第4章傳統(tǒng)時(shí)間序列分析

第4章傳統(tǒng)時(shí)間序列分析14.1趨勢(shì)模型與分析4.1.1

趨勢(shì)模型2趨勢(shì)模型的選擇是定性分析和定量分析相結(jié)合的分析過程。定性分析要求:在選模型之前，要弄清模型的條件和預(yù)測(cè)對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)二例如，指數(shù)曲線模型成立的條件是后一期與前一期之比為常數(shù)，即發(fā)展速度為常數(shù)。實(shí)際現(xiàn)象的逐期增長率不可能嚴(yán)格等一某一常數(shù)，但常會(huì)圍繞某一常數(shù)上下波動(dòng)。如果分析對(duì)象具備上述特點(diǎn)，可以考慮采用指數(shù)模型；否則，不宜采用。34.1.2

模型的選擇有一些趨勢(shì)模型是從其他領(lǐng)域特別是生物學(xué)領(lǐng)域移植過來的。比如，Logistic曲線最初用于研究生物種群發(fā)展規(guī)律。它假定種群的增長取決于兩個(gè)

因素:種群的現(xiàn)有規(guī)模和環(huán)境(生存空間、光照、水、食物等)，其中環(huán)境是限制性因素。在有限的環(huán)境(如有限的生存空間)之中，種群不可能無限增長，而是存在增長極限。如果用Logistic曲線分析某種現(xiàn)象，必須首先確認(rèn)：該現(xiàn)象是否在發(fā)展到一定規(guī)模后增長速度會(huì)逐步下降，該現(xiàn)象是否存在增長的極限等。4除定性分析外，根據(jù)資料把握現(xiàn)象的特點(diǎn)也是選擇模型的重要環(huán)節(jié)。定量分析需要用到多種初等分析方法，比如，計(jì)算樣本的逐期增長率，看是否滿足指數(shù)曲線模型的要求。更常用的方法是繪制曲線圖，直觀地判斷現(xiàn)象大體符合哪種模型。有時(shí)數(shù)據(jù)中不僅包含趨勢(shì)，還存在周期波動(dòng)和較強(qiáng)的隨機(jī)變動(dòng)，造成趨勢(shì)識(shí)別的困難，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。其方法主要包括數(shù)據(jù)的平滑和周期調(diào)整(如季節(jié)調(diào)整)。5例4.1

（承接例3.7，表3.13）化肥施用量命令：Expand

1975

2015Genr

t=@trendLs

k=c(1)/(1+c(2)*exp((-1)*c(3)*t))非線性化模型通常采用非線性最小二乘法。求解參數(shù)的方法通常是令對(duì)參數(shù)偏導(dǎo)等于零。但在模型復(fù)雜的情況下也無法求出精確解，這時(shí)，通常用迭代法，求出參數(shù)估計(jì)的初始值，通過迭代求出一個(gè)新的估計(jì)值，重復(fù)迭代直到估計(jì)值收斂。求初始值通常可以用一些初等的方法，如三和值法。6三和值法7三和值法的基本思想是:若模型有三個(gè)未知參數(shù)，將數(shù)據(jù)三等分。分別對(duì)每部分

的數(shù)據(jù)求和，將每部分和的值代入方程，可得到一個(gè)方程，一共可得到三個(gè)方程，然后解方程組可以獲得三個(gè)參數(shù)的估計(jì)

值。由于模型不同，求解的具體過程有

所不同。8例4.2 （承接例4.1）建立Logistic模型Expand

1975

2015Genr

t=@trendParam

c(1)

7116386.979

c(2)

7.377132419

c(3)0.109384469或：genr

c(1)=

7116386.979genr

c(2)=

7.377132419genr

c(3)=

0.109384469(三和值法計(jì)算過程見Excel文檔)Ls

k=c(1)/(1+c(2)*exp((-1)*c(3)*t))預(yù)測(cè)，作圖9Logistic曲線參數(shù)最小二乘估計(jì)結(jié)果趨勢(shì)模型為：K=7115797.46558/(1+8.77729632665*EXP((-

1)*0.106882882043*T))104.2季節(jié)模型與分析4.2.1

季節(jié)模型類型114.2季節(jié)模型與分析124.2.1

季節(jié)模型類型季節(jié)模型是反映具有季節(jié)變動(dòng)規(guī)律的時(shí)間序列模。季節(jié)變動(dòng)是指以一年.為一個(gè)周期的變化。引起季節(jié)變動(dòng)的首要因素是四季更迭，比如冷飲的市場(chǎng)銷量隨著冬

去夏來年復(fù)一年地發(fā)生周期變動(dòng)。以年為周期的變化

還可由歷史的、人文的或制度的因素引起，比如春節(jié)、穆斯林的齋月等。傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析把時(shí)間序列的波動(dòng)歸結(jié)為四大因素:趨勢(shì)變動(dòng),季節(jié)變動(dòng),循環(huán)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng),其中，循環(huán)變動(dòng)指周期為數(shù)年的變動(dòng)，通常指經(jīng)濟(jì)周期。不規(guī)則變動(dòng)即隨機(jī)變動(dòng)。四種變動(dòng)與原序列(Y)的關(guān)系被概括為兩種模型:乘法模型：Y=TSCI加法模型：Y=T+S+C+I經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的月度或季度時(shí)間序列包含4種變動(dòng)要素：乘法模型：Y=TSCI加法模型：Y=T+S+C+I長期趨勢(shì)要素T;季節(jié)變動(dòng)要素S;循環(huán)要素C;不規(guī)則要素I13經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的分解圖1我國工業(yè)總產(chǎn)值的時(shí)間序列Y圖形圖2工業(yè)總產(chǎn)值的趨勢(shì)·循環(huán)要素TC圖形圖3工業(yè)總產(chǎn)值的季節(jié)變動(dòng)要素S圖形14圖4工業(yè)總產(chǎn)值的不規(guī)則要素I圖形4.2.2

季節(jié)因子與季節(jié)調(diào)整季節(jié)調(diào)整就是將時(shí)間序列季節(jié)因素剔除乘法模型：Y/S=TCI加法模型：Y-S=T+C+I154.2.2 季節(jié)因子與季節(jié)調(diào)整例

民航客運(yùn)量（表4.3）命令：seas

airln序列窗口：Proc/Seasonal

Adjust/Cencus

X12作圖16Series

sa=airln/airlnsa174.2.3

時(shí)間序列的分解與合成1.時(shí)間序列的分解分解的主要目的是將時(shí)間序列各波動(dòng)因素分解開，可以清楚地觀察各部分波動(dòng)的具體情況，以便為深入研究各部分波動(dòng)的變化規(guī)律提供條件。184.2.3時(shí)間序列的分解與合成19例4.4

民航客運(yùn)量序列窗口：Proc/Seasonal

Adjust/Cencus

X12，隨后選擇相應(yīng)成分，選擇要保存的季節(jié)調(diào)整后分量序列，

X12將加上相應(yīng)的后綴存在工作文件中。·季節(jié)調(diào)整后序列（＿SA）；·季節(jié)因子序列（＿SF）；·趨勢(shì)—循環(huán)疊加序列（＿TC）；·不規(guī)則波動(dòng)要素（＿IR）；創(chuàng)建群group01，輸入命令

Group01.line(m)或line(m)

airln_ir

airln_sa

airln_sf

airln_tc20※民航客運(yùn)量序列airln具有明顯的季節(jié)變動(dòng)和周期循環(huán)變動(dòng)等影響，其折線圖呈現(xiàn)向上趨勢(shì)的鋸齒狀?！蛄衋irln-TC是經(jīng)過季節(jié)調(diào)整消除季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)要素所得的趨勢(shì)-循環(huán)序列，與原序列比較，其折線圖比較光滑，其向上趨勢(shì)比較明顯?！蛄衋irln-SF是季節(jié)要素因子，其形狀呈現(xiàn)波形狀，并且周期較為固定，大約為一年，其振幅大致為1.17※序列airln-IR是不規(guī)則要素，其形狀雜亂無章。212.時(shí)間序列的合成合成的主要目的是清楚認(rèn)識(shí)各部分波動(dòng)的規(guī)律的前提下，將分解開來的因素再重新合并，構(gòu)成比較完整的模型，其主要目的是預(yù)測(cè)。22例4.4民航客運(yùn)量我國民航客運(yùn)量數(shù)據(jù)（1993年10月-1998年3月）………23建立預(yù)測(cè)模型該序列有兩個(gè)比較明顯的有規(guī)律的波動(dòng)，趨勢(shì)T和季節(jié)變動(dòng)S，因此.打算建立如下預(yù)測(cè)模型:f(t)是模型趨勢(shì)部分；si是相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)24例4.4民航客運(yùn)量建立模型：*t^2趨勢(shì)模型：genr

t=@trendls

airln_sa=c(1)+c(2)*t+c(3)expand

1993,10

1998,12預(yù)測(cè)得：airln_saf復(fù)制airln_sf合成:genr

y=airln_saf*airln_sf作圖254.3指數(shù)平滑法26本章前兩節(jié)介紹的方法適合于比較有規(guī)律的數(shù)據(jù)，有比較明顯的趨勢(shì)變動(dòng)和季節(jié)波動(dòng)的序列。實(shí)際問題中數(shù)據(jù)有時(shí)并不那么

有規(guī)則。例如，深圳股市連續(xù)130周的周綜含指數(shù)數(shù)據(jù)的變動(dòng)

如圖所示。由圖可以看出，數(shù)據(jù)有明顯趨勢(shì)，但沒有季節(jié)變動(dòng)。圖中的虛線是直線趨勢(shì)模型.人們不大可能沿著這條線進(jìn)行短

期預(yù)測(cè)。27上證綜合指數(shù)趨勢(shì)可分為長期趨勢(shì)和短期趨勢(shì)。有時(shí)短期趨勢(shì)經(jīng)常改變。如果仔細(xì)觀察圖中序列的波動(dòng)情況，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同時(shí)期的短期趨勢(shì)并不一樣，有時(shí)向上有時(shí)朝下。如該序列在2001年后的基本趨勢(shì)是向下發(fā)展。因此，如果有一種方法能夠自動(dòng)追蹤數(shù)據(jù)的變化，不斷調(diào)整對(duì)序列中所含短期趨勢(shì)的估計(jì)，必然會(huì)收到較好短期預(yù)測(cè)的效果，指數(shù)平滑法屬于這類方法。284.3.2

一次指數(shù)平滑一次這種單指數(shù)平滑方法適用于序列值在一個(gè)常數(shù)均值上下隨機(jī)波動(dòng)的情況，無趨勢(shì)及季節(jié)要素。yt

平滑后的序列計(jì)算式如下,

,

t

=

2,

3,

…,

T,

為平滑因子。越小，越平緩，重復(fù)迭代，其中:可得到由此可知為什么這種方法叫指數(shù)平滑，y

的預(yù)測(cè)值是y過去值的加權(quán)平均，而權(quán)數(shù)被定義為以時(shí)間為指數(shù)的形式。29很明顯，一次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)值，是實(shí)際值序列的加權(quán)平均，因而適用于比較平穩(wěn)的序列。由于權(quán)數(shù)呈指數(shù)衰減，越早的數(shù)據(jù)被賦子的權(quán)數(shù)值越小，因此預(yù)測(cè)值主要倚重近期樣本數(shù)據(jù)，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)對(duì)它得影響較小(甚至沒有影響，這要看平滑系數(shù)取什么值)。一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)最突出的優(yōu)點(diǎn)是方法簡單，甚至只要有樣本末期的平滑值，就可得到預(yù)測(cè)結(jié)果。如果獲得新的觀察值，據(jù)此可以很方便地更新預(yù)測(cè)值。30一次指數(shù)平滑法揭示所有指數(shù)平滑法的共同特點(diǎn)：能夠追蹤數(shù)據(jù)的變化。由于權(quán)數(shù)是指數(shù)衰減的，因此預(yù)測(cè)總是倚重最新的樣本數(shù)據(jù)。如果在預(yù)測(cè)過程中添加新的樣本數(shù)據(jù)，按照本方法新數(shù)據(jù)會(huì)自動(dòng)取代老數(shù)據(jù)的地位，老數(shù)據(jù)會(huì)逐漸被置于次要地位。甚至被淘汰。這樣，預(yù)測(cè)值總是反映最新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如果預(yù)測(cè)持續(xù)進(jìn)行，同時(shí)數(shù)據(jù)又被持續(xù)更新，最新的預(yù)測(cè)總是反映最新數(shù)據(jù)所帶來的信息。31一次指數(shù)平滑法有局限性。第一，預(yù)測(cè)值是常數(shù)，不能反映趨勢(shì)變動(dòng)、季節(jié)波動(dòng)等有規(guī)律地變動(dòng)。若研究對(duì)象存在這些變動(dòng)不宜采用一次指數(shù)平滑法。第二。短期預(yù)測(cè)較靈敏但不適合中長期預(yù)測(cè)。第三，由于預(yù)測(cè)值是歷史數(shù)據(jù)的均值，因此，與實(shí)際序列的變化相比，預(yù)測(cè)值序列的變動(dòng)有滯后現(xiàn)象。324.3.3

二次指數(shù)平滑這種方法是將單指數(shù)平滑進(jìn)行兩次（使用相同的參數(shù)）。適用于有線性趨勢(shì)的序列。序列y的雙指數(shù)平滑以遞歸形式定義為其中:0331,St

是單指數(shù)平滑后的序列，Dt

是雙指數(shù)平滑序列。注意雙指數(shù)平滑是阻尼因子為

0 1

的單指數(shù)平滑方法。1.Holt-Winters—無季節(jié)趨勢(shì)（兩個(gè)參數(shù)）這種方法適用于具有線性時(shí)間趨勢(shì)無季節(jié)變差的情形。這種方法與雙指數(shù)平滑法一樣以線性趨勢(shì)無季節(jié)成分進(jìn)行預(yù)測(cè)。雙指數(shù)平滑法只用了一個(gè)參數(shù)，這種方法用兩個(gè)參數(shù)。yt平滑后的序列由下式給出其中:a

表示截距；b表示斜率,即趨勢(shì)。344.3.4

多次數(shù)指數(shù)平滑這兩個(gè)參數(shù)由如下遞歸式定義其中:

k

>

0

,

,

在0-1之間，為阻尼因子。這是一種有兩參數(shù)的指數(shù)平滑法。預(yù)測(cè)值計(jì)算如下這些預(yù)測(cè)值具有線性趨勢(shì)，截距為aT

，斜率為bT

，T

是估計(jì)樣本的期末值。352.Holt-winters乘法模型（三個(gè)參數(shù)）這種方法適用于序列具有線性趨勢(shì)和乘法季節(jié)變化。yt的平滑序列

由下式給出其中：at

表示截距，bt

表示斜率，at

+bt

k

表示趨勢(shì)，St

為乘法模型的季節(jié)因子，s

表示季節(jié)周期長度，月度數(shù)據(jù)s

=12，季度數(shù)據(jù)s

=4。需要用簡單的方法給出季節(jié)因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。36這三個(gè)系數(shù)定義如下，

，

在0～1之間，為阻尼因子。預(yù)測(cè)值由其中：k

>0，式計(jì)算其中：ST+k-s用樣本數(shù)據(jù)最后一年的季節(jié)因子，T

是估計(jì)樣本的期末值。374.3.5

操作方法38例4.5上證指數(shù)（教材為深圳指數(shù)）expand

1991,1

2003,12smooth(d)

shanghai或shanghai.smooth(d)或：主菜單：Quick/Series

Statistics/ExponentialSmoothing序列窗口：Procs/Exponential

Smoothing采用Holter-Winter非季節(jié)模型（

Holter-Winter

no

seasonal）操作方法例4.5上證指數(shù)（教材為深圳指數(shù)）作圖genr

t=@trendls

shanghai

c

t預(yù)測(cè)39例4.5上證指數(shù)（教材為深圳指數(shù)）※二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的趨勢(shì)與趨勢(shì)線所顯示的趨勢(shì)完全不同?！罢吒駭?shù)據(jù)序列的自然延伸。