2021年人教A版(2019)選擇性必修第二冊數(shù)學(xué)第五章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試卷(一)

2021年人教A版(2019)選擇性必修第二冊數(shù)學(xué)第五章一元函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試卷(1)

一、選擇題

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(sinx)/=—cosxB.(—=ex=—^D.(2%)'=2"

2.過點(diǎn)(一2,1),且與曲線/("=1位+%在點(diǎn)(1,7(1))處的切線平行的直線方程為

()

A.2x+y+3=0B.2x—y+5=0C.2x—y-1=0D.2x+y-2=0

3.函數(shù)f(x)=:。產(chǎn)一(q+2)%+2lnx單調(diào)遞增的充分必要條件是()

A.a>2B.a=2C.a>1D.a>2

4.若f(%)=x2-2%-4lnx,則尸(%)>0的解集為()

A.(0,+8)B.(—1,0)U(2,+8)C.(2,+8)0.(—1,0)

5.函數(shù)y=W在?2］上的最大值是()

111

A—B—C-D.e

3e2ee

6.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移s與時(shí)間t的關(guān)系是S=gt3一

|嚴(yán)一43那么速度為零的時(shí)刻是()

A.0秒B.1秒末C.4秒末D.1秒末和4秒末

7.若函數(shù)/(%)=m--%2+2x(m<0)在(0,1)上有極值點(diǎn)，則m的取值范圍為

()

A.(-2,0)B.(-2,-})C.(-表0)D(T'W)

2

8.已知函數(shù)/(x)=\i在R上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1(5—2a)x--a,x<l

()

A?(啕B.蛻)C.(2,,D.(2,9

9.已知函數(shù)/Q)=x+xlnx,若kEZ,且-1)V/(%)對任意的1>1恒成立，貝味

的最大值為()

A.5B.4C,3D.2

10.

已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=e~x(x-1).給出以下命題:

①當(dāng)％V0時(shí)，/(%)=ex(x+1)；

②函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

③若關(guān)于％的方程/(%)=小有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是一1<mV1；

④對V%],x2ER,|/(%2)一/(%1)1V2恒成立.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.函數(shù)/(%)=/+xsinx的圖象大致為()

12.若曲線y=x3-2x2+2在點(diǎn)4處的切線方程為y=4%-6,且點(diǎn)4在直線m%4-

ny-1=0(其中m>0,n>0)上，則*+：的最小值為()

A.4V2B.3+2&C.8V2D.64-4^2

二、填空題

13.設(shè)函數(shù)f(x)=與一b/+/%一：在％=1處取得極值0,則Q+b=.

試卷第2頁，總20頁

14.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)/(%)(久ER)的導(dǎo)函數(shù)，/(-I)=0,當(dāng)x>0時(shí);xf(x)-/(x)<0,

則使得f(x)>0成立的工的取值范圍是.

15.定義在R上的函數(shù)f(%)滿足尸(x)>1-/(%),/(0)=6,尸㈤是/(%)的導(dǎo)函數(shù),則

不等式靖/(%)>靖+5(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為.

IlnxLO<x<e,

16.已知函數(shù)/(%)=&若0<QVbVc且滿足/(Q)=f(b)=/(c),則

a/(h)+bf?+cf(Q)的取值范圍是.

三、解答題

17.

(1)已知f(%)=4+2,請用導(dǎo)數(shù)的定義證明：//(%)=2x.

(2)用公式法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①y=Inx+cosx；②y=丹

18.已知函數(shù)y=Q/+b/,當(dāng)x=l時(shí)，有極大值3.

(1)求a,匕的值；

(2)求函數(shù)y的極小值.

19.已知函數(shù)/(%)=x2lnx.

(1)討論函數(shù)"X)的單調(diào)性；

(2)若/(X)>ax-1對任意的％6(0,+8)成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(%)=4%-alnx-1%2-2,其中a為正實(shí)數(shù).

(1)若函數(shù)y=/(%)在％=1處的切線斜率為2,求Q的值；

(2)若函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%2?求證：((%1)+f(上)V6—Ina.

21.已知函數(shù)/(%)=/+2工一3,g(%)=~^，且函數(shù)/(%)與g(%)的圖像在％=1處的

切線相同.

(1)求k的值;

(2)令F(x)=(3：)'若函數(shù)F(x)-巾存在2個(gè)零點(diǎn),

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22.已知函數(shù)/'(x)=xsinx+cosx.

(1)判斷/(x)在區(qū)間(2,3)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論；(參考數(shù)據(jù)：V2?1.4,

V6?2.4)

(2)若存在使得/(x)>■+cosx成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

試卷第4頁，總20頁

參考答案與試題解析

2021年人教A版(2019)選擇性必修第二冊數(shù)學(xué)第五章一元函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試卷(1)

一、選擇題

1.

【答案】

c

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【解析】

利用對數(shù)的運(yùn)算求解即可.

【解答】

解：A,(sinx)'=cosx,故4錯(cuò)誤；

B,(一二)'=一(/)，=一統(tǒng)，故B錯(cuò)誤;

C,(in.)=(-Inx)'=-(lnx)z=-p故C正確；

D,(2xy=2xln2,故D錯(cuò)誤.

故選C.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】

暫無

【解答】

解：/口)W+1,尸⑴=2,

所求直線方程為y-1=2(x+2),

整理為2x-y+5=0.

故選8.

3.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

必要條件、充分條件與充要條件的判斷

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出a的范圍，再結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.

【解答】

解：由/'(%)=[a/—(a+2)x+2lnx單調(diào)遞增，

可得尸(x)=ax-(a+2)+1=2-(?24+22。，

ax2—(a+2)x+2>0在％G(0,+8)上恒成立，

L=(a+27-8a<0,或|管<0,

解得Q=2,

故函數(shù)/(x)=|ax2-(a+2)x+21nx單調(diào)遞增的充分必要條件是a=2.

故選B.

4.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則

一元二次不等式的解法

【解析】

由題意，可先求出函數(shù)的定義域及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解出不等式/'(%)>0的解集與函數(shù)

的定義域取交集，即可選出正確選項(xiàng).

【解答】

解：由題可得，/(x)的定義域?yàn)?0,+8),<(x)=2x-2-i,

令2x-2-￡>0,整理得/一%-2>0,解得x>2或x<-l,

X

結(jié)合函數(shù)的定義域知，/'(%)>0的解集為(2,+00).

故選C.

5.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最

大值即可.

【解答】

解：y'=皆,XG［0,2］,

令y'>0,解得：X<1,

令y'<0,解得：x>1,

函數(shù)y=2在［0,1］上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減，

y虛大皆■=訓(xùn)*=1=:

故選C.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

試卷第6頁，總20頁

【解析】

位移對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)即是速度，求出位移的導(dǎo)數(shù)令其等于零解之.

【解答】

解：丫s=1t3—|t2—4t,

v=s'(t)=t2-3t-4,

2

令"—。得，t—3t—4=0,tr——1或I2-4.

故選C.

7.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：f'(x)=m-ex—2x+2(m<0),

所以尸(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

所以(/-(I)=me<0,

解得一2<m<0.

故選A

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題

【解析】

由題設(shè)得函數(shù)為增函數(shù)，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性得不等式組，進(jìn)而得解.

【解答】

解：由題意得：

5—2Q>0,

2—QV0,

2—ci1

--->5-2a--a,

26

解得當(dāng)WQV|.

故選8.

9.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

【解析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能

力.

【解答】

解：由f(%)>fc(x—1),得％+x\nx>k(x—1)對任意的x>1恒成立，即k<丑制”恒

X—1

成立.

令九(乃=誓，得九

令<p(x)=x—Inx—2(x>1),得<p'(x)=1—|=?>0,

A函數(shù)火X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

<p(3)=1-In3<0,9(4)=2-2ln2>0,

方程(p(x)=0在(1,+8)上存在唯一的實(shí)根沏，且滿足(3,4),

(p(x0')=0>BPx0-lnx0-2=0>BRx0-1=lnx0+1.

當(dāng)l<x<&時(shí)，<p(x)<0,則h'(x)<0；

當(dāng)時(shí),<p(x)>0,則九'(%)>0,

A函數(shù)無。)在(1,3)上單調(diào)遞減，在(&,+8)上單調(diào)遞增.

30(*+1)_XoOo-l)

八(X)min=九(&)=X。e(3,4),

Xo-1x0-l

k<h(x)min=X0.

故整數(shù)k的最大值為3.

故選C.

10.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】

①設(shè)x<0,則-x>0,由函數(shù)得性質(zhì)可得解析式，可判①的真假；

①當(dāng)x<。時(shí)，/(%)=ex(x+1)；

②作出函數(shù)/(x)的圖象，由圖可判斷②的正誤；

③由②的分析可知，若關(guān)于X的方程f(x)=皿有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1<

m<1,可判斷③的正誤；

④由③知，函數(shù)一1<f(x)<1,故有V%i，亞eR,，(全)一/<2恒成立，可

判斷④.

【解答】

解：①因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=e-x(x—l),

設(shè)x<0,則—x>0,所以-/(x)=/(—x)=e*(—x-1),

即/(x)=e，(x+l),故①正確；

②對x<0時(shí)的解析式求導(dǎo)數(shù)可得，((%)=e?x+2),令其等于0,解得》=一2,

且當(dāng)x€(-8,-2)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)“6(-2,+8)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0,函數(shù)單調(diào)遞增，

%=-2處為極小值點(diǎn)，K/(-2)=-e-2>-l,且在％=-1處函數(shù)值為0,且當(dāng)x<

-1時(shí)函數(shù)值為負(fù).

又因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故函數(shù)/(x)的圖象應(yīng)如圖所示：

試卷第8頁，總20頁

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，所以f(0)=0.

由圖象可知：函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故②正確；

③若關(guān)于x的方程/(%)=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1<m<1,故③正確；

④由于函數(shù)-1<f(x)<1,故有%2eR，<2恒成立，故④正

確.

故正確的命題為①②③④.

故選D.

11.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)奇偶性的判斷

函數(shù)的圖象

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C,。，問題得以解決.

【解答】

解：:/(—%)=(―%)2+(―x)sin(-%)=%2+xsinx=/(%),

???函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，故排除B,

令9(%)=%+sinx,

?二g'(%)=1+cosx>。恒成立，

/.g(x)在R上單調(diào)遞增，

g(。)=

f(x)=xg(x)>0,故排除。，

當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=xg(%)單調(diào)遞增，

故當(dāng)xv0時(shí)，/(%)=xg(x)單調(diào)遞減，故排除C.

故選4

12.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設(shè)A(s"),y=/—2/+2的導(dǎo)數(shù)為y'=3/一4%,

可得切線的斜率為3s2-4s,

切線方程為y=4x—6,

可得3s2—4s=4,t=4s—6,

解得s=2,t=2或s=-I，￡=-g.

由點(diǎn)4在直線mx+ny-1=0(其中m>0,n>0),

可得2m+2n=1成立(s=—I"=—g舍去)，

則工+-=(2m+2n)(—+

mn\mn/

=2(3+巴+巧22(3+2l^}=6+4V2,

mn\ymnJ

當(dāng)且僅當(dāng)？i=時(shí)，取得最小值6+4企.

故選D.

二、填空題

13.

【答案】

7

-9

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：函數(shù)/'(%)+a2x-1,求導(dǎo)得r(x)=a/-2bx+aZ,

因?yàn)樵摵瘮?shù)在x=1處取得極值0,

故尸(1)=a-2b+a2=0,且/(I)=0,

故a=1或a=—|,

因?yàn)閍=1時(shí)函數(shù)f(x)無極值，

故a=-3此時(shí)b=—工，

39

故答案為：—，

14.

【答案】

(-8,-1)u(0,1)

【考點(diǎn)】

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=竽，利用g(x)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性與奇偶性,

畫出函數(shù)g(x)的大致圖象，結(jié)合圖形求出不等式/(x)>0的解集.

【解答】

試卷第10頁，總20頁

解:設(shè)g(x)=號,則g(無)的導(dǎo)數(shù)為:

xf，(x)-r(x)

g'(x)=X5

當(dāng)%>0時(shí)總有獷'0)</(x)成立,

即當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)恒小于0,

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=y為減函數(shù),

又?「g(-x)=-=3=?=g(x),

-X-xX2/

：.函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù).

又???g(-l)="=0,

「?函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可得，不等式/(%)>0Q%?g(x)>0,

(x>0,_^(x<0,

=[g(x)>0,或(g(x)<0,

<=>0<x<1或％<—1.

/(%)>0成立的x的取值范圍是(一8,-1)u(0,1).

故答案為：(—8,—1)U(0,1).

15.

【答案】

(0,+00)

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*f(%)-e*,(xeR),研究g(x)的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函

數(shù)值，即可求解

【解答】

解：設(shè)g(x)=e*f(x)-eL(xeR),

則g'(x)=ez/(x)+exf'(x)-ex=ex[/(x)+f'(x)-1],

1?-r(%)>i-/(x),

/(x)+/'(x)—1>0，

g'(x)>0,

y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

,///(%)>〃+5,

/.g(x)>5,

又<5(0)=e°/(0)-e0=6-1=5,

g。)>5(o).

%>0,

不等式的解集為(0,+8).

故答案為：(0,+8).

16.

【答案】

1

(e,2e+-)

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)/(無)的函數(shù)圖象判斷a,b,c的范圍,利用f(a)=f(b)=f(c)得出a,b,c的關(guān)

系，得出a+b+c關(guān)于a的函數(shù)，求出此函數(shù)的值域即可.

【解答】

ab=Ldnb=e.

af(b)+bf(c)+c/(a)=(a+b+c)lnZ?

=+b)\nb+e,

令9(b)=(匕++e,(1<b<e),

則g<b)=(l—割nb+(b+》q,

g'(b)=1+Inb+^(1-Inb),

1-?l<b<e,

1—In/)>OJnh>0,

g'(b)>o,

則函數(shù)g(b)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，

試卷第12頁，總20頁

g⑴<g(b)<g(e),

即e<g(b)<2e+p

故答案為：(e,2e+J).

三、解答題

17.

【答案】

(1)證明：g=2x+Ax.

當(dāng)4%->0時(shí)，ff(x)=2x.

(2)解：①y'=：-sinx.

zzx,2cos2xex-sin2xex

②y=—

_2cos2x-sin2x

-'

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

(1)證明：^=2x+Ax.

當(dāng)4%t0時(shí),/'(%)=2%.

⑵解：①y'=：-sinX.

xx

°xry\,=2cos2xe—sin2xe

2cos2x-sin2x

='

18.

【答案】

解：(l)y'=3ax2+2bx,

w-(3a+2b=0,

當(dāng)％=1時(shí)，］

IQ+b=3,

解得a=-6,b=9.

(2)由(1)得:y=-6x3+9x2,

/.y'=-18x2+18%.

令y，=0,得％=0,或%=1,

當(dāng)％>1或x<0時(shí)，y'<0,y單調(diào)遞減;

當(dāng)0<%<1時(shí)，y'>0,y單調(diào)遞增.

Vmin=y(0)=0.

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】

(1)求出y',由x=l時(shí)，函數(shù)有極大值3,所以代入y和y'=0中得到兩個(gè)關(guān)于a、b

的方程，求出a、b即可；

(2)令y'=0得到x的取值利用x的取值范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

得到函數(shù)的極小值即可.

【解答】

解：⑴y'=3ax2+2bx,

當(dāng)x=l時(shí)，產(chǎn)+2b=。，

Ia+b=3,

解得Q=-6,b=9.

(2)由(1)得:y=-6x3+9x2,

/.y'——18x2+18%.

令y，=0,得％=0,或%=1,

當(dāng)％>1或x<0時(shí)，y'<0,y單調(diào)遞減；

當(dāng)0<%<1時(shí)，y'>0,y單調(diào)遞增.

*1-Vmin=y(0)=0.

19.

【答案】

解：(1);/(%)=%2lnx,

?'./'(%)=2%(inx+0.

令/(%)=0,貝Ij2x(inx+|j=0,

/.x=0(舍)或%=—.

e

分析知，當(dāng)xe(o,f)時(shí)，/(x)<o；

當(dāng)xe停,+8)時(shí)，f'(x)>0>

函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,上單調(diào)遞減，在區(qū)間(?,+8)上單調(diào)遞增.

(2)據(jù)題意知，a〈蟲寧匚對任意的％e(0,+8)成立.

令g(x)=『，貝叼'(%)=受要二，

當(dāng)x21時(shí)，g'(x)>0,

當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)<0,

函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

,1,gGOmin=9(1)=1，

a<l,即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,1].

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

試卷第14頁，總20頁

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1);/(%)=x2lnx,

/.，(x)=2x(in%+0.

令/(%)=0,則2%(in%+0=0,

%=0(舍)或%=立.

e

分析知，當(dāng)xe(o,f)時(shí)，f'M<0：

當(dāng)欠《住,+8)時(shí),r(x)>0,

???函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,f)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(手,+8)上單調(diào)遞增.

(2)據(jù)題意知，a<當(dāng)匚對任意的久G(0,+8)成立.

令g(x)=/，貝必，(幻=史亨二，

當(dāng)工>1時(shí)，g'(%)>0,

當(dāng)0V%V1時(shí)，g'(x)<0,

函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

???g(》)min=g(l)=1，

???a<l,即所求實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(一8,1].

20.

【答案】

⑴解：/，(x)=4*_x=—乞”

f(l)=3-a=2,

所以a的值為1.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)0<QV4時(shí)，函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)％1，X?，

+%2=4，%^%2=

因?yàn)椤?T)+f(%2)

19

=4'i—alnxx--xf-2+

19

X2

4x2-alnx2-22-

1

=4Qi4-x2)-alnOi%2)一,(巖+以)-4

1

=16—a\na--(42o—2a)—4

=4+a—alna.

要證f(%i)+f(x2)<6-Ina,只需證alna-a-Ina+2>0.

構(gòu)造函數(shù)g(%)=xlnx—%—Inx4-2,

則“(%)=1+Inx-1—=In%—:,

g'(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，

又7(1)=-1<0,“(2)=ln2-1>0,

且g'(x)在定義域上不間斷，

由零點(diǎn)存在定理，可知g'(x)=0在(1,2)上存在唯一實(shí)根沏，且Inxo=工.

x0

則g(x)在(0,X。)上單調(diào)遞減，(x0,4)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為gOo).

因?yàn)?(和)=一—1吟+2

=1一%0一2+2=3-(A+2)，

XQ

當(dāng)2)時(shí)，x°+；e(2,1),

則gQo)>0,所以g(x)>g(xo)>。恒成立.

所以alna-a—Ina+2>0,

所以/'(/)+/(尤2)<6-Ina,得證.

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

(1)解：f(x)=4-^-x=-^^,

[⑴=3—a=2,

所以Q的值為1.

(2)證明：由⑴知,當(dāng)OvaV4時(shí),函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%-x2,

且與+%2=4,%i%2=

因?yàn)?/p>

1

=4%i—alnxi--%i?-24-

17

X

4%2-alnx2-2z-2

1

=4(與4-x2)~山位%62)一](好+片)-4

=16—alna——(42—2Q)—4

=4+a-alna.

要證/(%i)+f(x2)<6—Ina,只需證alna—a—Ina+2>0.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx-%-Inx4-2,

則“(%)=1+Inx—1—^=Inx-I，

g'Q)在(0,4)上單調(diào)遞增，

又或1)=-1<0,或2)=ln2-i>0,

且g'(x)在定義域上不間斷，

試卷第16頁，總20頁

由零點(diǎn)存在定理，可知g'Q)=0在(1,2)上存在唯一實(shí)根%0,且ln&=2.

x0

則g(x)在(0,%o)上單調(diào)遞減,(%0,4)上單調(diào)遞增，

所以g(X)的最小值為。(%0)?

因?yàn)?(&)=&ln&-x0-lnx0+2

=1一3-2+2=3-(%。+5

%oXQ

當(dāng)沏6(1,2)時(shí)，沏+白6(2,I),

則gQo)>0，所以g(%)ng(x0)>0恒成立.

所以alna-a-Ina4-2>0,

所以fQi)+f(》2)V6—Ina,得證.

21.

【答案】

解：(1)已知/(%)=/+2%—3,尸(%)=2%+2,則((1)=4.

又f(1)=0,所以/(%)在％=1處的切線方程為y=4x-4.

因?yàn)閒(x)和g(x)的圖像在*=1處的切線相同，"(x)=g瞥，

所以g，(l)=k=4.

⑵由⑴可知F(x)=%m)，

2

即F(x)=g(|%+2…%-3|.(x<1),

畫出函數(shù)“X)的圖像如圖所示：

可知函數(shù)F(x)-m若存在2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，TH的取值范圍是{m|zn=0或m=4}.

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【解析】

本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單

調(diào)性等，以及函數(shù)圖像的判定，考查學(xué)生解決問題的綜合能力.

本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單

調(diào)性等，以及函數(shù)圖像的判定，考查學(xué)生解決問題的綜合能力.

【解答】

解：(1)已知/'(X)=/+2%-3,/'(x)=2%+2,則3(1)=4.

又/'(1)=0,所以/(x)在x=1處的切線方程為y=4%-4.

因?yàn)閒(“)和g(x)的圖像在X=1處的切線相同，g'(x)=處警，

所以g，(l)=上=4.

1/0)1(X<1),

(2)由(1)可知尸(%)=

.g(x)(x>1),

x2+2x-3|(x<1),

即F(K)=4lnx

(%>1).

x

畫出函數(shù)“%)的圖像如圖所示:

可知函數(shù)F(%)-m若存在2個(gè)零點(diǎn)時(shí)-，m的取值范圍是｛m|?n=0或?n=4].

22.

【答案】

解：(l)/'(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx,

xG(2,3)時(shí)，=xcosx<0,

「?函數(shù)/(約在(2,3)上是減函數(shù).

又/⑵=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2

=&sin(2+3)+sin2>0,

rj?C/C?117Trj?7T

3sin3<3sm——=3sm—=3sin?-$

1212

、/V6-V2--

3ox—0n.75,

4

117T