對(duì)一道課本經(jīng)典習(xí)題的再思考

精品文檔-下載后可編輯對(duì)一道課本經(jīng)典習(xí)題的再思考原題:(人教版八年級(jí)下冊(cè)第122頁(yè)中第15題)如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F,求證:AE=EF。

一、證明方法的多種性

證法1:(圖2)取AB中點(diǎn)M,易證BEM為等腰直角三角形,可得∠BME=45°,所以∠AME=∠ECF。又可推得∠MAE=∠CEF,AM=CE,從而AME≌ECF,故AE=EF。

證法2:(圖3)作FNBC于N,易證ABE∽EFN,則=。因?yàn)锳B=BC,CN=FN,所以=,由合比性質(zhì)得=,所以BE=CN=FN,則==1,即AE=EF。

證法3:(圖3)因?yàn)?,設(shè)AB=2a,FN=CN=x,則==,所以2x=a+x,即x=a=FN,所以==1,故AE=EF。

二、動(dòng)點(diǎn)位置的多樣性

變動(dòng)1:若將條件“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC邊上任意一點(diǎn)”,其他條件不變(如圖4),原結(jié)論是否成立?

解析:原結(jié)論仍成立,可以用上述證明方法2,也可仿照方法1,在AB邊上取M,使BM=BE,易證BEM為等腰直角三角形,可得∠BME=45°,所以∠AME=∠ECF。又可推得∠MAE=∠CEF,AM=CE,從而AME≌ECF,故AE=EF。

變動(dòng)2:若將條件“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”,其他條件不變(如圖5),原結(jié)論是否成立?

解析:嘗試用方法1,發(fā)現(xiàn)找M點(diǎn)的關(guān)鍵是構(gòu)造等腰MBE,故在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使AM=CE(圖6),易證得∠AME=∠ECF,∠DAE=∠AEB,所以∠MAD+∠DAE=∠AEB+AEF,即∠MAE=∠CEF。又因?yàn)锳M=CE,所以仍然有AME≌ECF,從而AE=EF。

變動(dòng)3:如果E點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖7),也可通過(guò)類似證明方法得出AE=EF。

三、結(jié)論的開(kāi)放性

1.在原條件下,添加線段AG(如圖8),可以得到下面一些新結(jié)論:

(1)AE、GE分別平分∠BAG、∠AGC

(2)G為EF中點(diǎn)

(3)AB+CG=AG

(4)以AG為直徑的圓與BC相切

2.在原條件下,連接AE、AF、DF(如圖9),可以得到下面一些新結(jié)論:

(1)DFC是等腰直角三角形

(2)ABE∽ACF

(3)A、E、C、F四點(diǎn)共圓

四、和其他問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系

問(wèn)題1:如圖10,在直角坐標(biāo)系中,A(0,1),B是x軸正半軸上任意一點(diǎn),以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形,設(shè)C(x,y),探究x、y之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系?

分析:觀察上述圖4,由于AE=EF,AEEF,所以F是以AE為邊長(zhǎng)的正方形的一頂點(diǎn),且F在∠BCD外角平分線上,依次類推,可以得到圖11中點(diǎn)C、C均在∠DCH的角平分線上,容易得到x、y滿足函數(shù)關(guān)系y=x-1(其中x>1)。

問(wèn)題2:如圖12,等邊ABC中,E是BC邊上任意一點(diǎn),作射線EF,使∠AEF=60°,EF交∠ACD角平分線于F,求證:AE=EF。

分析:此問(wèn)題圖形結(jié)構(gòu)類同圖4的特點(diǎn),證明方法也如出一轍,在BA上截取BM=BE,再證