專題3.3 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題3.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性題型一判斷函數(shù)的奇偶性題型二利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值題型三利用奇偶性求解析式題型四函數(shù)周期性的應用題型五函數(shù)對稱性的應用題型六單調(diào)性與奇偶性的綜合問題題型七對稱性、周期性與奇偶性的綜合問題題型一 判斷函數(shù)的奇偶性例1．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷二次函數(shù)的對稱軸，可得函數(shù)不是偶函數(shù)，判斷選項A，根據(jù)函數(shù)的定義域判斷選項B，判斷得，從而得函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷得該函數(shù)不具有最小值，從而判斷選項C，根據(jù)，得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用基本不等式求解出最小值，即可判斷選項D.【詳解】對A，二次函數(shù)的對稱軸為，不是偶函數(shù)，故A錯誤；對B，函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；對C，，定義域為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)易判斷函數(shù)無最小值，故C錯誤；對D，，定義域為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)有最小值，故D正確.故選：D例2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性及選項逐項排除即可得到答案．【詳解】，的定義域均為，且,，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù).由圖易知其為奇函數(shù)，而與為非奇非偶函數(shù)，故排除AB.當時，，排除C.故選:D．練習1．（2023春·北京·高三北京師大附中校考期中）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性定義判斷各項函數(shù)的奇偶性.【詳解】顯然各項函數(shù)的定義域均為R，，偶函數(shù)，A不符合；，奇函數(shù)，B符合；，非奇非偶函數(shù)，C不符合；，非奇非偶函數(shù)，D不符合.故選：B練習2．（2023·上海·高三專題練習）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】B【分析】求出定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可.【詳解】由函數(shù)可知，定義域為關(guān)于原點對稱，又，故函數(shù)為內(nèi)的偶函數(shù).故選：B練習3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可由選項逐一判斷.【詳解】對于A,的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，對于B，的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，但在單調(diào)遞減，故B錯誤，對于C，的定義域為,關(guān)于原點對稱，又，故為偶函數(shù)，故C錯誤，對于D，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故D正確，故選：D練習4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┫铝泻瘮?shù)在其定義域內(nèi)既是嚴格增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)在定義域上不是嚴格的單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，所以為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于C中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合題意；對于D中，函數(shù)，在定義域上嚴格的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.故選：D.練習5．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性證明函數(shù)為偶函數(shù)；分別求出，利用排除法，結(jié)合選項即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C；又，故排除AB，D符合題意.故選：D.題型二 利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值例3．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┤魹槠婧瘮?shù)，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義，對分類討論即可得解.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點對稱.若，則的定義域不關(guān)于原點對稱，所以的定義域為且，所以，解得.所以，定義域為.令，得，故，此時經(jīng)檢驗，為奇函數(shù).故選：C.例4．（2023春·河北保定·高三保定一中?？计谥校┮阎瘮?shù)且，則的值為__________【答案】【分析】由函數(shù)的解析式發(fā)現(xiàn)，它是由一個奇函數(shù)加一個常數(shù)的形式，再注意到已知的函數(shù)值和要求的函數(shù)值，它們的自變量互為相反數(shù)，所以可以直接代入利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為，所以，所以，所以

，故答案為：.練習6．（2022秋·高三課時練習）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且則（

）A．3 B．-1 C．1 D．-3【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可知，解方程組即可求得.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則所以兩式相加可得，即故選：A.練習7．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，解得，判斷與的互推關(guān)系，即可得到答案.【詳解】當函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.練習8．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，所以．因為，且，，所以，所以，則，當且僅當，即時，取最小值4．故選：A練習9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）函數(shù)，若，則________．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合計算即可求解.【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.練習10．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，故答案為：.題型三 利用奇偶性求解析式例5．（2023·全國·高一專題練習）已知奇函數(shù)則__________．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，先求當時，，，再進一步求解.【詳解】當時，，，則．故答案為：.例6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎嵌x域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，的表達式為_________．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出時的解析式作答.【詳解】是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，，，所以當時，的表達式為.故答案為：練習11．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，再利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意可得，解得，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.練習12．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知等式可得，聯(lián)立可得，即得答案.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，故，即，將該式和相減可得，則，故選：C練習13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為_________．【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當時，，設，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的步驟：（1）設：要求哪個區(qū)間的解析式，就設在哪個區(qū)間；（2）代：利用已知區(qū)間的解析式代入進行推導；（3）轉(zhuǎn)：根據(jù)的奇偶性，把寫成或，從而解出.練習14．（2023秋·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則時，___________．【答案】【分析】由偶函數(shù)的定義求解．【詳解】時，，是偶函數(shù)，∴，故答案為：．練習15．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學?？计谥校┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求的解析式；(2)若方程有兩個實數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，則，，然后由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)求解的解析式.（2）在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，根據(jù)方程有兩個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有兩個交點求解.【詳解】（1）設，則，所以，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以所以；（2）在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，因為方程有兩個解，所以函數(shù)的圖象有兩個交點，由圖象知：或，所以的取值范圍是.題型四 函數(shù)周期性的應用例7．（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意推出函數(shù)的周期以及滿足等式，賦值求得，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以的周期為6，又為奇函數(shù)，所以，所以，令，得，所以,所以，故選：C.例8．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）定義在R上的奇函數(shù)滿足R，，且當時，，則_________．【答案】1012【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，且，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．所以，令,可得，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)且周期為4，所以，則，則．故答案為:1012.練習16．（2023春·江西·高三江西師大附中?？茧A段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則的值為（）A．－3 B．3 C．－1 D．1【答案】D【分析】根據(jù)，可得，從而可得函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性計算即可.【詳解】因為，所以，則，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則.故選：D.練習17．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過，和的方程聯(lián)立，得到，根據(jù)函數(shù)的周期性賦值求解.【詳解】當時，由①，得②，①②聯(lián)立，可得,得③把①代入③可得，即，故，故選：C.練習18．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先利用求出函數(shù)的周期，利用周期性轉(zhuǎn)化代入即可求解.【詳解】依題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)的周期為4，所以.又因為，所以，當時，，所以，所以.故選：B.練習19．（2023·廣東·高三專題練習）已知，函數(shù)都滿足，又，則______．【答案】/【分析】首先確定函數(shù)的周期，再根據(jù)條件和函數(shù)的周期，求函數(shù)值.【詳解】根據(jù)題意，，顯然，所以，

所以，所以函數(shù)的周期為8，所以.故答案為：練習20．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足恒成立，且，則的值為______．【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性得到，且，結(jié)合函數(shù)的周期和，求出，得到答案.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，故，且，又，所以，且，當時，，故，解得：，種，當時，，又，所以，故.故答案為：-1題型五 函數(shù)對稱性的應用例9．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)圖象的對稱軸為，則圖象的對稱軸為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設條件可得，故可得正確的選項.【詳解】設，則，故，整理得到，所以圖象的對稱軸為.故選：C.例10．（2023·浙江·高三專題練習）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：，且.請寫出符合條件的一個函數(shù)的解析式______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知，且得出對稱軸和對稱中心，確定一個具體函數(shù)即可.【詳解】因為.得出對稱中心，且得出對稱軸為軸，且周期為4的函數(shù)都可以.故答案為：練習21．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于原點對稱【答案】B【分析】利用函數(shù)的對稱性及奇偶性即可求解.【詳解】對于A，由，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對于B，由，所以的圖象關(guān)于點對稱．故B正確；對于C，由，所以不是偶函數(shù)，故的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；對于D，由，所以不是奇函數(shù)，故的圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤；故選：B.練習22．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【分析】由奇偶性及對稱性得函數(shù)的周期性，由周期性計算函數(shù)值，【詳解】由及是奇函數(shù)得，，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4，，故選：B．練習23．（2023秋·河北承德·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，若與圖象的交點為，則（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】D【分析】由和的圖象都關(guān)于直線對稱，利用對稱性求解.【詳解】由可知的圖象關(guān)于直線對稱，的圖象關(guān)于直線對稱，所以.故選：D練習24．（2021春·陜西漢中·高三統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性求得正確答案.【詳解】由于，所以二次函數(shù)的對稱軸為，由于，所以開口向上，在上遞減；在上遞增，由得，即，所以不等式的解集為.故答案為：練習25．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）寫出一個非常數(shù)函數(shù)同時滿足條件：①，②.則___________.【答案】（形如或或或）【分析】根據(jù)函數(shù)所滿足的周期性、對稱性寫出滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】因為，，所以函數(shù)周期，函數(shù)對稱軸為，故可取函數(shù)，故答案為：（答案不唯一，形如或或或都可以）題型六 單調(diào)性與奇偶性的綜合問題例11．（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第四中學校考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線對稱，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性即可求解.【詳解】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B.例12．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學校考期中）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，函數(shù)的解析式為_________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_________【答案】【分析】第一空利用奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可，第二空利用單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】令，即，則；由題意可得：.故答案為：；練習26．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別對每個選項中的函數(shù)進行奇偶性和增減性分析即可.【詳解】對于，因為是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)，所以正確；對于，因為為偶函數(shù)，且定義域為，所以錯誤；對于，因為是奇函數(shù)，但在上為減函數(shù)，所以C錯誤；對于，因為為奇函數(shù)，但在上是減函數(shù)，所以錯誤.故選:A.練習27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式．再解不等式即可.【詳解】由得，即函數(shù)的定義域為．因為，所以為上的偶函數(shù)，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減，又都是在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集為.故選：D練習28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市長河高級中學?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得且在上是增函數(shù)，進而根據(jù)得出且或且，最后取并集．【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當或時，當或時，對于，則或，解得或的取值范圍是．故選：D．練習29．（2023春·河北保定·高三保定一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式．(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，利用，可得解析式；（2）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號“f”，再考慮到定義域即可求出a的范圍．【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，，設，則，則,因為為奇函數(shù)，則，則．（2）當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，由奇函數(shù)可知是定義在[﹣3，3]上的增函數(shù)，又∵，∴，故有：，則有，解得：所以實數(shù)a取值范圍是：練習30．（2023春·陜西咸陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值．(2)若時，是上的增函數(shù)，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求的值．（2）利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解抽象不等式知識即可求的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)．（2）若時，即時，是奇函數(shù)又是增函數(shù)，且，可得，，即的取值范圍是.題型七 對稱性、周期性與奇偶性的綜合問題例13．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，滿足為奇函數(shù)且，當時，，則（

）A． B． C．0 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意推得，得到函數(shù)的周期為，利用函數(shù)的周期性和對稱，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)的對稱中心為，即又由，則的對稱軸為，即，所以，即，又由，所以，即函數(shù)的周期為，則.故選：D.例14．（山東省煙臺市2023屆高考適應性練習（一）數(shù)學試題）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性求解即可.【詳解】對于選項，∵是偶函數(shù)，∴，∴函數(shù)關(guān)于直線對稱，∴，∵，∴，∴是奇函數(shù)，則正確；對于選項，∵，∴，∴,∴的周期為，∴，則正確；對于選項，若的圖象關(guān)于直線對稱，則，但是，，即，這與假設條件矛盾，則選項錯誤；對于選項，將代入，得，將，代入，得，同理可知，又∵的周期為，∴正奇數(shù)項的周期為，∴，則正確.故選：ABD.練習31．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，探求函數(shù)的性質(zhì)，再逐項分析判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，則，即，又為奇函數(shù)，則，即有，亦即，因此，即，由，得，則有，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，又，從而是周期為6的周期函數(shù)，顯然，而沒有條件能求出，即CD錯誤；，沒有條件能求出，A錯誤；由，得，即，所以，B正確.故選：B練習32．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知將函數(shù)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于軸對稱，若，且，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由題意得函數(shù)關(guān)于對稱，即，結(jié)合，可得函數(shù)的周期為2，再根據(jù)，求出的值.【詳解】因為將函數(shù)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)關(guān)于對稱，即，即；又因為，所以，即，所以，因為，所以，即，所以由，得，即，所以函數(shù)的周期為2，則，由，得.故選：B.練習33．（202