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文檔簡介
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定目標(biāo)定位
1.理解直線與平面垂直的定義.2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.理解直線與平面所成的角的概念,并能解決簡單的線面角問題.1.直線與平面垂直的有關(guān)概念自
主
預(yù)
習(xí)(1)定義:如果直線l與平面α內(nèi)的_____一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作______.(2)相關(guān)概念:若直線l與平面α垂直,其中直線l叫做平面α的_______,平面α叫做直線l的______.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做______.任意l⊥α垂線垂足垂面(3)圖形語言:(畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與平面的平行四邊形的一邊垂直)如圖所示.(4)符號(hào)語言:任意a?α,都有l(wèi)⊥a?l⊥α.其中“任意直線”等同于“所有直線”.2.直線和平面垂直的判定定理(1)文字語言:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條______直線都垂直,則該直線與此平面垂直.(2)圖形語言:如圖所示.相交(3)符號(hào)語言:a?α,b?α,a∩b=A,l⊥a,l⊥b?l⊥α.3.直線和平面所成的角平面的一條______和它在平面上的射影所成的______,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是_____.綜上,直線與平面所成的角的范圍___________.斜線銳角0°[0°,90°]即
時(shí)
自
測(cè)1.判斷題(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.()(2)若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α.()(3)若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線.(
)(4)過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.(
)×√×√提示(1)當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直時(shí),l與α不一定垂直.(3)當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直.2.長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列不是平面ABCD的垂線的是(
)A.AA1 B.BB1
C.CC1 D.AD1解析由長方體的性質(zhì)可知AD1不垂直于平面ABCD.答案D4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于____.解析BB1⊥平面ABCD,∴∠BAB1即為直線AB1與平面ABCD所成的角,且∠BAB1=45°.答案45°類型一直線和平面垂直的定義【例1】
下列命題中,正確的序號(hào)是________.①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線;③若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直;④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直,則直線l與平面α不垂直.解析當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí),不能保證l與平面α垂直,所以①不正確;當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直,所以②不正確,③正確;根據(jù)線面垂直的定義,若l⊥α則l與α的所有直線都垂直,所以④正確.答案③④規(guī)律方法
1.直線和平面垂直的定義是描述性定義,對(duì)直線的任意性要注意理解.實(shí)際上,“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí),該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知,如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直,那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.2.由定義可得線面垂直?線線垂直,即若a⊥α,b?α,則a⊥b.類型二線面垂直的判定【例2】
如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D為BB1的中點(diǎn).求證:AD⊥平面A1DC1.∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD?平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知計(jì)算得AD=,A1D=,AA1=2.∴AD2+A1D2=AA,∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.證明∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴AA1⊥平面A1B1C1,顯然A1C1?平面A1B1C1,∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1=A1,規(guī)律方法證線面垂直的方法有三類(1)線線垂直證明線面垂直:①定義法(不常用,但由線面垂直可得出線線垂直);②判定定理最常用:要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作輔助線);結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論):①a∥b,a⊥α?b⊥α;②α∥β,a⊥α?a⊥β.【訓(xùn)練2】
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,求證:EF⊥平面BB1O.證明∵ABCD為正方形,∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1,又∵BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O,又EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.類型三直線與平面所成的角(互動(dòng)探究)【例3】
如圖所示,三棱錐A-SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC.求直線AS與平面SBC所成的角.[思路探究]探究點(diǎn)一直線與平面所成角的范圍是什么?提示直線和平面垂直時(shí),直線與平面所成的角是直角,為90°;直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí),直線與平面所成角為0°;直線是平面的斜線時(shí),直線與平面所成的角是銳角,范圍(0°,90°).所以直線與平面所成角的范圍是[0°,90°].探究點(diǎn)二求斜線與平面所成角的步驟是什么?提示求斜線與平面所成角的步驟:一作,找出射影,作出角;二證,證明作出的角即為所求;三算,在三角形中求角;四答,作答.解因?yàn)椤螦SB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB與△SAC都是等邊三角形.因此AB=AC.如圖所示,取BC的中點(diǎn)D,規(guī)律方法1.求直線和平面所成角的步驟:(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角即為所求的角;(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中,通過解三角形,求出該角.2.在上述步驟中,作角是關(guān)鍵,而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵,幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.[課堂小結(jié)]1.直線和平面垂直的判定方法:(1)利用線面垂直的定義;(2)利用線面垂直的判定定理;(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論:①若a∥b,a⊥α,則b⊥α;
②若α∥β,a⊥α,則a⊥β.2.線線垂直的判定方法:(1)異面直線所成的角是90°;(2)線面垂直,則線線垂直.3.求線面角的常用方法:(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計(jì)算);(2)轉(zhuǎn)移法(找過點(diǎn)與面平行的線或面);(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn),屬間接求法).1.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直,則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是(
)A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定解析由題意可知,該直線垂直于三角形所確定的平面,故這條直線和三角形的第三邊也垂直.答案B2.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況,能保證該直線與平面垂直的是(
)
①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.A.①③ B.② C.②④ D.①②④解析由線面垂直的判定定理知,直線垂直于①③圖形所在的平面,對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線,所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.答案
A答案30°3.矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD所成的角是________.4.如圖所示,在正方體ABCD-
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