固體物理第三章

班級(jí)成績(jī)學(xué)號(hào)Chapter3晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)姓名(latticevibrationanditsheatcharacteristics)一、簡(jiǎn)要答復(fù)以下問(wèn)題(answerthefollowingquestions):1、在晶格常數(shù)為a的一維單原子晶格中，波長(zhǎng)λ=8a和波長(zhǎng)λ=8a/5的格波所對(duì)應(yīng)的原子振動(dòng)狀態(tài)有無(wú)不同?試畫圖加以說(shuō)明。［答］對(duì)于一維單原子鏈，由q=2π／λ知，λ＝8a時(shí)，q＝π／4a，λ＝8a／5時(shí)，q＝5π／4a，二者的aq相差π，不是2π的整數(shù)倍，因此，兩個(gè)格波所對(duì)應(yīng)的原子振動(dòng)狀態(tài)不同。如上圖，當(dāng)兩個(gè)格波的位相差為2π的整數(shù)倍時(shí)，那么它們所對(duì)應(yīng)的原子的振動(dòng)狀態(tài)相同。2、什么叫簡(jiǎn)正振動(dòng)模式？簡(jiǎn)正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是否是一回事？［答］在簡(jiǎn)諧振動(dòng)下，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動(dòng)，可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng)，每一個(gè)諧振子的振動(dòng)模式稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)模式。格波振動(dòng)通常是這3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線性疊加。簡(jiǎn)正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是是一回事，其數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度之和，即等于3N。3、晶體中聲子數(shù)目是否守恒？在極低溫下，晶體中的聲子數(shù)與溫度T之間有什么樣的關(guān)系？［答］頻率為ωi的格波的平均聲子數(shù)為：即每一個(gè)格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān)，因此晶體中的聲子數(shù)目不守恒，它隨溫度的改變而改變。以德拜模型為例。晶體中的聲子數(shù)目為其中令那么在極低溫度下，θD／T→∞，于是即在溫度極低時(shí)，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比。4、愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么？而在極低溫度下，德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符？［答］愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1013Hz，屬于光學(xué)支頻率。而光學(xué)格波在低溫時(shí)對(duì)熱容的奉獻(xiàn)非常小，低溫下對(duì)熱容奉獻(xiàn)大的主要是長(zhǎng)聲學(xué)波。所以愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是沒(méi)有考慮聲學(xué)波對(duì)熱容的奉獻(xiàn)。在極低溫度下，不僅光學(xué)波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波因?yàn)槲茨鼙患ぐl(fā)，得到的激發(fā)只是聲子能量較小的長(zhǎng)聲學(xué)格波。長(zhǎng)聲學(xué)格波即彈性波。德拜模型只考慮彈性波對(duì)熱容的奉獻(xiàn)。因此，溫度越低，德拜模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得越好。5、格波與彈性波有何不同？［答］格波與彈性波相比都具有波的形式,但兩者又有不同之處:(1)對(duì)于一維單原子鏈格波解為:彈性波的解為:在彈性波的解中,x表示空間任意一點(diǎn),而在格波解中只能取na格點(diǎn)的位置.(2)彈性波的色散關(guān)系是線性的，ω＝cq,c是彈性波的波速;而格波的色散關(guān)系:所表示的是周期函數(shù):,且ω有極大值。但當(dāng)q很小時(shí)，一維單原子鏈的色散關(guān)系與連續(xù)彈性介質(zhì)波的色散關(guān)系趨于一致:而且c就是把原子鏈看成彈性鏈時(shí),彈性波的波速.6、長(zhǎng)聲學(xué)波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化？［答］長(zhǎng)光學(xué)波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化，其根源是長(zhǎng)光學(xué)波使得原胞內(nèi)不同的原子〔正負(fù)離子〕產(chǎn)生了相對(duì)位移。長(zhǎng)聲學(xué)波的特點(diǎn)是，原胞內(nèi)所有的原子沒(méi)有相對(duì)位移。因此，長(zhǎng)聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化。7、在絕對(duì)零度時(shí)還有格波存在嗎？假設(shè)存在，格波間還有能量交換嗎？［答］頻率為ωi的格波的振動(dòng)能為，其中是由ni個(gè)聲子攜帶的熱振動(dòng)能，是零點(diǎn)振動(dòng)能，聲子數(shù)，在絕對(duì)零度時(shí)，聲子數(shù)為零，頻率為ωi的格波的振動(dòng)能只剩下零點(diǎn)振動(dòng)能。格波間交換能量使靠聲子實(shí)現(xiàn)的，在絕對(duì)零度時(shí)，聲子數(shù)為零，格波間不再交換能量。8、聲子數(shù)代表的物理意義是什么？為什么說(shuō)聲子是玻色子？［答］聲子是指格波的量子，它的能量等于。一個(gè)格波，也就是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子。所以，聲子數(shù)代表晶格振動(dòng)的格波數(shù)。在一定溫度下，平均聲子數(shù)遵從愛因斯坦——玻色分布，二、填空題(fillintheblanks)〔并用英語(yǔ)表示〕：1、在一定溫度下，晶格原子獲得能量做熱運(yùn)動(dòng)，于是各晶格原子將偏離其平衡位置；另一方面，由于原子間存在相互作用，使各原子又受到使其回到平衡位置的恢復(fù)力作用，結(jié)果，晶格各原子都在其平衡位置附近做微振動(dòng)，這就是晶格振動(dòng)。2、晶格振動(dòng)的角頻率ω隨波數(shù)q變化，即允許的振動(dòng)頻率與波長(zhǎng)有關(guān)，晶格振動(dòng)的這種變化關(guān)系〔ω～q關(guān)系〕，稱為晶格振動(dòng)的色散關(guān)系或晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜。3、晶格振動(dòng)具有能量，其對(duì)固體比熱的奉獻(xiàn)，稱為晶格比熱。按照量子理論,晶格比熱為.4、由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，q可以取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對(duì)應(yīng)2個(gè)解，因此總共有2N個(gè)不同的格波。5、在三維晶格中，對(duì)一定的波矢q，有3支聲學(xué)波，3(n－1)〔n為一個(gè)原胞中的原子數(shù)〕支光學(xué)波。三、解釋以下物理概念(explainthefollowingphysicsconcepts)：1、格波［答］晶格振動(dòng)是晶體中諸原子〔離子〕集體地在作振動(dòng)，由于晶體內(nèi)原子間有相互作用，存在相互聯(lián)系，各個(gè)原子的振動(dòng)間都存在著固定的位相關(guān)系，從而形成各種模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振動(dòng)時(shí)，將以前進(jìn)波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。簡(jiǎn)單地說(shuō)，由于晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)模具有波的形式，稱為格波(latticewave)。2、長(zhǎng)聲學(xué)波和長(zhǎng)光學(xué)波［答］波長(zhǎng)很長(zhǎng)〔比原胞的線度大得多〕，即波矢q很小的聲學(xué)波，稱為長(zhǎng)聲學(xué)波。長(zhǎng)聲學(xué)波可以近似地被認(rèn)為是彈性波。波長(zhǎng)很長(zhǎng)〔比原胞的線度大得多〕，即波矢q很小的光學(xué)波，稱為長(zhǎng)光學(xué)波。對(duì)于光學(xué)波，原胞中不同原子的振動(dòng)方向相反，容易產(chǎn)生極化，所以長(zhǎng)光學(xué)波又稱為極化波。3、三聲子過(guò)程非諧作用是指勢(shì)能展開式中三次以上的高階項(xiàng)。勢(shì)能三次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)三聲子過(guò)程，指兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子或一個(gè)聲子劈裂成兩個(gè)聲子的過(guò)程，而且聲子之間的相互作用遵從能量守恒和動(dòng)量守恒定律。4、非簡(jiǎn)諧效應(yīng)當(dāng)考慮到原子的相互作用勢(shì)中的δ3以上的高次項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)的種種效應(yīng)叫非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。這時(shí)格波之間可以有相互作用，聲子之間也可以交換能量。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的存在是晶格振動(dòng)到達(dá)熱平衡的最主要的原因，只有考慮到非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的存在也才能解釋晶體的熱膨脹和熱傳導(dǎo)等現(xiàn)象。5★、局域振動(dòng)當(dāng)晶體中存在有雜質(zhì)或缺陷時(shí)，就可能產(chǎn)生局域振動(dòng)，這種局域振動(dòng)只是局限在雜質(zhì)〔或缺陷〕的附近，其振幅隨著與雜質(zhì)〔或缺陷〕的距離增大而指數(shù)的衰減。所以，局域振動(dòng)是局限在雜質(zhì)〔或缺陷〕附近的晶格振動(dòng)稱為局域振動(dòng)〔localizedvibration〕。四、一維單原子鏈，其中第j個(gè)格波，在第n個(gè)格點(diǎn)引起的位移μnj為δj為任意相位因子。并在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為kT，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。［解］任一原子的位移是所有格波所引起的位移的疊加，即〔1〕原子位移的長(zhǎng)時(shí)間平均值由于μnj·μnj’的數(shù)目非常大，為N2〔N為原子數(shù)〕數(shù)量級(jí)，而且取正或取負(fù)的幾率相等，因此上式中的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以略去不計(jì)，所以由于μnj是時(shí)間t的周期性函數(shù)，其長(zhǎng)時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值，因此在較高溫度下每個(gè)格波的能量為kT，μnj的動(dòng)能的時(shí)間平均值為：其中，L是原子鏈的長(zhǎng)度，ρ是質(zhì)量密度，T0為周期?！唷?〕因此將上式代入〔2〕式有所以每個(gè)原子的平方平均位移為而ρ=m/a,L=Na五、求出一維原子鏈的頻率分布函數(shù)。[解]1、一維單原子鏈的情況對(duì)于一維情況，q空間的密度為L(zhǎng)／2π,L=Na為單原子鏈的長(zhǎng)度,其中a為原子間距,N為原子數(shù)目.那么在dq間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為(L／2π)dq.dω頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為等式右邊的2來(lái)源于ω(1)只考慮最近鄰相互作用時(shí),一維單原子鏈的色散關(guān)系為其中ωm為最大頻率.代入(1)式可以得到2、一維雙原子鏈情況所以代入(1)式有六、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q＝0附近的長(zhǎng)波極限有ω(q)=ω0-Aq2求證：頻率分布函數(shù)為ω<ω0及f(ω)=0ω>ω0[證明]由以及有當(dāng)ω<ω0時(shí),所以當(dāng)ω>ω0時(shí),根號(hào)下為負(fù)值,q不存在,所以有f(ω)=0七、寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為[證明]量子諧振子系統(tǒng)的自由能為經(jīng)典極限意味著〔溫度較高〕應(yīng)用所以因此其中八、設(shè)晶體中每個(gè)振子的能量為，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。[解]根據(jù)量子力學(xué),零點(diǎn)正動(dòng)能是諧振子所固有的,與溫度無(wú)關(guān),故T=0K時(shí)的振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和而對(duì)于德拜模型所以有但所以九、試由格臨愛森方程 導(dǎo)出固體的體積熱脹系數(shù)。[解]熱膨脹是指在不施加力的情況下,體積的變化與溫度的關(guān)系.因此,令格林愛森方程中的P=0,有(1)對(duì)于大多數(shù)固體來(lái)說(shuō),體積的變化不大,因此可以將(dU/dV)在靜止的晶格的平衡體積V0點(diǎn)展開只取到ΔV的線性項(xiàng),那么有將上式寫成并將兩邊對(duì)T求微商,那么有式中K0為T=0時(shí)的體彈性模量,Cv為固體的熱容.十、對(duì)一維簡(jiǎn)單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論上下溫極限。[解]按照