中考數(shù)學(xué)知識講解及鞏固練習(xí)：《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解

PAGE《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.2.理解平行四邊形的概念.了解四邊形的不穩(wěn)定性.掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.了解兩條平行線之間的距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.3.掌握三角形的中位線的性質(zhì).4.了解中心對稱的概念，了解平行四邊形是中心對稱圖形.了解中心對稱的性質(zhì)，會作與已知圖形關(guān)于已知點(diǎn)成中心對稱的圖形.會在直角坐標(biāo)系中求已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).5.體會反證法的含義.6.會綜合運(yùn)用本章知識解決有關(guān)作圖、計(jì)算和證明問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、多邊形內(nèi)角和定理、外角定理邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)和判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：（1）邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；（2）角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對角相等；（3）對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行線的性質(zhì)（1）夾在兩條平行線間的平行線段相等；（2）夾在兩條平行線間的垂線段相等.要點(diǎn)三、中心對稱圖形中心對稱圖形：如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得到的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫對稱中心．關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，反之也成立.要點(diǎn)四、三角形的中位線三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為原三角形周長的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點(diǎn)五、反證法在證明一個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)命題不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實(shí)、定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題．一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；

（2）從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；

（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.定理：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【典型例題】類型一、多邊形 1、若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則它的內(nèi)角和等于（）A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路點(diǎn)撥】由一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°，根據(jù)邊形的外角和為360°計(jì)算出多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)邊形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【答案】B；【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，∵多邊形的每個(gè)外角都等于60°，∴＝360°÷60°＝6，∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°．【總結(jié)升華】本題考查了邊形的內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和＝（－2）?180°；也考查了邊形的外角和為360°．舉一反三：【變式】（2015春?攀枝花期末）小王到瓷磚店購買一種正多邊形瓷磚鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以是（）A．正三角形 B．正四邊形 C．正六邊形 D．正八邊形【答案】D．解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案，∴小王到瓷磚店購買一種正多邊形瓷磚鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以是正八邊形．故選D．類型二、平行四邊形 2、如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）．以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果BD＝AB，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）A．B．C．D．【答案與解析】解：過點(diǎn)P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，∵APBE，∴四邊形APEB是平行四邊形，∴PE∥AB，PE＝AB，∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EF∥BD，EF＝BD，即EF∥AB，∴P，E，F(xiàn)共線，設(shè)BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4，則PF＝PE－EF＝3，∵PH∥BC，∴，∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形，∴BH＝PF＝3，∵＝BH：AB＝3：4＝3：4，∴＝3：4．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法．此題難度較大，注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意等高三角形面積的比等于其對應(yīng)底的比．舉一反三：【變式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側(cè)作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積．【答案】證明：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠BAC＝90°∵△ABD、△ACE和△BCF為正三角形，∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易證△BAC≌△BDF（SAS），∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可證△BAC≌△FEC∴AB＝AD＝EF＝3∴四邊形AEFD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∵DF∥AE，DF⊥BD延長EA交BD于H點(diǎn)，AH⊥BD，則H為BD中點(diǎn)∴平行四邊形AEFD的面積＝DF×DH＝4×＝6.3、（2015?張掖校級模擬）已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點(diǎn)，且AP=CQ．求證：四邊形PBQD是平行四邊形．【思路點(diǎn)撥】證明四邊形是平行四邊形有很多種方法，此題可由對角線互相平分來得到證明．【答案與解析】證明：連接BD交AC與O點(diǎn)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四邊形PBQD是平行四邊形．【總結(jié)升華】本題主要考查平行四邊形的判定問題，應(yīng)熟練掌握．類型三、中心對稱4、中央電視臺大風(fēng)車欄目圖標(biāo)如圖甲，其中心為O，半圓ACB固定，其半徑為2r，車輪為中心對稱圖形，輪片也是半圓形，小紅通過觀察發(fā)現(xiàn)車輪旋轉(zhuǎn)過程中留在半圓ACB內(nèi)的輪片面積是不變的（如圖乙），這個(gè)不變的面積值是．【思路點(diǎn)撥】四個(gè)陰影部分的圖形正好構(gòu)成一個(gè)中心對稱圖形，AB過對稱中心，根據(jù)其中心對稱圖形的性質(zhì)，則這個(gè)不變的面積是兩個(gè)半圓輪片的面積．【答案】；【解析】解：這個(gè)不變的面積是：．【總結(jié)升華】能夠根據(jù)中心對稱圖形的旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)留在半圓中的輪片面積始終是兩個(gè)半圓輪片的面積．舉一反三：【變式】（2015秋?壽寧縣期中）將五個(gè)邊長都為3cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A、B、C、D分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和是cm2．【答案】9；解：由中心對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得，一個(gè)陰影部分的面積等于正方形的面積的，所以，四塊陰影面積的總和正好等于一個(gè)正方形的面積，∵五個(gè)正方形的邊長都為3cm，∴四塊陰影面積的總和為9（cm2），故答案為：9．類型四、三角形的中位線5、（2016春?廣州校級期中）如圖，四邊形ABCD中，已知AB=CD，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，延長BA、CD，分別交射線FE于P、Q兩點(diǎn)．求證：∠BPF=∠CQF．【思路點(diǎn)撥】如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接FM、EM．利用三角形中位線定理證得△EMF是等腰三角形，則∠MEF=∠MFE．利用三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根據(jù)等量代換證得∠P=∠CQF．【答案與解析】證明：如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接EM、FM．∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，∴∠MEF=∠P同理可證：FM∥CD，F(xiàn)M=CD．∴∠MGH=∠DFH．又∵AB=CD，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∴∠P=∠CQF．．【總結(jié)升華】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是題目中出現(xiàn)中點(diǎn)的條件想到添加三角形的中位線作為輔助線，屬于中考?？碱}型．類型五、反證法6、用反證法證明“三角形三個(gè)內(nèi)角中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)反證法證明方法，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結(jié)論成立．【答案與解析】已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°．證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形的三內(nèi)角和為180°相矛盾．∴假設(shè)不成立，∴三角形三內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60度．【總