材料力學課件

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緒論一.

材料力學的任務二.變形固體的假設小變形假設三.內(nèi)力和應力四.應變五.構件的分類六.桿件基本變形2專業(yè)基礎課可直接應用于道路、橋梁、建筑、航空航天、工程機械等領域在基礎課與專業(yè)課之間起橋梁作用，為后續(xù)課程（如：結(jié)構力學、彈性力學、機械原理等）打下基礎課程特點概念多、公式多、計算多

一.材料力學的任務31.研究內(nèi)容與研究對象

工程結(jié)構或機械一般由各種零件（構件

）組成。力的效應外效應（動態(tài)發(fā)生改變）內(nèi)效應（形態(tài)發(fā)生改變）{其工作時，構件就會承受一定的載荷（即力的作用）4材料力學研究力產(chǎn)生的內(nèi)效應——

變形固體理論力學研究力產(chǎn)生的外效應——剛體2.課程任務

結(jié)構物或機械要正常工作，要求組成它們的構件有足夠的承擔載荷的能力——承載能力5（1）構件必須具有足夠的強度衡量構件承載能力的三個主指標：抵抗破壞的能力保持原有平衡狀態(tài)的能力承載能力主要與構件的材料、截面形狀與尺寸、成本有關。（2）構件必須具有足夠的剛度抵抗變形的能力（3）構件必須具有足夠穩(wěn)定性6本課程的任務：（既安全又經(jīng)濟地設計構件）

材料力學就是通過對構件承載能力的研究，找到構件的截面尺寸、截面形狀及所用材料的力學性質(zhì)與所受載荷之間的內(nèi)在關系，從而在既安全可靠又經(jīng)濟節(jié)省的前提下，為構件選擇適當?shù)牟牧虾秃侠淼慕孛娉叽?、截面形狀。課程的研究方法理論分析和實驗相結(jié)合:

材料的力學性質(zhì)需要通過試驗獲得

一些理論以實驗結(jié)果得出的假設為前提7變形固體：基本假設：1.連續(xù)性2.均勻性3.各向同性在外力作用下可發(fā)生變形的固體。二.變形固體的物性假設81.內(nèi)力與截面法：內(nèi)力的定義：在外力作用下，構件內(nèi)部各部分之間因相對位置改變而引起的附加的相互作用力——內(nèi)力截面法：(1)截開：(2)代替：(3)平衡：三.內(nèi)力和應力9FN

(或N)——軸力Fsy,FSz

(

或Qy

Qz

)——剪力Mx

(或T,Mn

)——扭矩My,

Mz

——彎矩10應力的概念:①應力定義：截面上一點處內(nèi)力的聚集程度FNFN兩桿的材料、長度均相同。內(nèi)力相同，為FN(顯然粗桿更為安全)

構桿的強度與內(nèi)力在截面上的分布和在某點處的聚集程度有關。2.應力11②一點的全應力：⊥截面；∥截面③垂直于截面的應力分量----正應力④切于截面的應力分量----切(剪)應力面積⊿A12應力的單位：

Pa

1Mpa=106Pa1GPa=109Pa

三者之間的關系：13四.應變棱邊ka

的平均線應變k點沿棱邊ka

方向的線應變1.線(正)應變線應變特點(1).正應變是無量綱量(2).

過同一點不同方位的線應變一般不同142.切(剪)應變定義微體相鄰棱邊所夾直角的改變量g

，稱為切應變切應變單位為弧度（rad）切應變量綱與單位153.應力應變之間的相互關系

實驗表明：在彈性范圍內(nèi)加載，正應力與正應變存在線性關系

虎克定律

(E

稱為材料的彈性模量)

實驗表明：在彈性范圍內(nèi)加載，切應力與切應變存在線性關系

：

剪切虎克定律

(G稱為材料剪切彈性模量)(一點的)應力與應變之間的對應關系單向正應力作用下的變形切應力作用下的變形16板殼塊體桿件五.構件的分類17外力特點：由作用線與桿軸重合的外力所引起變形特點：桿件的長度發(fā)生伸長和縮短外力特點：由大小相等，方向相反，作用線垂直于桿軸并相距很近的一對外力所引起變形特點：受剪桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對的錯動六桿件基本變形1.軸向拉伸和壓縮2.剪切181.工程實例：工程桁架一概念與實例192、軸向拉壓的概念：（2）變形特點：桿沿軸線方向伸長或縮短。（1）受力特點：FN1FN1FN2FN2外力合力作用線與桿軸線重合。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為軸向拉壓桿。ABCF20二.軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力、應力及強度條件內(nèi)力1.軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力——

軸力（用FN

表示）21例：已知外力F，求：1－1截面的內(nèi)力FN

解：FF1-------1∑FX=0,FN

-F=0

FFN（截面法確定）(1)截開(2)代替，F(xiàn)N代替(3)平衡FN

=FFNF以1－1截面的右段為研究對象內(nèi)力FN沿軸線方向，所以稱為軸力22軸力的符號規(guī)定：壓縮—壓力，其軸力為負值。方向指向所在截面拉伸—拉力，其軸力為正值。方向背離所在截面

FNFFFN（＋）

FNFFN（－）F23軸力圖：+FNx(1)直觀反映軸力與截面位置變化關系；(2)確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。軸力圖的意義軸力沿軸線變化的圖形FF24例:

圖示桿的A、B、C、D點分別作用大小為FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F的力，方向如圖，試求各段內(nèi)力并畫出桿的軸力圖。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段內(nèi)力FN1：設截面如圖ABCDFAFBFCFD∑FX=025FN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段內(nèi)力：

求BC段內(nèi)力：求AB段內(nèi)力：FN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，F(xiàn)N3=5F，F(xiàn)N4=FFN1=2F，∑FX=0∑FX=0∑FX=026軸力圖如下圖示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDO272.軸向拉壓桿橫截面的應力實驗：FF變形規(guī)律：橫向線……縱向線……平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截面沿桿軸線作相對平移28應力的計算公式：——橫截面上正應力的計算公式應力的分布規(guī)律——內(nèi)力沿橫截面均勻分布F

29正應力的符號?拉為正壓為負拉壓桿內(nèi)最大的正應力：等直桿：變直桿：303.軸向拉壓桿任意斜面上應力的計算斜截面?內(nèi)力確定：應力確定：①應力分布—均布②應力公式FNa=FFFFFFNa31符號規(guī)定⑴.a逆時針——“a”

為正值順時針——“a”

為負值⑵.σa⑶.τaaF32斜截面上最大應力值的確定(橫截面上)(450斜截面上)F33（其中n為安全系數(shù),值＞1）⑶.安全系數(shù)取值考慮的因素：給構件足夠的安全儲備。②理論與實際的差異。⑴.極限應力（危險應力、失效應力）：材料發(fā)生破壞或產(chǎn)生過大變形而不能安全工作時的最小應力值。σjx（σu、σ0）⑵.許用應力：構件安全工作時的最大應力。[σ]極限應力、許用應力4.拉壓桿的強度計算34強度條件：最大工作應力小于等于許用應力≤35（3）確定外荷載——已知：[σ]、A。求：F。FNmax≤[σ]A

→

F（2）、設計截面尺寸——已知：F、[σ]。求：A解：A≥FNmax／[σ]。強度條件的應用：（解決三類問題）：（1）、校核強度——已知：F、A、[σ]。求：解：？≤？解：36例

已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應力

[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求。解：1、軸力FN

=F

=25kN2、應力：3、強度校核：滿足強度FF37例

已知簡單構架：桿1、2截面積A1=A2=100mm2，材料的許用拉應力

[st]=200MPa，許用壓應力[sc]=150MPa

試求：載荷F的許用值[F]38解：1.軸力分析2.利用強度條件確定[F]39三.

軸向拉壓桿的變形節(jié)點的位移1、軸向拉壓桿的變形

軸向變形：軸向尺寸的伸長或縮短。橫向變形：橫向尺寸的縮小或擴大。40(1)、軸向變形：軸向線應變：虎克定律:（虎克定律的另一種表達方式）分析兩種變形

EA－抗拉（壓）剛度

Dl－伸長為正，縮短為負ΔL=L1-L在彈性范圍內(nèi),41(2)橫向變形：橫向線應變：橫向變形系數(shù)（泊松比）在彈性范圍內(nèi)：42a.等直桿受圖示載荷作用，計算總變形。（各段EA均相同）例:FNiFNi43b.階梯桿，各段EA不同，計算總變形。

44c.分段求解:試分析桿AC的軸向變形

Dl45③畫節(jié)點位移圖求節(jié)點位移②求各桿的變形量△li以垂線代替圖中弧線。①分析受力確定各桿的內(nèi)力FNiL2ABL1CF

就是C點的近似位移。2、計算節(jié)點位移就是C點的節(jié)點位移圖。例:

圖示結(jié)構由兩桿組成，兩桿長度均為l，B

點受垂直荷載P作用。由平衡條件可解得：

（1）桿①為剛性桿，桿②剛度為EA，求節(jié)點B的位移；（2）

桿①、桿②剛度均為EA，求節(jié)點

B的位移。PAB①②450C450BPFN1FN2a.受力圖解:（1）FN1=PFN2=√2P

b.位移圖

由節(jié)點位移圖可得節(jié)點B的位移：

節(jié)點B位移圖節(jié)點B位移圖解（2）節(jié)點受力圖同上，節(jié)點位移圖見下圖。

FN2節(jié)點B

的總位移

B的水平及垂直位移分別為：

49

力學性能：材料在受力后的表現(xiàn)出的變形和破壞特性。不同的材料具有不同的力學性能材料的力學性能可通過實驗得到。四.材料在拉壓時的力學性質(zhì)——常溫靜載下的拉伸壓縮試驗50拉伸標準試樣壓縮試件——很短的圓柱型：

h=(1.5—3.0)dhd51試驗裝置變形傳感器52拉伸試驗與拉伸圖(F-Dl

曲線)53⑴、彈性階段:oAoA’為直線段；AA’為微彎曲線段?！壤龢O限；—彈性極限。⑵、屈服階段:B’C?！O限屈服段內(nèi)最低的應力值。1、低碳鋼軸向拉伸時的力學性質(zhì)(四個階段)一)、材料在拉伸時的力學性質(zhì)54彈性階段:oA,屈服階段:B’C。⑶、強化階段：CDσb

—強度極限（拉伸過程中最高的應力值）?；凭€55⑷、局部變形階段（頸縮階段）：DE在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。縮頸與斷裂56卸載定律及冷作硬化e

P塑性應變s

e

彈性極限e

e－彈性應變預加塑性變形,可使s

e

或s

P提高卸載定律：

當拉伸超過屈服階段后，如果逐漸卸載，在卸載過程中，應力——應變將按直線規(guī)律變化。冷作硬化：在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載后短期內(nèi)又繼續(xù)加載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的現(xiàn)象。57材料的塑性延伸率l－試驗段原長（標距）Dl0－試驗段殘余變形塑性材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力58塑性材料：d≥5%例如結(jié)構鋼與硬鋁等脆性材料：d<5%例如灰口鑄鐵與陶瓷等塑性與脆性材料延伸率59共有的特點：斷裂時具有較大的殘余變形，均屬塑性材料。

有些材料沒有明顯的屈服階段。2.其他材料的拉伸試驗(1).其它工程塑性材料的拉伸時的力學性能硬鋁50鋼30鉻錳硅鋼

對于沒有明顯屈服階段的材料用名義屈服應力表示

60

產(chǎn)生的塑性應變時所對應的應力值。（二）、鑄鐵拉伸試驗1）無明顯的直線段；2）無屈服階段；3）無頸縮現(xiàn)象；4）延伸率很小。σb——強度極限。es0.2s0.2%

名義屈服極限s61(2)鑄鐵的拉伸破壞62低碳鋼的壓縮試驗彈性階段，屈服階段均與拉伸時大致相同。超過屈服階段后，外力增加面積同時相應增加，無破裂現(xiàn)象產(chǎn)生。二)、材料在壓縮時的力學性質(zhì)拉伸圖63其它脆性材料壓縮時的力學性質(zhì)大致同鑄鐵，工程上一般作為抗壓材料。破壞面大約為450的斜面。鑄鐵的壓縮試驗64五軸向拉壓桿系的超靜定問題一).概念1.靜定：結(jié)構或桿件的未知力個數(shù)等于有效靜力方程的個數(shù)，利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力——靜定問題2.超靜定：結(jié)構或桿件的未知力個數(shù)多于有效靜力方程的個數(shù)，只利用靜力方程不能求出所有的未知力——超靜定問題3、多余約束：在超靜定系統(tǒng)中多余維持結(jié)構幾何不變性所需要的桿或支座。aaABC12D3多余約束

超靜定結(jié)構大多為在靜定結(jié)構的基礎上再加上一個或若干個多余約束，這些約束對于特定的工程要求往往是必要的）654、多余約束反力：多余約束對應的反力。=未知力個數(shù)–

平衡方程個數(shù)。二)、超靜定的求解步驟：2、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程。3、根據(jù)物理關系寫出補充方程。4、聯(lián)立靜力方程與補充方程求出所有的未知力。1、根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）。5、超靜定的次數(shù)66

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

物理方程－變形與受力關系解：

平衡方程:

、聯(lián)立方程(1)、(2)、(3)可得:ABDC132aa例：圖示桿系結(jié)構，，求：各桿的內(nèi)力。FN1AaaFN2FN367三)、溫度應力、裝配應力1）溫度應力：由溫度引起桿變形而產(chǎn)生的應力（熱應力）。溫度引起的變形量—①靜定問題無溫度應力。②超靜定問題存在溫度應力。例

已知兩桿面積A、長度L、彈性模量E相同，求：當1桿溫度升高時，兩桿的內(nèi)力及約束反力。桿溫度膨脹系數(shù)BC1268BC12

平衡方程:

幾何方程：解：解除1桿約束，使其自由膨脹；AB橫梁最終位置在A’B’

物理方程：692）裝配應力——預應力、初應力：②超靜定問題存在裝配應力(后面舉例)①靜定問題無裝配應力(見下圖)由于構件制造尺寸產(chǎn)生的制造誤差，在裝配時產(chǎn)生變形而引起的應力。ABC12B70解：

平衡方程:例：已知：各桿長為：、；A1=A2=A、A3

；E1=E2=E、E3。3桿的尺寸誤差為，求:各桿的裝配內(nèi)力。aa

幾何方程：

物理方程：一.剪切的概念和實例

鉚釘工程實際中用到各種各樣的連接，如：

銷軸平鍵榫連接(剪切)受力特點：作用在構件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線相距很近。變形特點：構件沿兩力作用線之間的某一截面產(chǎn)生相對錯動或錯動趨勢。FF鉚釘連接剪床剪鋼板剪切面FF雙剪切剪切面FF連接處兩種主要破壞形式：1、剪切破壞

構件兩部分沿剪切面發(fā)生滑移、錯動2、擠壓破壞

在接觸區(qū)的局部范圍內(nèi)，產(chǎn)生顯著塑性變形

剪切與擠壓破壞都是實際情況復雜，這里僅介紹工程上的實用計算方法名義切應力計算公式：剪切強度條件：——名義許用切應力由實驗方法確定

實用計算中假設切應力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的二.剪切的實用計算FF剪切面上的內(nèi)力

（用截面法求）剪切強度條件同樣可解三類問題擠壓力不是內(nèi)力，而是外力擠壓面上應力分布也是復雜的實用計算中，名義擠壓應力公式擠壓強度條件：常由實驗方法確定

——擠壓面的計算面積

三.擠壓的實用計算FF擠壓強度條件同樣可解三類問題例:

已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[s]bs

=300MPa，[s]=160MPa。試求：[F]解：

1、剪切強度2、擠壓強度3、鋼板拉伸強度例:

已知：F=80kN,d=10mm,b=80mm,d=16mm,[t]=100MPa,[s]bs=300MPa,[s]=160MPa

試校核接頭的強度解：1.接頭受力分析

當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過鉚釘群剪切面形心時，通常即認為各鉚釘剪切面上的剪力相等若有n個鉚釘，則每一個鉚釘受力一.

扭轉(zhuǎn)概念和工程實例1、螺絲刀桿工作時受扭主動力偶約束力偶一)、扭轉(zhuǎn)的工程實例2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭3、機器中的傳動軸工作時受扭二)、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿——軸。右圖一)、外力偶矩計算設：軸的轉(zhuǎn)速n

轉(zhuǎn)／分(r／min)，其中某一輪傳輸?shù)墓β蕿椋?/p>

N千瓦(KW）實際作用于該輪的外力偶矩m

，則二.自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計算mm1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）x

TmmT取右段為研究對象：內(nèi)力偶矩——扭矩

取左段為研究對象：二)、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力——扭矩及扭矩圖(或Mn

MT

）x2、扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則判斷。T+T-

例:

一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪輸入的功率P1=500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。試作軸的扭矩圖。

3、內(nèi)力圖（扭矩圖）表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。扭矩圖作法(同軸力圖)：a、計算作用在各輪上的外力偶矩解：M1

M2

M3

M4

ABCDM1

M2

M3

M4

ACDBb、分別計算各段的扭矩221133T2AM2

BM3

22xT31T11xM2A33DM4

x扭矩圖4.789.566.37T圖(kN·m)M2

M1

M3

M4

ABCD1、實驗：三.關于切應力的若干重要性質(zhì)一)、薄壁圓筒橫截面上的應力(薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)),r0----為平均半徑）(壁厚2、變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度?？v向線

——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。結(jié)論：橫截面上可認為切應力沿壁厚均勻分布,且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對稱性可知切應力沿圓周均勻分布；3、切應力的計算公式：

da薄壁圓筒橫截面上的切應力計算式二)、關于切應力的若干重要性質(zhì)1、剪切虎克定律做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗可得T——剪切虎克定律在彈性范圍內(nèi)切應力與切應變成正比關系。從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'自動滿足存在t'得2、切應力互等定理切應力互等定理

單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力而無正應力的狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'

在相互垂直的兩個面上，切應力總是成對出現(xiàn)，并且大小相等，方向同時指向或同時背離兩個面的交線。一)、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力(一）、幾何關系：由實驗找出變形規(guī)律→應變的變化規(guī)律1、實驗：四.圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力觀察變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度?？v向線——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉(zhuǎn)平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大小以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應力（1）（2）因為同一圓周上剪應變相同，所以同一圓周上切應力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。剪應變的變化規(guī)律：(二）物理關系：由應變的變化規(guī)律→應力的分布規(guī)律方向垂直于半徑。彈性范圍內(nèi)(三）靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系→應力的計算公式令代入物理關系式得：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的剪應力計算式。扭轉(zhuǎn)變形計算式橫截面上——抗扭截面模量，整個圓軸上——等直桿：Ip—截面的極慣性矩，單位：二)、圓軸中τmax的確定單位：D三)、圓截面的極慣性矩Ip

和抗扭截面系數(shù)Wp實心圓截面：Odrr空心圓截面：Dd注意：對于空心圓截面Dd1、強度條件：2、強度條件應用：1）校核強度:五.扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)強度和剛度計算≤≥2）設計截面尺寸:3）確定外荷載:≤一)、扭轉(zhuǎn)強度計算例:

已知

T=1.5kN

.

m，=

50MPa，試根據(jù)強度條件設計1.實心圓軸2.α

=

0.9

的空心圓軸。解：1.確定實心圓軸直徑2.確定空心圓軸內(nèi)、外徑例:

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑

d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kNm，MB=36kNm，MC=14kNm。材料的許用切應力=80MPa

，試校核該軸的強度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB2、剛度條件：3、剛度條件應用：1)校核剛度3)確定荷載2)設計截面例:

已知：MA=180N.m，MB=320N.m,

MC=140N.m,Ip=3×105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5(

/m).求:1.jAC=?2.校核軸的剛度解：1.變形分析2.剛度校核軸的剛度足夠

例:

傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A輸入功率N1=400kW，從動輪B，C

分別輸出功率N2=160kW，N3=240kW。已知[τ]=70MPa，

[

]=1o/m，G=80GPa。

(1)試確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AB和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理?解：1.外力

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強度條件

按剛度條件4.直徑d2

的選取按強度條件

5.選同一直徑時

6.將主動輪裝在兩從動輪之間受力合理六.圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析低碳鋼試件：沿橫截面斷開。

材料抗拉能力差，構件沿45斜截面因拉應力而破壞（脆性材料）

材料抗剪切能力差，構件沿橫截面因切應力而發(fā)生破壞(塑性材料）鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。七.矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)常見的非圓截面受扭桿為矩形截面桿和薄壁桿件圓桿扭轉(zhuǎn)時——

橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時——橫截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），2、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹曲程度不同。1、橫截面上角點處，切應力為零2、橫截面邊緣各點處，切應力//截面周邊3、橫截面周邊長邊中點處，切應力最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應力分布特點bhT（彈性力學解）系數(shù)a,b,g與h/b

有關，見教材之表4-2長邊中點t最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應力計算狹窄矩形截面扭轉(zhuǎn)h－中心線總長推廣應用狹長矩形3)、兩者的比值：例：均相同的兩根軸，分別為圓截面和正方形截面。試求：兩者的最大扭轉(zhuǎn)切應力與扭轉(zhuǎn)變形，并進行比較。解：1)圓截面2)矩形截面結(jié)論：無論是扭轉(zhuǎn)強度，還是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面比正方形截面要好。解：1.閉口薄壁圓管例:

比較閉口與開口薄壁圓管的抗扭性能，設

R0＝20d一)、彎曲實例廠房的天車大梁一.平面彎曲的概念及工程實例FF火車的輪軸FFFF樓房的橫梁：陽臺的挑梁：二)、彎曲的概念：受力特點——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。變形特點——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l曲線。

以產(chǎn)生彎曲變形為主的桿---梁。三)、平面彎曲的概念：縱向?qū)ΨQ面受力特點——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)（通過或平行形心主軸上且過彎曲中心）。變形特點——桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平面曲線?？v向?qū)ΨQ面MF1F2q平面彎曲二靜定梁的分類（三種基本形式）Mq(x)1、懸臂梁：2、簡支梁：3、外伸梁：FLLLLq(x)一)、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：例:已知：如圖，F(xiàn)，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）(FAX

=0以后可省略不求)三.剪力方程與彎矩方程ABFFAYFBYmmx②求內(nèi)力FsMMFs－剪力，－彎矩。FAYACFBYFC研究對象：m-m

截面的左段：若研究對象取m-m

截面的右段：1.彎矩：M

構件受彎時，橫截面上存在垂直于截面的內(nèi)力偶矩（彎矩）。2.剪力：Fs

構件受彎時，橫截面上存在平行于截面的內(nèi)力（剪力）。二)、彎曲內(nèi)力的正負號規(guī)定:

①

剪力Fs

②

彎矩M

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122例：梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。解：（1）確定支座反力RARB(2)1-1截面左段右側(cè)截面：2--2截面右段左側(cè)截面：RA0.8kN1.2kN/m三)、剪力方程、彎矩方程：

注意：不能用一個函數(shù)表達的要分段，分段點為：集中力作用點、集中力偶作用點、分布力的起點、終點。剪力方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式

顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。LqAB(-)M例:F(x)xF解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖例:

列出梁內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。FABFAYMAxM(x)-FL注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側(cè))。例:

圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql

2FS

ql28l/2M

3、作剪力圖和彎矩圖載荷對稱、結(jié)構對稱則剪力圖反對稱,彎矩圖對稱,剪力為零的截面彎矩有極值例:

圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力BlAFxFAFBabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBFS(x)M(x)2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFalMxFablB

在集中力F作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大??；彎矩圖有轉(zhuǎn)折lAF

abC例:

圖示簡支梁在C點受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力圖和彎矩圖b>a時(在C截面右側(cè))FslxMe

lMxMealMeb

集中力偶作用點處剪力無影響，彎矩有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY例:畫出梁的內(nèi)力圖。3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖xFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)四.剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一)、剪力、彎矩與分布荷載間的關系1、支反力：FAyFBy2、內(nèi)力方程3、討論如下xLqAB對dx

段進行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dx

剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。q、Fs和M三者的微分關系二)、微分關系的應用2、分布力q(x)=常數(shù)時1、分布力q(x)=0

Fs圖：M圖：

剪力圖為一條斜直線；

彎矩圖為一條二次曲線。（1）當分布力的方向向上時（2）當分布力的方向向下時Fs圖：M圖：Fs圖：M圖：控制點:端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。三)、簡易法作內(nèi)力圖：利用微分關系定形，利用特殊點的內(nèi)力值來定值利用積分關系定值

基本步驟：1、確定梁上所有外力（求支座反力）；

2、分段

3、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀；

4、確定控制點內(nèi)力的數(shù)值大小及正負；

5、畫內(nèi)力圖。利用積分關系定值例:用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。同理左端點：剪力圖有突變，突變值等于集中力的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qa–xaaqa解：1、確定支反力（可省略）BC：2、畫內(nèi)力圖,q>0,；Mqa2(Fs<0,所以M圖向負方向斜(q>0,所以Fs圖向正方向斜)(積分關系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qaa)=-qa2–1/2

qa2MB=MA+(-qaa)=0-qa2)FymAB：q例:畫組合梁的剪力與彎矩圖組合梁,需拆開,以分析梁的受力1.受力分析特點：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連的兩橫截面上,M=0,FS不一定為零2.畫FS

圖水平直線3.畫M圖斜直線MFa/2-Fa/23Fa/2四)、平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。特點：剛架各桿橫截面上的內(nèi)力有：Fs、M、FN。1、剛架用剛性接頭連接的桿系結(jié)構剛性接頭的特點：

約束－限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移

受力－既可傳力，也可傳遞力偶矩2、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負號。剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)，但須注明正、負號。3、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件。4、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定：

彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負值。要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受拉的一側(cè)。剪力圖及軸力圖：與平面剛架相同。內(nèi)力分析1.外力分析2.建立內(nèi)力方程BC段：AB段：3.畫內(nèi)力圖彎矩圖畫法：與彎矩對應的點，畫在所在橫截面彎曲時受拉一側(cè)彎矩圖特點：如剛性接頭處無外力偶，則彎矩連續(xù)曲桿未受力時，軸線即為曲線的桿件M－使桿微段愈彎的彎矩為正FS，F(xiàn)N－正負符號規(guī)定同前①

三內(nèi)力分量②

符號規(guī)定與彎矩相對應的點，畫在橫截面彎曲時受拉一側(cè)③

畫彎矩圖軸線曲桿內(nèi)力五.按疊加原理作彎矩圖二).疊加原理：多個載荷同時作用于結(jié)構而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨作用于結(jié)構而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。一).前提條件：小變形、梁的跨長改變忽略不計；所求參數(shù)（內(nèi)力、應力、位移）必然與荷載滿足線性關系。三).步驟：1、梁上的幾個荷載分解為單獨的荷載作用；

2、分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖；

3、將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單疊加）。例:按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力F作用在梁AB的中點處）。qFABq=+AABBMxM1x

M2xF例:

作下列圖示梁的內(nèi)力圖。FLFLLL0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–FLL0.5F0.5FLLFFLLL0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFLFLLL0.5F0.5F0.5FFLL0.5F１.純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（有正應力無切應力）2.橫力彎曲aaFBAFMxFsxFaFF

梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（既有正應力又有切應力）一)、純彎曲橫力彎曲一.梁橫截面的正應力正應力強度條件二)、純彎曲梁橫截面上的正應力公式（一）變形幾何關系：

1、觀察實驗：abcdabcdMM2、變形規(guī)律：(2)、橫向線：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。(1)、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。3、假設：（1）平面(假設)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。一側(cè)纖維縮短一側(cè)纖維伸長（2）縱向纖維(假設)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。

梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。ＢAabcd4、縱向線應變的變化規(guī)律

dxyoo1abcd中性層中性層曲率半徑ＢAabcd4、縱向線應變的變化規(guī)律

dxyoo1在線彈性范圍內(nèi)，（二）物理關系：

abcd中性層(橫截面上各點的正應力沿截面高度按線性規(guī)律變化)中性層曲率半徑梁彎曲時橫截面上正應力分布圖：MZyσcmaxσtmax中性層yMZ（中性軸z軸為形心軸）(y、z軸為形心主軸）yzdAsdA(彎曲變形計算的基本公式)（三）、靜力平衡條件

M梁橫截面上內(nèi)力：

純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式。

彎矩可代入絕對值，應力的符號由變形來判斷。當M>0時，下拉上壓；當M<0時，上拉下壓。梁的抗彎剛度。TEIZyxMZyzAσ將上式代入式

(彎曲變形計算的基本公式)

中性軸z為橫截面的對稱軸時抗彎截面系數(shù)yzzybh梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的地方

純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式中性軸z不是橫截面的對稱軸時OzyytmaxycmaxM幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù)⑴矩形截面⑵圓形截面zybhyzd⑶空心圓截面(4)

型鋼截面：參見型鋼表式中DOdyz幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù)三)、純彎曲理論的推廣橫力彎曲時(見左邊梁)1、由于切應力的存在，梁的橫截面發(fā)生翹曲。2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。

純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式qq(x)q(x)實驗和彈性理論的研究結(jié)果表明：對于細長梁（跨高比l/h>5），剪力的影響可以忽略，純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。彎曲正應力公式可推廣應用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度的曲桿)Fl4F例：厚為t=1.5mm的鋼帶，卷成直徑D＝3m的圓環(huán)。。求：鋼帶橫截面上的最大正應力解：1）研究對象：單位寬條2）曲率公式：3）求應力：例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應力。已知：№10槽鋼解：1）畫彎矩圖2）查型鋼表：3）求最大拉、壓應力應力：l四)、梁的彎曲正應力強度條件

材料的許用彎曲正應力中性軸為橫截面對稱軸的等直梁拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為zhM彎曲正應力強度條件

1、強度校核2、設計截面尺寸3、確定外載荷s￡max

maxMWz3;

maxzWM￡應用:解：1、求約束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[s]=160MPa,求：Fmax

5F/2F/2Mmax=0.5F3、強度計算h2、畫M圖，求Mmax≤M解：1)約束反力例:T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，

IZ=763cm4

，試校核此梁的強度。1m1m1mABCD2.5kNm4k

N

m2）彎矩圖

3）求應力B截面上拉下壓MC截面下拉上壓C截面—（下拉上壓）:

4)強度校核B截面—（上拉下壓）:(最大拉、壓應力不在同一截面上)1m1m1mABCD例:

跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強度。解：根據(jù)截面最為合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280dFl/4得截面對中性軸的慣性矩為

梁上的最大彎矩最大壓應力為梁滿足強度要求。例:

圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，截面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，

鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]

。

解：1、梁的支反力為zyC形心y2=86y1=134204018012020BF

Cbq=F/bDbbAFB

FA

2、作梁的彎矩圖FB

FA

BF

Cbq=F/bDbbA發(fā)生在截面B發(fā)生在截面CFb/2Fb/4考慮截面B：3、計算最大拉、壓正應力Fb/2Fb/4CB

zyy由切應力互等定理可知xd

xzybyτFs3、矩形截面切應力的分布：

t沿高度按二次拋物線規(guī)律變化(2)tmax在中性軸處(y=0)(3)上下邊緣處，切應力為零t二)、非矩形截面梁——圓截面梁切應力的分布特征：邊緣各點切應力的方向與圓周相切；切應力分布與y軸對稱；與y軸相交各點處的切應力其方向與y軸一致。關于其切應力分布的假設：1、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各點處的切應力匯交于一點；2、這些切應力沿y方向的分量ty沿寬度相等。zyOtmaxkk'O'dy最大切應力tmax

在中性軸處zyOtmaxkk'O'dyzOC2d/3p1、工字形薄壁梁假設:t//腹板側(cè)邊，并沿其厚度均勻分布腹板上的切應力仍按矩形截面的公式計算——下側(cè)部分截面對中性軸z的靜矩三)、薄壁截面梁2、薄壁環(huán)形截面梁薄壁環(huán)形截面梁彎曲切應力的分布特征：(1)d<<r0→沿壁厚切應力的大小不變；(2)內(nèi)、外壁上無切應力→切應力的方向與圓周相切；(3)y軸是對稱軸→切應力分布與y軸對稱；與y軸相交的各點處切應力為零。最大切應力tmax

仍發(fā)生在中性軸z上。zyOtmaxtdr0tmaxyz2r0/pOC薄壁環(huán)形截面梁最大切應力的計算zyOtmaxtdr0tmax3、薄壁截面梁翼緣上的切應力

計算表明，工字形截面梁的腹板承擔的剪力(1)平行于y軸的切應力

可見翼緣上平行于y軸的切應力很小，工程上一般不考慮。截面上的剪力基本上由腹板承擔xydhzOdbty(2)垂直于y軸的切應力dht1t1'hxydhOdbt

——欲計算切應力的點到截面端部（t=0處)這部分截面的面積對中性軸的靜矩——欲求切應力值的點所在位置的壁厚

翼緣上垂直于y軸的切應力隨

按線性規(guī)律變化。

通過推導可以得知，薄壁工字鋼梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應力指向構成了“切應力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max例:

彎曲正應力與彎曲切應力比較當l>>h時，smax>>tmaxBA四)、梁的切應力強度條件

一般tmax發(fā)生在FSmax所在截面的中性軸處。

梁的切應力強度條件為對等直梁，EtmaxFtmaxEl/2qCDFlql2/8ql/2ql/2FS圖M圖切應力強度條件1、校核強度2、設計截面尺寸3、確定外荷載。解：、內(nèi)力圖例:矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如圖，[

]

=

7MPa，[

]=0.9M

Pa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。yqL2FS

qL28L/2M

求最大應力并校核強度

應力之比q=30kN/m60kN1m5mBA例：圖示梁為工字型截面，已知[s]=170MPa，[t]=100MPa

試選擇工字型梁的型號。解：1、畫Fs、M圖FAY=112.5kN；FBY

=97.5kN2、按正應力確定截面型號查表選36c型號3、切應力校核4、結(jié)論：選36c型號112.5kN52.5kN97.5kNxFsx158.4kNm112.5MFAYFBY

對于一般常見的薄壁截面，為了找到它們的彎曲中心。可掌握以下幾條規(guī)律：平面彎曲的條件：橫向力與形心主軸平行且通過彎曲中心。①具有兩個對稱軸或反對稱軸的截面:彎曲中心與形心重合。②具有一個對稱軸的截面：彎曲中心必在對稱軸上。

③如截面是由中線交于一點的幾個狹長矩形組成：此交點就是彎曲中心。四.提高梁承載能力的措施一)、合理安排梁的受力，減小彎矩。ABF/LMmax=FL/8F/LMmax=FL/400.2L0.2L合理安排梁的受力，減小彎矩。FABL/2L/2Mmax=PL/4F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/2F合理截面形狀應該是截面面積A較小，而抗彎截面模量大的截面。二)、合理安排梁的截面，提高抗彎截面模量。豎放比橫放要好。1）放置方式：2）抗彎截面模量/截面面積截面形狀圓形矩形槽鋼工字鋼3）根據(jù)材料特性選擇截面形狀

對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：

梁彎曲變形的計算目的：1.要控制梁的變形在一定的限度內(nèi)。2.解決超靜定問題

工程中對梁的設計，除了必須滿足強度條件外，還必須限制梁的變形，使其變形在容許的范圍之內(nèi)。度量梁變形的參數(shù)?

2.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。

1.撓曲線：梁變形后的軸線。

(連續(xù)、光滑)3.轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“

”表示。q用“y”

表示。q一.梁變形的基本概念xyyxy=y（x）

……撓曲線方程。

撓度向下為正；向上為負。θ=θ(x)……

轉(zhuǎn)角方程。

由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時針為正；逆時針為負。4.撓度和轉(zhuǎn)角的關系

(撓曲線為一條平坦的曲線)1.曲率與彎矩的關系：EIM=r12.曲率與撓曲線的關系（數(shù)學表達式)……（2）3.撓曲線與彎矩的關系：

聯(lián)立（1）、（2）兩式得?……（1）二.梁的撓曲線近似微分方程M>00)(<￠￠xy使用條件：彈性范圍內(nèi)的細長梁。M<00)(>￠￠xy結(jié)論：撓曲線近似微分方程——xyxy三.積分法計算梁的變形步驟：（EI為常量）1、分段列彎矩方程M(x)2、代人微分方程并積分3、根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。右左CCqq=連續(xù)條件：右左CCyy=邊界條件：CDAB（1）、固定端處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3）、在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程5、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。邊界條件：連續(xù)性條件：解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。b)寫出微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程e)自由端的撓度及轉(zhuǎn)角x=0處:y(0)

=0;q

(0)=0yFxL解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出撓曲線近似微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角

x=0：y=0;

x=l

：y=0.

例：求圖示簡支梁的最大撓度

和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）BlAqyxFC解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）左側(cè)段（0≤x1≤a）：右側(cè)段（a≤x2≤L）：AC段CB段d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程c)應用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)連續(xù)條件：y1(a)=y2(a),y’1(a)=y’2(a);

邊界條件：y1(0)=0,y2(L)=0e)跨中點撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角兩端支座處的轉(zhuǎn)角跨中點撓度討論：1)、此梁的最大轉(zhuǎn)角。當a＞b時——2)、此梁的最大撓度當a＞b時——最大撓度發(fā)生在AC段221max3)2(30baabLxy1y+=-=T=￠?3221max)(391bLLEIFbyyxx-===當載荷接近于右支座，即b很小時，由上式可得：而此時梁跨中截面處的撓度為：兩者相差也不超過中點撓度的3%

因此，在簡支梁中，只要撓曲線無拐點，即可用中點撓度來代替最大撓度。

3)

a=b時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。寫出下列各梁變形的邊界條件和連續(xù)條件(1——C截面左側(cè))(2——C截面右側(cè))ABFCEABC練習:q1)、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應為已知或有變形表可查；

2)、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。1.前提條件：彈性、小變形。2.疊加原理：各載荷同時作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各載荷分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。3.疊加法的特征：四.

疊加法計算梁的變形=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面的撓度.解:a)載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。BlAqFaCBABAFqCCalc)疊加=+例：確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表由F引起的C點位移：3、疊加AL/2L/2qBACCL/2L/2BCAFFq=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1)、載荷分解如圖2)、查梁的簡單載荷變形表3)、疊加BAqL/2L/2C(a)q2CC(b)q2q2qa

M=qa2/2（a）例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1)結(jié)構分解如圖2)查表3)疊加BAqABBqCC（b）LaBC例：求圖示梁C截面的撓度。解：1)、結(jié)構分解如圖2)、查梁的簡單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEI3)、疊加FBC（a）FBC（b）M=FL/2A

F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mm例：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[δ]=,B點的[

]=0.001rad,試校核此桿的剛度.圖1F1=1KNABCD

F2=2KNABCD圖2Ba

CF2圖2-1F2ABL

a

CM圖2-2分析:利用疊加求復雜載荷下的變形校核剛度剛度足夠

由梁在簡單載荷作用下的變形表和前面的變形計算可知：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和載荷有關外，還取決于下面三個因素：材料截面跨長

1)、增大梁的抗彎剛度（EI）2)、調(diào)整跨長和改變結(jié)構方法——同提高梁的強度的措施相同3.提高梁的剛度的措施3)、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）注意：

同類的材料，“E”值相差不多，“

jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度。

不同類的材料，“E”和“G”都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同類的材料以達到提高剛度的目的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！由平衡方程可以解出全部未知數(shù)靜定問題二個平衡方程，三個未知力。(平衡方程數(shù)小于未知力數(shù))超靜定問題(平衡方程數(shù)=未知力數(shù))

去掉多余約束而成為形式上的靜定結(jié)構—

基本靜定基。五.

簡單超靜定梁CBA去掉多余約束,加(取靜定基原則：便于計算)

解法：多余反力

計算梁的內(nèi)力、應力、強度、變形、剛度。解：1)

受力分析

C４)物理條件代入上式例:

已知梁的EI

，梁的長度，求各處的約束反力。３)變形協(xié)調(diào)方程２)解除多余約束(選靜定基)

再利用平衡方程可求出全部未知力：RcRARBRc

幾何方程解法1：受力分析，

物理方程例:

已知梁的EI，梁的長度，求約束反力。

靜定基得：

BRBA求解平衡方程：RARBRBABABBAmA((2靜定基ABmA(比較上面不同的靜定基并討論)例:

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m

,求約束反力。從B處拆開，使超靜定結(jié)構變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：物理關系解:FBMAFAyB1FBMCFCyB2FBFBMAFAMCFC代入得補充方程：確定A端約束力梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。FBFBMAFAMCFC確定B端約束力A、B端約束力(進一步可作梁的剪力圖和彎矩圖)

①CD桿如為剛性桿，CD桿內(nèi)力。

②如CD桿剛度為EA，求CD桿的內(nèi)力。例：圖示結(jié)構

試求:AC梁在C處的撓度為：解：（1）CD桿為剛性桿。

先將結(jié)構分