三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，設(shè)外接球的半徑為，底面的外接圓的半徑為在中，由，可得，由正弦定理得，可得，又由球的截面圓的性質(zhì)，可得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；.

練習(xí)6．（2023春·山東臨沂·高三?？计谥校┰诰匦沃?，平面，則與平面所成的角是_____．四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)___．【答案】/【分析】先求得與平面所成的角，進(jìn)而求得其大?。幌惹蟮盟睦忮F的外接球半徑，進(jìn)而求得其表面積.【詳解】四棱錐中，平面，則是與平面所成的角，又矩形中，，則，又，，則，，又，則，則與平面所成的角是；四棱錐可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則四棱錐的外接球的直徑為，又，則四棱錐的外接球的半徑為1，則四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；練習(xí)7．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，再根據(jù)結(jié)合球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，則，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，由平面，得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.練習(xí)8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，使異面直線與所成角為，且為銳角，則折后三棱錐外接球的表面積為_(kāi)________．【答案】/【分析】根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【詳解】由于，故和均是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，將其補(bǔ)充如圖（1）所示的長(zhǎng)方形，折后得到圖（2）所示的直三棱柱，

又由異面直線與所成角為，可知或，又為銳角，故可知，則圖（2）所示的直三棱柱上下底面均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球．設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，又三棱錐的高為2．所以三棱柱外接球的半徑，所以所求外接球的表面積為．故答案為：.練習(xí)9．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圓半徑為，根據(jù)勾股定理即可求解外接球半徑，進(jìn)而可求表面積.【詳解】由題意可得所以在三角形中，由等面積法可得,設(shè)三角形的外接圓半徑為，圓心為,則由正弦定理得，由于平面,設(shè)三棱錐外接球的半徑為,球心到平面的距離為，過(guò)作,則，因此,故外接球的表面積為,故選：A

練習(xí)10．（2023春·安徽·高三安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的體積為6，且.則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】先利用題給條件求得三者間的位置關(guān)系，求得該三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得該三棱錐外接球的表面積【詳解】由題意得，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，又，則兩兩垂直，取BC中點(diǎn)M，連接PM并延長(zhǎng)至D，使，連接，則四棱錐中，底面，且為矩形，故四棱錐可以補(bǔ)形為以為底面的長(zhǎng)方體，且為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，中點(diǎn)即為外接球球心O，又，則該三棱錐外接球的表面積為故答案為：題型三 對(duì)棱相等模型例5．（2022春·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐中，，，且各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)_____.【答案】.【分析】根據(jù)已知，將三棱錐拓展為以為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體，三棱錐的各棱為長(zhǎng)方體面的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體外接球的半徑，即可求解.【詳解】三棱錐中，，，將三棱錐拓展為以為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體，如下圖所示，長(zhǎng)方體的上下底面的對(duì)角線長(zhǎng)，即邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)，所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，該球的體積為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與球的“接”“切”問(wèn)題，合理應(yīng)用條件巧妙轉(zhuǎn)化為熟悉幾何體與球的“接”“切”關(guān)系，減少計(jì)算量，屬于中檔題.例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎狞c(diǎn)在半徑為的球面上，且，，，則三棱錐的體積是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造長(zhǎng)方體，然后求解長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高，再求體積即可.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐D-ABC，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱錐的體積為4×3×5-4×××4×3×5=20.故答案為20練習(xí)11．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，對(duì)棱，，，則該三棱錐的外接球體積為_(kāi)_______，內(nèi)切球表面積為_(kāi)_______.【答案】/【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的值，可計(jì)算出該三棱錐的外接球半徑，計(jì)算出的表面積與體積，利用等體積法可求得該三棱錐內(nèi)切球的半徑，利用球體的體積和表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿忮F每組對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，如下圖所示：則，，，解得，，外接球直徑，其半徑為，三棱錐的體積，在中，，，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：則，且，所以，，因?yàn)槿忮F的每個(gè)面的三邊分別為、、，所以，三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，可得，所以該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.故答案為：；.練習(xí)12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，此四面體可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四面體中，，，則此四面體外接球的表面積為_(kāi)____．【答案】【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，使得六條棱分別為長(zhǎng)方體六個(gè)面的面對(duì)角線，則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，利用數(shù)據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，可得球的表面積．【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，使得六條棱分別為長(zhǎng)方體六個(gè)面的面對(duì)角線，如圖：則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，又長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則有，，，所以，所以外接球的表面積為，故答案為：練習(xí)14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中?？计谥校┮阎?、、、四點(diǎn)在半徑為的球面上，且，，，則三棱錐的體積是______．【答案】【分析】構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐，計(jì)算出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，即可求得三棱錐的體積．【詳解】由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐，如圖所示，其中長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則，解得，，，三棱錐的體積是故答案為：．練習(xí)15．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，則的最大值為_(kāi)________．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，設(shè)出長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)，利用球的直徑即可表示出，結(jié)合參數(shù)方程即可求解.【詳解】由，均在半徑為2的球面上，可將三棱錐放置于長(zhǎng)方體中，如圖，

設(shè)棱長(zhǎng)分別為，則，故長(zhǎng)方體對(duì)角線平方為，可設(shè)，，，故的最大值為．故答案為：題型四 共斜邊模型例7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃砭希ㄈ鐖D所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，平面，則該鞠（球）的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)為，連接，可證為外接球的球心，故可求半徑，從而可得球的表面積.【詳解】

取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，故，?同理，而，平面，故平面，而平面，故，故，綜上，為三棱錐外接球的球心，而，故外接球的半徑為3，故球的表面積為，故選：C例8．（2022·貴州貴陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知三棱錐，在底面中，，面，，則此三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：底面三角形內(nèi)，根據(jù)正弦定理，可得,,滿足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜邊,所以三棱錐的外接球的球心就是的中點(diǎn),是其外接球的直徑，,所以外接球的表面積,故選D.考點(diǎn)：球與幾何體練習(xí)16．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知為球的表面的四個(gè)點(diǎn)，平面，，則球的表面積等于__________.【答案】【分析】先說(shuō)明是直角三角形，是直角三角形，球的直徑就是，求出，即可求出球的表面積【詳解】解：如圖所示因?yàn)樗缘耐饨訄A的直徑為由平面，得所以和時(shí)直角三角形，所以為外接球的直徑，，所以球的半徑，故球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，說(shuō)明三角形是直角三角形，推出是球的直徑，是本題的突破口.練習(xí)17．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，證明是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑；是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑，設(shè)，求出，根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.因?yàn)椋切边叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋切边叺闹悬c(diǎn)，所以，所以是三棱錐的外接球的球心，為該球的直徑.設(shè)，則，則，，所以.故選：B.練習(xí)18．（2023·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形所在平面與矩形所在的平面垂直，．為的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直可得，，結(jié)合直角三角形分析可得為外接球直徑，結(jié)合球的表面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，，可得，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，平面，所以，又平面，則平面，平面，可得，取的中點(diǎn)，連接，則，所以為外接球直徑，設(shè)其半徑為R，在中，，即，故外接球表面積為．故選：A．

練習(xí)19．（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽(yáng)馬的外接球的表面積等于A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件畫(huà)出圖形，在三棱錐（鱉臑）中,，四棱錐中，設(shè)，求出外接球的高和半徑，然后求解球的表面積.【詳解】由題意，在三棱錐（鱉臑）中，，平面，所以其外接球的直徑．設(shè)，則，所以其外接球的體積，解得．設(shè)四棱錐（陽(yáng)馬）的外接球半徑為，則，所以該球的表面積．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球，幾何體的表面積的求法，直線與平面的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．練習(xí)20．（2021·天津薊州·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：D.題型五 球心在外心正上方模型例9．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）在正四棱臺(tái)中，上?下底面邊長(zhǎng)分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)_________.【答案】1或7【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，分球心在線段上和在的延長(zhǎng)線上兩種情況，求出高.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，如圖1，當(dāng)球心在線段上時(shí)，則，因?yàn)樯?下底面邊長(zhǎng)分別為，所以，由勾股定理得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為，如圖2，當(dāng)球心在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為.故答案為：1或7例10．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）正四面體內(nèi)接于半徑為的球，求正四面體的棱長(zhǎng).【答案】【分析】點(diǎn)在平面的投影為的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，確定，，根據(jù)勾股定理解得答案.【詳解】正四面體，則點(diǎn)在平面的投影為的中心，

則內(nèi)接球的球心在上，設(shè)為，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，，則，整理得到.練習(xí)21．（2022春·江西撫州·高二南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該四棱錐的外接球的體積為_(kāi)________．【答案】【分析】由題意可得正方形的中心即為球心，設(shè)球半徑為，結(jié)合題中條件求出半徑即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知正方形的中心即為球心，設(shè)球半徑為，則，，解得，該四棱錐的外接球的體積為．故答案為：.練習(xí)22．（2023·四川成都·樹(shù)德中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）埃及金字塔是地球上的古文明之一，隨著科技的進(jìn)步，有人幻想將其中一座金字塔整體搬運(yùn)到月球上去，為了便于運(yùn)輸，某人設(shè)計(jì)的方案是將它放入一個(gè)金屬球殼中，已知某座金字塔是棱長(zhǎng)均為的正四棱錐，那么設(shè)計(jì)的金屬球殼的表面積最小值為_(kāi)____________．（注：球殼厚度不計(jì)）.【答案】【分析】由已知分析需求正四棱錐的外接球的半徑，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)和外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半徑，從而求出金屬球殼的表面積的最小值.【詳解】由題意，要使金屬球殼的表面積最小，則金屬球是正四棱錐的外接球.如圖所示，在正四棱錐中，，，為其外接球的球心，連接與相交點(diǎn)于，連接，為頂點(diǎn)在底面上的投影，即為正方形的中心，設(shè)球的半徑為，表面積為，則在正方形中，，在中，，則，在中，，，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.

練習(xí)23．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，高為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【分析】求得的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得三棱錐的表面積判斷選項(xiàng)B；求得三棱錐的外接球的表面積判斷選項(xiàng)C；求得三棱錐的內(nèi)切球的表面積判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接則正三棱錐中，.因?yàn)槠矫?，且，所以平面，則，故A正確；作平面，垂足為，則.由正三棱錐的性質(zhì)可知在上，且.因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，則三棱錐的表面積，故B正確；設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則在上，連接，則，即，解得，則三棱錐的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，從而三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，故D正確.故選：ABD練習(xí)24．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐中，，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】畫(huà)出正三棱錐，設(shè)出球心，由勾股定理建立等量關(guān)系求得外接球半徑，由球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖：在正三棱錐，.在等邊三角形中，為中點(diǎn)，，所以，在直角三角形中，，設(shè)三棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，.由勾股定理得：，解得：，所以該三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：.練習(xí)25．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐P-ABC中，D，E分別為側(cè)棱PB，PC的中點(diǎn)，若，且，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，利用三角形相似得到，取線段PE的中點(diǎn)F，連接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半徑，代入外接球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)镻-ABC為正三棱錐，所以，．取線段PE的中點(diǎn)F，連接DF，AF，因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)锳D⊥BE，所以．在中，，由勾股定理，得．設(shè)，PA=x，在中，由余弦定理的推論，得①．同理，在中，由余弦定理的推論，得②．聯(lián)立①②，解得，．在中，由余弦定理，得，所以．取的中心，連接，，則平面ABC，三棱錐P-ABC的外接球球心O在上，連接OA，設(shè)外接球半徑為R．在中，OA=R，，所以，所以，所以，即，解得，所以所求外接球的表面積為．故選：C．題型六 面面垂直模型例11．（2023春·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谥校┤忮F中，，平面平面，．若三棱錐的外接球體積的取值范圍是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，根據(jù)外接球的性質(zhì)可得，結(jié)合外接球體積的取值范圍可得，進(jìn)而結(jié)合外接球半徑的取值范圍，運(yùn)算求解即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，則為Rt的外接圓的圓心，所以的外接球的球心在直線上，連接，設(shè)，的外接球的半徑為，則，解得，則，因?yàn)?，即，解得，可得，即，注意到，則，所以的取值范圍是.故選：D.例12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD的頂點(diǎn)都在球О的表面上，平面平面BCD，，為等邊三角形，且，則球O的表面積為_(kāi)______.【答案】/【分析】取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)條件可得平面BCD，球心在上，然后在中根據(jù)勾股定理建立方程可求出球的半徑.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面BCD，平面，所以平面BCD，因?yàn)椋缘耐庑臑?，球心在上，設(shè)球的半徑為，因?yàn)?，，所以在中，，即，解得，所以球的表面積為，故答案為：練習(xí)26．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）（多選）三棱錐中，底面、側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，面面，P為的中點(diǎn)，則（

）．A．B．與所成角的余弦值為C．點(diǎn)P到的距離為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)三角形和三角形為等邊三角形得到，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，然后根據(jù)線面垂直的定義即可得到，即可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量的方法求異面直線所成角即可判斷B選項(xiàng)；利用等腰直角三角形的性質(zhì)求距離即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)外接球的性質(zhì)得到外接球球心的位置，然后利用勾股定理求半徑和外接球表面積即可判斷D選項(xiàng).【詳解】

連接，，因?yàn)槿切魏腿切螢榈冗吶切?，為中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故A正確；因?yàn)槊婷?，面面，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)與所成角為，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槿切魏腿切蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，在等腰直角三角形中，，所以點(diǎn)到的距離為，故C正確；分別取三角形和三角形的外心，，再分別過(guò)，作平面，平面的垂線交于點(diǎn)，所以為三棱錐的外接球球心，，，所以，三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.練習(xí)27．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)面是正三角形，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)證得面，面，再結(jié)合正弦定理求得三角形外接圓的半徑及勾股定理求得四棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得其表面積.【詳解】如圖所示，連接AC、BD交于一點(diǎn)，取AD中點(diǎn)E，連接、，所以由題意知，，，為正方形ABCD外接圓的圓心，又因?yàn)槊婷?，面面，面，所以面，同理：面，設(shè)等邊△SDA的外接圓的圓心為，過(guò)作的平行線交過(guò)作的平行線于點(diǎn)O，則面，面，所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，半徑為，方法1：等邊△SDA的外接圓半徑方法2：在等邊△SDA中由正弦定理得，解得：，又因?yàn)?，所以，所以四棱錐外接球表面積為.故選：C.練習(xí)28．（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知長(zhǎng)方體的體積為16，，與相交于點(diǎn)E，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知線面關(guān)系，判斷三棱錐的外接球球心的位置并計(jì)算出求得半徑，從而得外接球的表面積即可.【詳解】解：設(shè)，則由長(zhǎng)方體的體積公式，得，解得，所以，由題可知，四邊形為正方形，所以，所以外接圓的圓心為AD的中點(diǎn)，記為點(diǎn)M，如下圖：又是直角三角形，同理外接圓的圓心為AC的中點(diǎn)，記為點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M，N分別作平面與平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為AC的中點(diǎn)N，所以三棱錐的外接球的球心是AC的中點(diǎn)N.又，所以外接球半徑，所以外接球的表面積為.故選：D.練習(xí)29．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）在菱形中，，，將繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)至，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接的，利用勾股定理證明，則有平面平面，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，在菱形中，，則都是等邊三角形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，即，所以平面平面，如圖，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，且，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則平面外接球的半徑為，設(shè)，則，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.練習(xí)30．（2023春·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，且．若與平面所成的角為，則四棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．

【答案】【分析】先利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而利用線面求得，再利用勾股定理求得到四棱錐各頂點(diǎn)的距離即可得解.【詳解】取為的中點(diǎn)，連結(jié)，連結(jié)，連結(jié)，如圖，

因?yàn)椋瑒t，因?yàn)槠矫嫫矫媲蚁嘟挥?，平面，所以平面，則為與平面所成的角，即，設(shè)，則，又易知，即，解得，，則，，在中，，在矩形中，，所以四棱錐外接球的球心為矩形的中心，且四棱錐外接球的半徑，所以四棱錐外接球的表面積為．故答案為：.題型七 折疊模型例13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為2，將其沿邊旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，且二面角為，則三棱錐外接球的半徑為_(kāi)___________【答案】【分析】設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接CD，，可得，設(shè)分別是，的外接圓圓心，分別過(guò)作平面與平面的垂心，交點(diǎn)為，則是三棱錐外接球的球心，求出即可.【詳解】如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接CD，，由于，為正三角形，所以,所以,故.設(shè)分別是，的外接圓圓心，分別過(guò)作平面與平面的垂心，交點(diǎn)為，則是三棱錐外接球的球心，易知≌，，的外接圓半徑為，所以,即，即.所以外接球半徑為.故答案為:.例14．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，三棱錐體積的最大值是__________；當(dāng)二面角為時(shí)，三棱錐外接球的表面積是__________.【答案】【分析】根據(jù)三棱錐的體積公式可知當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，故當(dāng)二面角為，三棱錐的體積最大，由體積公式即可求解,根據(jù)外接球的性質(zhì)，利用正弦定理和勾股定理，即可聯(lián)合求解球半徑.【詳解】當(dāng)二面角為，且時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，易求得.當(dāng)二面角為時(shí)，和的外接圓圓心分別記為和，分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為.過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，.在中，由正弦定理得：，所以，易知，在Rt中，，在Rt中，，所以三棱錐外接球的半徑，所以，即三棱錐外接球的表面積是.故答案為：27，

練習(xí)31．（2023秋·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在菱形ABCD中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)條件得到，過(guò)球心作平面，則為等邊三角形的中心，分別利用三角形的的中心求出的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出外接球半徑的平方，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)菱形的對(duì)角線交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，又因?yàn)椋谥?，，，由余弦定理可得：，所以，過(guò)球心作平面，則為等邊三角形的中心，因?yàn)椋瑸楣策叄?，則有，因?yàn)?，為等邊三角形的中心，則，，在中，由，可得：

，在中，，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：.練習(xí)32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，沿把折起，得到三棱錐，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，即可得到為二面角的平面角，分別取，的重心為，，過(guò)點(diǎn)，分別作兩個(gè)平面的垂線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，連接，，利用銳角三角函數(shù)求出，即可取出，即外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榱庑?，所以，，故為二面角的平面角，則，由題意可知，為正三角形，則外接球球心位于過(guò)，的中心且和它們所在面垂直的直線上，故分別取，的重心為，，過(guò)點(diǎn)，分別作兩個(gè)平面的垂線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，由題意可知，球心到面和面的距離相等，即，連接，，則，菱形的邊長(zhǎng)為，∴，，∴，即三棱錐的外接球的半徑，所以其外接球的表面積為.故答案為：練習(xí)33．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線把折起，使二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】如圖，三棱錐中，，平面平面，取BD中點(diǎn)E，連接CE，AE，則，而平面平面，平面，則平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，令點(diǎn)分別為正，正的中心，在平面內(nèi)分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，它們交于點(diǎn)O，連OC，因此平面，平面，而分別為三棱錐的外接球被平面，平面所截得的小圓圓心，則是三棱錐的外接球的球心，而，，顯然四邊形為正方形，，則球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：A練習(xí)34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將繞直線旋轉(zhuǎn)到，使得四面體外接球的表面積為，則此時(shí)二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件，得出是二面角的平面角，作的中心，，，，知四面體外接球的球心在上，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而可得二面角的余弦值．【詳解】由題意可知，和均為正三角形，設(shè)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)，作交于點(diǎn)，可得是二面角的平面角，作的中心，則在上，且，作，，，可知四面體外接球的球心在上，又，，在和中，由，，，，解得，，，二面角的余弦值為故選：A練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，且二面角的平面角的余弦值為，則此時(shí)三棱錐的外接球的體積與該三棱錐的體積比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和二面角平面角定義可知，利用余弦定理求得后，結(jié)合勾股定理可知，，由此可確定三棱錐的外接球半徑為，代入球的體積公式可求得外接球體積；根據(jù)平面，結(jié)合棱錐體積公式可求得，作比即可得到結(jié)果.【詳解】連接交于，連接，易得為與的中點(diǎn)，四邊形為菱形，，即，，二面角的平面角為，；又，，，；在中，由余弦定理得：；，，，，，三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，三棱錐的外接球體積；，，，平面，平面，，，，三棱錐的外接球的體積與該三棱錐的體積之比為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體的外接球問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠結(jié)合二面角的大小和勾股定理確定三棱錐的側(cè)面和為直角三角形，并且有公共斜邊，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)確定三棱錐外接球球心即為的中點(diǎn).題型八 外接球的最值問(wèn)題例15．（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）表面積為的球內(nèi)有一內(nèi)接四面體PABC，其中平面平面，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則四面體PABC體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】四面體PABC體積最大需要到底面的距離為最大，分析出最大時(shí)滿足，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求出其最大值.【詳解】如圖所示，是四面體外接球的球心，設(shè)球的半徑為，是外接圓的圓心，設(shè)圓的半徑為，設(shè)到底面的距離為，取中點(diǎn)，連接，過(guò)作，由題意，可得,則，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以由正弦定理，可得，則，四面體PABC體積為，四面體PABC體積的最大需要最大，由題意可知，在過(guò)并且與底面垂直的圓面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圓面的最高點(diǎn)時(shí)，最大，由圓的對(duì)稱性可知，此時(shí),則，又平面平面，平面，所以平面，在中，，，則，則，，在中，，則，所以.故選：D.例16．（2023春·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥校┰O(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為5的球的球面上四點(diǎn)，，，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】是外心，是球心，求出，當(dāng)是的延長(zhǎng)線與球面交點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積的最大，由此求得最大體積即可.【詳解】如圖，是外心，即所在截面圓圓心，設(shè)圓半徑為是球心，因?yàn)?，，由余弦定理得，因?yàn)?，則，所以，所以由正弦定理得，則，則，，平面，平面，則，所以，當(dāng)是的延長(zhǎng)線與球面交點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積的最大，此時(shí)棱錐的高為，，所以棱錐體積為.故答案為：.練習(xí)36．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一封閉圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1，4，母線長(zhǎng)為6．該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則這個(gè)球表面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】將圓臺(tái)補(bǔ)體為圓錐并作出其軸截面，分析圓錐的內(nèi)切球，可判斷出圓錐內(nèi)切球能包含在圓臺(tái)內(nèi)，進(jìn)而可得最大球半徑與表面積.【詳解】將圓臺(tái)補(bǔ)體為圓錐并作出其軸截面如圖，圓錐頂點(diǎn)為，圓臺(tái)上下圓圓心分別為，根據(jù)截面性質(zhì)，易得，又，所以，，，則.故該軸截面是邊長(zhǎng)為8的正三角形，高，由正三角形內(nèi)心也是重心，可得內(nèi)切圓的半徑，又圓臺(tái)高為，所以圓錐內(nèi)切球半徑即為內(nèi)切圓的半徑，所以該圓臺(tái)內(nèi)切球半徑最大值為.故球表面積的最大值為．

故答案為：練習(xí)37．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)題意求得，利用基本不等式求得圓柱的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，所以外接球的表面積的最小值為.故答案為：．練習(xí)38．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正三棱柱所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為_(kāi)_______.【答案】8【分析】由條件結(jié)合球的體積公式求球的半徑，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，求出三棱柱的高，結(jié)合棱柱的體積求三棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】設(shè)正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，根據(jù)對(duì)稱性可得，線段的中點(diǎn)即為正三棱柱的外接球的球心，線段為該外接球的半徑，設(shè)，由已知，所以，即，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，在中，，所以，，又的面積，所以正三棱柱的體積，設(shè)，則，，所以，，所以，令，可得或，舍去，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為：.

練習(xí)39．（2023春·安徽·高三安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為4，平面經(jīng)過(guò)，則平面截正四棱錐的外接球所得截面圓的面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、交于，連接，求出，，可得點(diǎn)即為正四棱錐的外接球球心，取中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，截面圓的面積最小，線段也即此時(shí)截面圓的直徑，求出截面圓的面積即可．【詳解】連接，交于，連接，則底面且是中點(diǎn)，，，所以到，，，，的距離均為，點(diǎn)即為正四棱錐的外接球球心，取中點(diǎn)，連接，分析可知，當(dāng)時(shí)，截面圓的面積最小，線段也即此時(shí)截面圓的直徑，所以截面圓的面積的最小值為．故選：C．

練習(xí)40．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓錐內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，求出，再換元利用基本不等式求出函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，軸截面如下圖示，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，所以，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以該圓錐的表面積的最小值為.故選：B

題型九 內(nèi)切球例17．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算出扇形的弧長(zhǎng)，從而可得圓錐底面的半徑，故可求軸截面內(nèi)切圓的半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，最后根據(jù)公式可求體積.【詳解】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由題意可得，由，所以．因?yàn)?，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，該等邊三角形（如圖）的內(nèi)切圓半徑為圓錐內(nèi)切球半徑，而等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，故，故．故選：C．例18．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在底面是邊長(zhǎng)為4的正方形的四棱錐中，點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，異面直線與所成角的正切值為，則