2022屆一輪復(fù)習(xí)人教A版第47講平面向量的應(yīng)用學(xué)案

【知識要點】一、向量在幾何中的應(yīng)用1、三角形法則、平行四邊形法則2、向量的數(shù)乘（1）定義：求實數(shù)與向量的乘積的運算叫向量的數(shù)乘，記作.（2）向量的數(shù)乘結(jié)果還是一個向量.當(dāng)時，與的方向相同，且；當(dāng)時，與的方向相反，且.3、向量共線定理如果向量為非零的向量，那么向量與向量共線有且只有一個實數(shù)，使得.4、向量的平行和垂直(1)設(shè)=,=，則(豎乘相加).（2）設(shè)=,=，則（(豎乘相加等于零).設(shè)=,=，則||（斜乘相減等于零）（3）設(shè)=,=，為向量與的夾角，則5、距離（1）或;（2）設(shè),，=.6、利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素，再通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.二、向量在物理中的應(yīng)用：1、向量的加法與減法在力的分解及合成中的應(yīng)用;2、向量在速度的分解及合成中的應(yīng)用;3、向量的數(shù)量積在力所做的功中的應(yīng)用;4、利用向量解決物理問題的步驟:

（1）問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;

（2）模型建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;

（3）參數(shù)獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值;

（4）問題答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.【方法講評】題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用使用情景平面幾何涉及距離（線段長度）、夾角問題.解題步驟先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素，再通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.【例1】如圖，平行四邊形中，點分別是邊的中點，分別與交于兩點，你能發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系嗎？AABCDEFRT【點評】（1）利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素，再通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.（2）首先要構(gòu)造，，它是平面向量的基底.學(xué)科*網(wǎng)【反饋訓(xùn)練1】利用向量證明：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.題型二平面向量在物理中的應(yīng)用使用情景力的分解及合成、速度的分解和合成、在力所做的功中的應(yīng)用解題步驟（1）問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;（2）模型建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;（3）參數(shù)獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值;（4）問題答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.【例2】長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.如圖，一艘船從長江南岸點出發(fā)，以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東.（1）用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩位有效數(shù)字）（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用于江水速度間的夾角表示，精確到度）AABCD【點評】（1）先找到江水速度、船速以及船實際航行的速度之間的關(guān)系，并利用向量來表示它們的關(guān)系.（2）向量是有大小，又有方向的量，它的大小的計算主要是通過解三角形來完成的.【反饋訓(xùn)練2】一條河的兩岸平行，河的寬度為，一艘船從某岸的處出發(fā)到河對岸，已知船的速度||=，水流的速度||=，當(dāng)行駛航程最短時，所用的時間是多少？高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第47講：平面向量的應(yīng)用參考答案【反饋訓(xùn)練1答案】證明見后面的解析.【反饋訓(xùn)練2答案】（分鐘）【反饋訓(xùn)練2詳細解