專題04 二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與性質(zhì)（知識串講+9大考點）原卷版

專題04二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)考點類型知識串講（一）一般式化為頂點式（配方法）利用配方法可以將y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為頂點式,即y=ax2+bx+c=a=a頂點是（二）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)a的符號a>0a<0圖象??開口方向向上向下對稱軸?頂點坐標(biāo)?增減性當(dāng)x<-?時,y隨x的增大而減小;當(dāng)x>-?時,y隨x的增大而增大當(dāng)x<-?時,y隨x的增大而增大;當(dāng)x>-?時,y隨x的增大而減小最值當(dāng)時y最小值=當(dāng)時y最大值=（三）待定系數(shù)法求解解析式形式內(nèi)容適用條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)當(dāng)已知拋物線上任意三點坐標(biāo)時,通常設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為一般式,然后列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組求解頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù),a≠0),拋物線的頂點坐標(biāo)為(h,k)當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸或最值時,通常設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為頂點式,然后代入已知點的坐標(biāo),解方程交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2為常數(shù),a≠0),其中x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)當(dāng)已知拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)時,通常設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為交點式,然后代入另一點的坐標(biāo),解關(guān)于a的一元一次方程（四）函數(shù)圖像與各系數(shù)的關(guān)系a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下.某些特殊形式代數(shù)式的符號：a±b+c即為x=±1時，y的值；②4a±2b+c即為x=±2時，y的值.2a+b的符號，需判對稱軸-eq\f(b,2a)與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-eq\f(b,2a)＞1，再根據(jù)a的符號即可得出結(jié)果.④2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.a、b決定對稱軸（x=-eq\f(b,2a)）的位置當(dāng)a，b同號，-eq\f(b,2a)＜0，對稱軸在y軸左邊；當(dāng)b＝0時，-eq\f(b,2a)=0，對稱軸為y軸；當(dāng)a，b異號，-eq\f(b,2a)＞0，對稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點的位置當(dāng)c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當(dāng)c＝0時，拋物線經(jīng)過原點；當(dāng)c＜0時，拋物線與y軸的交點在負(fù)半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點考點訓(xùn)練考點1：一般式化為頂點式典例1：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）將拋物線y=x2+4x-4向下平移2個單位長度，再向左平移3【變式1】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）將y=x2-2x+3化成y=ax-h【變式2】（2023春·廣東河源·九年級校考階段練習(xí)）拋物線y=-x2-2x+2的開口方向___________，對稱軸是___________【變式3】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）將二次函數(shù)y=2x2-8x+13化成y=a考點2：求二次函數(shù)的頂點與對稱軸（配方法、公式法）典例2：（2023·湖南永州·校考一模）二次函數(shù)y=x2-4x+3，當(dāng)-1≤x<4時，y【變式1】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)y=2x2+4x+3【變式2】（2023秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）當(dāng)x=___________時，二次函數(shù)y=2x【變式3】（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y=2x2-8x+10≤x≤3的最小值是考點3：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)典例3：（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）下表中列出的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量xx…-2013…y…12-8-12-8…下列各選項中，正確的是（

）A．a(chǎn)bc<0B．這個函數(shù)的最小值是-12C．一元二次方程ax2D．當(dāng)x>1時，y的值隨x值的增大而增大【變式1】（2023·河南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知點A-4,y1，B-3,y2，C0,y3，D2,y4在二次函數(shù)y=ax2+4ax-6A．a(chǎn)>12 B．a(chǎn)<-2 C．a(chǎn)>12或【變式2】（2023秋·九年級單元測試）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，與x軸的交點坐標(biāo)為1,0和-5,0A．b2-4ac<0 B．x>0時，y的值隨C．對稱軸是直線x=-3 D．9a-3b+c<0【變式3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與A．當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)x>-1時，y隨x的增大面增大C．圖像在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 D．圖像在第四象限內(nèi)，y隨x的增大而增大考點4：二次函數(shù)對稱性的應(yīng)用典例4：（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖象經(jīng)過點A-1,-2，對稱軸為直線x=1，則9a+3b【變式1】（2023春·江蘇常州·九年級常州實驗初中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點的橫坐標(biāo)xx……-1234……y……52510……當(dāng)x=-2時，y=__________．【變式2】（2023春·江蘇常州·九年級校考期末）二次函數(shù)y=ax-12+h的圖象經(jīng)過點A0,4【變式3】（2023春·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點Px1,y1，Qx2,y2在拋物線y=x2-6x+3上，且t<考點5：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與各系數(shù)的關(guān)系典例5：（2022春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y=ax-m2+n的圖象如圖，則一次函數(shù)y=mx+n【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學(xué)校?？计谀┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論:①abc>0；②a+b+c<0；③4a+b=0；④若點1,y1和3,【變式2】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D所示的拋物線y=x2-bx+b2【變式3】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，其中自變量x……-1237……y……-1.54.8-1.5-12……下列判斷中，正確的是________（填序號）．①頂點是2,4.8；②a<0；③b2-4ac<0；④當(dāng)x=-5時，y=-12；⑤當(dāng)x>1.5時，y考點6：根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子的符號典例6：（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像如圖所示，有5個結(jié)論：①abc>0；②b<a+c；③9a+3b+c<0；④c<-3a；⑤【變式1】（2023秋·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于0,-1，對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②a>13；③對于任意實數(shù)m，都有mam+b>a+b成立；④若-2,y1【變式2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于A-1,0，B3,0，交y軸的負(fù)半軸于C，頂點為D．下列結(jié)論：①bc<0；②2a+b=0；③2a+c>0；④當(dāng)m≠1時，a+b<am2+bm【變式3】（2023·安徽滁州·?？级＃┤鐖D是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的一部分圖像過點A(-3,0)，對稱軸為x=-1①b2>4a；②2a-b=1；③a-b+c=0；考點7：求二次函數(shù)的最值典例7：（2022秋·九年級單元測試）若實數(shù)x、y滿足方程：x2+y+3x-3=0，則x+y的最大值=【變式1】（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）若x+y=2，則xy+1的最大值為______．【變式2】（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2-4x+1，當(dāng)-1<x<4時，y【變式3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=-x（1）當(dāng)m=2時，二次函數(shù)y=-x2+mx+2-m（2）當(dāng)-1≤x≤2時，二次函數(shù)y=-x2+mx+2-m的最大值為6，則m考點8：待定系數(shù)法求解析式——一般式典例8：（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1的圖像過A2，【變式1】（2022秋·九年級單元測試）如果拋物線y=x2-k經(jīng)過點1,-4，那么k【變式2】（2023·湖南永州·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的yx-113y3-33當(dāng)x=2時，函數(shù)值為______．【變式3】（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x2+x+m的圖像過點1,4，則m考點9：待定系數(shù)法求解析式——頂點式典例9：（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2，函數(shù)的最小值為3，且圖象經(jīng)過點-1,5，則此二次函數(shù)的解析式是_____．【變式1】（2022秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點坐標(biāo)是2，-3，且與y軸的交點坐標(biāo)為0，【變式2】（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線y=ax2+bx+c【變式3】（2023秋·九年級單元測試）拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C0,3同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)，對稱軸是直線x=-1，則a+b+c=A．6 B．8 C．9 D．02．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)y=-x2+2x-3，用配方法化為y=aA．y=-x-12-2C．y=-x-12+43．（2022秋·北京西城·九年級北京四中校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m，分別取x1=-1，x2=A．y3 B．y2 C．y4．（2023秋·浙江杭州·九年級期末）已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個交點，其中一個交點為-1,0A．-1,0 B．2,0 C．3,0 D．4,05．（2023秋·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OB則下列結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac﹣2b+4＝0；④OA?OB＝caA．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學(xué)?？计谀佄锞€y=x2-2x+2所在的平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行平移，得到y(tǒng)=A．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位B．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位C．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位D．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位7．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點（1，0），對稱軸是直線x＝－1，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．a(chǎn)bc＞0 B．b2－4ac＞0C．2a－b＝0 D．3a＋2c＜08．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知拋物線y=(m+1)x2+5有最高點，則mA．m<-1 B．m>-1 C．m≤-1 D．m≥-19．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）若拋物線y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(-32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y110．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）已知k是不為0的常數(shù)，則函數(shù)y=kx與y=kx2+A．B．C．D．11．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是A．a(chǎn)<0 B．b<0 C．c>0 D．b12．（2022·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)校考期中）設(shè)點(-2，y1)，A．y1>y2>y3 B．13．（2022秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a-b=0；A．2個 B．3個 C．4個 D．5個14．（2023秋·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)校考期中）關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+x-1，下列說法正確的是（

）A．圖像與y軸的交點坐標(biāo)為(0，1) B．圖像的對稱軸在y軸的右側(cè)C．當(dāng)x＜0時，y的值隨x值的增大而減小 D．y的最小值為-915．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（-13，y3）是拋物線上的三點，則y1<y2A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題16．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知點（3，a）在拋物線y=-2x2+2x上，則a=______．17．（2023秋·安徽淮北·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）請寫一個二次函數(shù)，滿足以下兩個條件：（1）函數(shù)圖象的開口向下：（2）函數(shù)圖象經(jīng)過點-2,1，該二次函數(shù)的表達(dá)式是________．18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）拋物線y=-3x2+6x+219．（2023秋·四川南充·九年級南部縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)x=m或者x=n(m≠n)時，代數(shù)式x2+3x-1的值相等，則x=m+n時，代數(shù)式x220．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若點A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）為二次函數(shù)y＝﹣x2＋4x＋5的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是____（用“＞”號連接）．21．（2023秋·全國·九年級階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三點，則其開口方向是____．（填“向上”或“向下”）22．（2023秋·天津·九年級天津市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)y=-2x2+4x-n的最大值為-1，則n23．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點-1，0，其對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若拋物線經(jīng)過點-3，n，則關(guān)于x的一元二次方程ax224．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論中：①b2-4ac≥0；②方程cx2+bx+a=0，一定有兩個不相等的實數(shù)根；③設(shè)t＝-b2a，當(dāng)a＜0時，一定有at2+bt＞ax2+bx；④若m、n（m＜25．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）已知拋物線y=ax2+bx-3過點m-b,m2-mb-3m≠b，與y軸和直線x=4分別相交于點A、B，點Mm,n為拋物線上A，B兩點之間（包含A，三、解答題26．（2023·江西南昌·九年級南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）解方程：(x+3)2=2x+6．

（2）將二次函數(shù)y=-2x2+8x-327．（2023秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過點(1，0)，(0（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線y=2x28．（2022春·九年級課時練習(xí)）已知拋物線y=14x2+bx+c的對稱軸為直線x=229．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）將函數(shù)y=12（2）畫出其圖象并回答問題：當(dāng)-3<x≤3時，y的范圍是30．