第五章定積分

第五章定積分1．如何理解定積分的定義？對(duì)于定積分的定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）定義中強(qiáng)調(diào)的是對(duì)區(qū)間分割的任意性和點(diǎn)在上的取法的任意性，這也就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)在有限區(qū)間上有界的函數(shù)，對(duì)于的任意分割以及點(diǎn)在上的任意的取法，相應(yīng)的和式的極限都存在，且都是同一個(gè)確定的常數(shù)，才能說(shuō)明函數(shù)的定積分是存在的；也可以反過(guò)來(lái)理解，若能找出區(qū)間的兩種不同的分割以及點(diǎn)的兩種取法（可以相同，也可以不相同）或的同一分割以及的兩種不同的取法，得到的兩個(gè)不同的和式的極限存在，但是不相等，或者找到的某一分割以及點(diǎn)的某一種取法，相應(yīng)的和式的極限不存在，由此就可以推出函數(shù)的定積分是不存在的。在定積分存在的條件下，定積分的值與區(qū)間的分割及點(diǎn)取法無(wú)關(guān)。（2）在定義中，分割的區(qū)間的個(gè)數(shù)與不是等價(jià)的，由可以推出，但由卻推不出，正因如此，不能把改寫(xiě)為。（3）積分區(qū)間為有限區(qū)間與函數(shù)有界都是定積分存在的必要條件。首先，若把積分區(qū)間換為無(wú)限區(qū)間，根據(jù)定積分的定義，當(dāng)把積分區(qū)間分割為個(gè)小區(qū)間后，必有一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為無(wú)窮大，從而使極限條件不可能成立，故定積分不存在；其次，即使積分區(qū)間是有限區(qū)間且被積函數(shù)為有界函數(shù)，定積分也未必存在，例如，考慮函數(shù)顯然在有限閉區(qū)間上，，即被積函數(shù)是有界的?？紤]的任意分割：，在每個(gè)小區(qū)間上取有理點(diǎn)時(shí)，有，于是，取，則有；在每個(gè)小區(qū)間上取無(wú)理點(diǎn)時(shí)，有，于是，取，則有。這樣對(duì)于的同一分割，相應(yīng)于在各個(gè)不同區(qū)間內(nèi)的兩種不同取法，得到的兩個(gè)和式的極限存在，但不相等，由此推出定積分不存在。2．函數(shù)可積的充分條件有哪些？（1）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。（3）若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)，則在上可積。3．定積分與不定積分有什么區(qū)別？有什么聯(lián)系？函數(shù)的定積分，它是積分和式的極限，結(jié)果為一個(gè)確定的常數(shù)；而函數(shù)的不定積分則是的原函數(shù)的全體，它是一個(gè)集合，因此，這是兩個(gè)截然不同的概念。由后面即將學(xué)到的牛頓—萊布尼茨公式可知，不定積分是定積分計(jì)算的基礎(chǔ)。4．若函數(shù)在區(qū)間上有原函數(shù)，這函數(shù)在該區(qū)間上是否一定可積？反之，若函數(shù)在區(qū)間上可積，其是否存在原函數(shù)？不一定。例如，在上可導(dǎo)，且這說(shuō)明在上存在原函數(shù)，但函數(shù)在上不可積，因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)界。反之，若函數(shù)在區(qū)間上可積，其原函數(shù)也不一定存在。例如，函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)外，在其余各點(diǎn)都是連續(xù)的，故存在。但是由于在上不存在原函數(shù)，因?yàn)槭撬牡谝活?lèi)間斷點(diǎn)。5．如何利用定積分的幾何意義求某些特殊的定積分？根據(jù)定積分的幾何意義，表示的是介于軸、曲線(xiàn)及直線(xiàn)之間的各部分圖形的面積的代數(shù)和，即在軸上方圖形的面積與在軸下方圖形的面積之差，只要把圖形畫(huà)出來(lái)，借助于幾何方法即可把一些特殊的定積分計(jì)算出來(lái)。例如，表示的是由，軸和上半圓周?chē)傻膱D形的面積，即圓的面積的一半，也就是。表示的是由，軸和圓的下半圓圍成的圖形的面積，即。6．積分中值定理與微分中值定理之間有怎樣的聯(lián)系？在教材中，積分中值定理結(jié)論中的，事實(shí)上完全可以改為，在有些情況下，利用開(kāi)區(qū)間可能會(huì)更方便。積分中值定理與微分中值定理有著密切的聯(lián)系：若是的一個(gè)原函數(shù)，在上連續(xù)，則存在，使得。7．在積分中值定理中，在上連續(xù)的條件是否可改為在上可積？不可以。例如，在處不連續(xù)（是第一類(lèi)間斷點(diǎn)），則等式不成立，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以。8．這三個(gè)表達(dá)式是否表示同一個(gè)函數(shù)？不是。對(duì)表達(dá)式，由于定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)，故有；對(duì)表達(dá)式，由于被積表達(dá)式中的變量與積分變量無(wú)關(guān)，可以提到積分號(hào)的外面，故有；因此。而表達(dá)式，如果將積分變量記作，則，故它與其他兩個(gè)積分是不同的。9．對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？（1）首先要弄清楚是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，把積分上限的函數(shù)的自變量與積分變量區(qū)分開(kāi)來(lái)。積分上限的函數(shù)的自變量是上限變量，因此對(duì)積分上限的函數(shù)求導(dǎo)，就是對(duì)上限變量求導(dǎo)，與積分變量沒(méi)有關(guān)系。但是有時(shí)會(huì)遇到上限變量也含在被積函數(shù)表達(dá)式內(nèi)的情況，這是應(yīng)把上限變量從被積表達(dá)式內(nèi)分離出來(lái)，并提到積分號(hào)外，然后再進(jìn)行求導(dǎo)。例如，要求的導(dǎo)數(shù)，可先對(duì)進(jìn)行變形，把上限變量從被積表達(dá)式內(nèi)分離出來(lái)，即，故有。（2）對(duì)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，還應(yīng)熟練掌握以下公式：；；，其中的都是可導(dǎo)函數(shù)。10．牛頓—萊布尼茨公式的條件可以放寬嗎？牛頓—萊布尼茨公式的條件可以適當(dāng)放寬：設(shè)是在的一個(gè)原函數(shù)，在上可積，則，即在上連續(xù)可以改為“可積”。11．定積分的換元法與不定積分的換元法有何共同點(diǎn)與差別？共同點(diǎn)是：它們都是建立在找被積函數(shù)的原函數(shù)基礎(chǔ)之上的積分方法，但它們又有各自的特點(diǎn)：（1）不定積分的換元法的主要目的是通過(guò)換元求出被積函數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式。有第一換元法和第二換元法兩種。第一換元法也稱(chēng)“湊微分法”，它的特點(diǎn)是逐步將被積函數(shù)的原函數(shù)湊出來(lái)，而不必明顯地將原積分換成新變量積分后，再求原函數(shù)；第二換元法的特點(diǎn)是必須把原積分換成新變量的積分，然后求出新變量的原函數(shù)，再在結(jié)果中將新變量換回到原來(lái)的變量，即令，則有，其中，是的反函數(shù)，故第二換元法必須要求換元函數(shù)的反函數(shù)存在，這是與第一換元法的差別。（2）定積分的換元法的目的在于求出積分值，這是它與不定積分的換元法不同之處。它在換元的同時(shí)，要相應(yīng)地變換積分的上、下限，將原積分變換成一個(gè)積分值相等的新積分，因此積分經(jīng)過(guò)變換后，不必再去關(guān)心原被積函數(shù)的原函數(shù)是什么，也沒(méi)有必要再去關(guān)心變換函數(shù)是否存在反函數(shù)等問(wèn)題。這是定積分換元法與不定積分換元法的最大區(qū)別。此外，還有其他一些差別。比如，通過(guò)換元法知，如果是在上的連續(xù)奇函數(shù)，那么，無(wú)需尋找的原函數(shù)，就能斷定其積分值為零。對(duì)定積分還可以構(gòu)造一些更巧妙的換元技巧，例如，對(duì)定積分，可令，則有，所以。故。因此，定積分的換元法能夠使我們得到一些特殊的運(yùn)算技巧。12．如何理解定積分換元法的條件？對(duì)于定積分換元法中的條件必須把握兩點(diǎn)：（1）必須具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）的值與必須充滿(mǎn)原積分變量的積分區(qū)間。例如，對(duì)于定積分，若用變換，則有。由于被積函數(shù)在上恒大于零，故其定積分必為正，因此結(jié)果肯定是錯(cuò)誤的。原因在于所用的變換不符合定積分換元公式成立的條件，由于在有間斷點(diǎn)，易知其反函數(shù)在區(qū)間上也必有間斷點(diǎn)，不滿(mǎn)足定積分換元法的條件。正確做法如下：其中。值得注意的是，在求不定積分時(shí)，用換元卻是允許的，即有，這又是不定積分與定積分的一個(gè)重要區(qū)別。再如，對(duì)于定積分，若作變換，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，因?yàn)榈闹涤虿豢赡艹錆M(mǎn)區(qū)間，正確做法是：令則有。13．在計(jì)算反常積分時(shí)，有人認(rèn)為被積函數(shù)是奇函數(shù)，而積分區(qū)間又是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，故該反常積分為零，這種