布林代數(shù)之基本定理

第4章布林代數(shù)及第摩根定理

………………4-1

布林代數(shù)之特質(zhì)4-2

布林代數(shù)之基本運(yùn)算4-3

布林代數(shù)之基本定理4-4

第摩根定理4-5

邏輯閘之互換1.節(jié)目錄………….…4-1

布林代數(shù)之特質(zhì)根本的布林代數(shù)式可簡單的表示成：F＝f〔A，B，C??〕，下圖為其示意圖。F的輸出是輸入變數(shù)A、B、C……等的函數(shù)，亦即F的值是由輸入變數(shù)的值所決定。2.………….…4-2布林代數(shù)之根本運(yùn)算布林代數(shù)雖然只有0與1兩種數(shù)值，但其根本運(yùn)算有三種，分別為OR運(yùn)算，又稱邏輯的加法運(yùn)算；AND運(yùn)算，又稱邏輯的乘法運(yùn)算；NOT運(yùn)算，又稱邏輯的補(bǔ)數(shù)運(yùn)算，現(xiàn)針對(duì)這三種根本運(yùn)算之特性說明如下：1.OR運(yùn)算(1)假設(shè)A和B為兩個(gè)輸入變數(shù)，則當(dāng)A和B以

OR加法組合時(shí)，其輸出F表示為F＝A＋B。節(jié)目錄3.(2)F＝A＋B之運(yùn)算結(jié)果為「只要A或B是1，其結(jié)果F就是1」。除了A＝B＝1情形外，OR運(yùn)算與二進(jìn)制加

法運(yùn)算相同。2.AND運(yùn)算(1)假設(shè)A和B為兩個(gè)輸入變數(shù)，則當(dāng)A和B以

AND乘法組合時(shí)，其輸出F表示為F＝A·B。(2)F＝A·B之運(yùn)算結(jié)果為「只有A是1且B也是

1，其結(jié)果F才是1」。AND運(yùn)算與二進(jìn)制乘法運(yùn)算相同。節(jié)目錄4.3.NOT運(yùn)算(1)若A為一個(gè)輸入變數(shù)，則當(dāng)A做NOT補(bǔ)數(shù)運(yùn)

算時(shí)，其輸出。(2)之運(yùn)算結(jié)果為「將變數(shù)A反轉(zhuǎn)，即為其結(jié)果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則F=1」。(3)NOT運(yùn)算與二進(jìn)制取1的補(bǔ)數(shù)運(yùn)算相同。節(jié)目錄5.節(jié)目錄………….…4-3布林代數(shù)之根本定理一、布林代數(shù)之假設(shè)1.封閉性(1)(2)2.單位元素(1)(2)6.3.交換律(1)(2)4.分配律(1)(2)節(jié)目錄7.5.補(bǔ)數(shù)元素(1)(2)6.結(jié)合律(1)(2)節(jié)目錄8.對(duì)偶性任何布林代數(shù)式，必有其相對(duì)的對(duì)偶式，對(duì)偶性之互換原則為(1)將「+」運(yùn)算改為「·」，「·」運(yùn)算改為

「+」。(2)將常數(shù)項(xiàng)「0」改為「1」，「1」改為

「0」。

(3)變數(shù)符號(hào)不加以改變。節(jié)目錄9.二、布林代數(shù)之根本定理有了布林代數(shù)的假設(shè)，我們可以以此假設(shè)為基礎(chǔ)，發(fā)展出以下之根本定理：全等性(1)X+X=X(2)X·X=X同一性(1)X+1=1(2)X·0=0自補(bǔ)性

消去性(1)X+XY=X(2)X·(X+Y)=X節(jié)目錄10.節(jié)目錄………….…4-4

第摩根定理一、第摩根第一定理「各變數(shù)OR運(yùn)算後之反相，等於各變數(shù)先反相後再做AND之運(yùn)算，即」。接著，我們將第摩根第一定理應(yīng)用在兩輸入的邏輯閘上，可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)反或閘，可視為輸入端先經(jīng)過反相閘，再輸入及閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，11.如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運(yùn)算轉(zhuǎn)換成「AND」運(yùn)算。假設(shè)將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效或閘。節(jié)目錄12.二、第摩根第二定理第摩根第二定理也就是在表示這個(gè)功能性，定理敘述如下：

「各變數(shù)AND運(yùn)算後之反相，等於各變數(shù)先反相後再做OR之運(yùn)算，即」。節(jié)目錄13.接著，我們將第摩根第二定理應(yīng)用在兩輸入的邏輯閘上，可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)反及閘，可視為輸入端先經(jīng)過反相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將「AND」運(yùn)算轉(zhuǎn)換成「OR」運(yùn)算。假設(shè)將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。節(jié)目錄14.………….…4-5

邏輯閘之互換在許多布林代數(shù)化簡中，第摩根定理常被應(yīng)用到，而且常是第一定理與第二定理相互搭配使用，是化簡布林代數(shù)不可或缺的工具，在練習(xí)例題之前，我們?cè)賹⒌谀Ω谝欢ɡ砼c第二定理陳述一遍。第摩根第一定理

第摩根第二定理

節(jié)目錄15.應(yīng)用上述之第摩根定理，很容易將布林代數(shù)轉(zhuǎn)換成完全由通用閘〔NANDGate或NORGate〕所組成的邏輯電路，具有容易設(shè)計(jì)、製造本錢低〔因使用的IC數(shù)較少〕之優(yōu)點(diǎn)。以下為針對(duì)全部由NANDGate或NORGate的邏輯電路化簡方法。節(jié)目錄16.1.多層NANDGate邏輯電路分析邏輯電路假設(shè)是由多層的NANDGate所組成，則將標(biāo)示為奇數(shù)層的NANDGate，全部轉(zhuǎn)換成具反相輸入的ORGate；而標(biāo)示為偶數(shù)層的NANDGate，則保持不變。2.多層NORGate邏輯電路分析簡化的方法與多層的N