2021年高考數(shù)學(xué)最后沖刺講次1

專題1.4數(shù)列

——上海最新真題模擬題50題精選

一、單選題

1.（2020?上海奉賢區(qū)?高三一模）一個不是常數(shù)列的等比數(shù)列中，值為3的項數(shù)最多有

A.1個B.2個C.4個D.無窮多個

【答案】D

【分析】通過舉特例可以選出正確答案.

【詳解】例如數(shù)列：-3,3,-3,3,-3,3,-3,…，顯然值為3的項數(shù)有無窮多個.

故選：D

【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海青浦區(qū)?高三二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：”今有垣

厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，

意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半

尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩

鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】求得前幾天兩只老鼠打洞長度的和，由此確定需要的天數(shù).

【詳解】依題意可知，大老鼠每天打洞的長度是首項q=l,公比為2的等比數(shù)列；大小老鼠

每天打洞的長度是首項4=：，公比為3的等比數(shù)列.設(shè)S,,是前〃天兩只老鼠打洞長度的和.

.,1,13

第1天，4'I=L4=不Sc]=1+7；

222

一1「3c115

第2天，，&=2,=—,=—F2H—=—；

~4244

一1O15,163

第3天，，4=4也-z^3=-r+4+Q-V:

o4oo

%=8也=上,S4顯然大于8.

第4天，，

16

所以兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為4天.

故選：B

【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

a\\ai2a\3

3.(2020?上海奉賢區(qū)?高三一模)由9個互不相等的正數(shù)組成的矩陣43中，

、。31a32

每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，且弓|+42+q3、&21+。22+43、“31+42+。33成等比數(shù)列，下

列判斷正確的有

①第2列中的42、。22、生2必成等比數(shù)列；②第1列中的?21＞不一定成等比數(shù)列；③

at2+“32＞。21+。23；

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】C

【分析】根據(jù)每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，可以把原來的矩陣變形，最后根據(jù)等比的數(shù)列的

性質(zhì)、基本不等式，舉特例對三種說法逐一判斷即可.

，aa+da+2d、

【詳解】因為每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，所以有bh+mb+2m.

、cc+nc+2〃,

41+42+43、生|+。22+。23、《1+432+433分別為：3(。+d),3(A+6),3(C+〃)，它們成等

比數(shù)列，因此有：(b+m)2=(a+d)(c+n),因此說法①正確；

(a+d)+(c+〃)＞2j(a+d)?(c+〃)=2S+㈤題中已知可知這九個數(shù)都不日相相等,故不取

等號)，因此說法③正確；

'123、

當(dāng)2.545.5顯然符合已知條件，所以說法②正確.

、6.589.5,

故選：C

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了基本不等式的應(yīng)用.

4.(2017?上海高考真題)在數(shù)列｛《,｝中，%=(-'"，〃wN"，則！蛆

A.等于-工B.等于0C.等于工D.不存在

22

【答案】B

【詳解】數(shù)列｛a,J中，則吧％=吧(一｝"=0,故選B.

5.(2020?上海普陀區(qū)?高三三模)記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和.“對任意正整數(shù)〃，均有

%〉0”是“｛S,,｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用單調(diào)性的定義和舉特例來判斷兩個條件的充分性和必要性關(guān)系.

【詳解】當(dāng)為>0時.，則S,,—S,i=a,>0（〃N2,77eN*）,

則“對任意正整數(shù)〃，均有?！啊?”是“｛5“｝為遞增數(shù)列”的充分條件；

如數(shù)列｛4｝為—1、1、2、3、4、…,顯然數(shù)列⑸｝是遞增數(shù)列，但是。“不一定大于零,

還有可能小于或等于零，

所以，“對任意正整數(shù)”，均有>0”不是“｛S,,｝為遞增數(shù)列”的必要條件，

因此，“對任意正整數(shù)〃，均有可〉0"是“｛5,,｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，

故選A.

【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，判斷時可結(jié)合單調(diào)性的定義或特例來進行判

斷，考查推理能力，屬于中等題.

6.（2020?上海市建平中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為芯￡司（凡€'"）,

922

其前〃項和S“=歷，則雙曲線---乙=1的漸近線方程為（)

〃+1n

A.y=AB.1土逑xC."土回D.y=A

34103

【答案】C

9

5〃二歷求得幾，再根據(jù)工一二=］漸近線方程為

n+1n

得S,,=；11111n

【詳解】由為=--------1-------------F...H--------=1---

+n〃+1223nn+1H+l/l+l

又S“=N即」7=以，故〃=9,故雙曲線二一二=1漸近線為y=±、區(qū)x=±±叵x

10〃+110109V101（）

故選C

【點睛】本題主要考查了裂項相消求和與雙曲線的漸近線方程等,屬于基礎(chǔ)題型.

7.（2020?上海黃浦區(qū)?高三二模）已知e，/是互相垂直的單位向量，向量a“滿足：ea?=n,

U1*1u—?,、

7?q,=2〃+l,2是向量/與見夾角的正切值，則數(shù)列是.

A.單調(diào)遞增數(shù)列且B.單調(diào)遞減數(shù)列且lim2=J

“TOO2"T82

C.單調(diào)遞增數(shù)列且limb”=2D,單調(diào)遞減數(shù)列且limb”=2

M—>0077—

【答案】A

【分析】設(shè)；7=(i,o),"=(o,i),Z=(x“，”)，設(shè)向量》與初夾角為4,則可求乙，得，

則可得到以山％十二備’從而得到答案.

【詳解】設(shè)了=(1,0)，工=(0,1)，麗=祀=(%,％),設(shè)向量》與心夾角為

則￡=tanq,p(xn,yn)

1LIU

由e-a“=n,可得y“=〃，

uuu

由/々“uZ/i+l,可得x“=2〃+l

所以a=tanQ=&=m

xn2〃+1

,,n+\n1?

所以2+i~b?=o/,ll一0>0

2(〃+1)+12n+1(2”+3)(2.+l)

1

所以數(shù)列也｝是單調(diào)遞增數(shù)列，又出*,ny=-

【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和運算和數(shù)列極限，關(guān)鍵是根據(jù)直條件將所求問

題坐標(biāo)化，屬于中檔題.

8.(2020?上海徐匯區(qū)?高三二模)若數(shù)列｛q｝,也,｝的通項公式分別為q=(-1)/2020a

/1yi+2019

a=2+3____,且為<么對任意〃EN*恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為()

n

A.[—2,1）B.-2弓）C.-1,—'jD.[-1,1）

【答案】B

02

【分析】由an<bn可得（-l）"?，。+：）<2,分別討論"為奇數(shù)和n為偶數(shù)的情況，即可求

解.

【詳解】因為??<b?,則（-i）n+202°a<2+上3____，即（—I）""”。。—<2,

因為對任意〃EN*恒成匕

當(dāng)〃為奇數(shù)時，。>一2-,，則

<一2,所以。之一2；

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時，。<2-工，則-133

=2一5=5,所以q<5.

n

031

故i；ae-2,-1,

故選:B

【點睛】本題考查由數(shù)列的不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考杳分類討論思想.

9.（2020?上海楊浦區(qū)?高三二模）設(shè)｛4“｝是2020項的實數(shù)數(shù)列，｛4｝中的每一項都不為

零，｛%｝中任意連續(xù)11項?！埃?用,…的乘積是定值（〃=1,2,3,…,2010）.

①存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有365個1；

②不存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有550個1.

命題的真假情況為（）

A.①和②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.②是真命題，①是假命題D.①和②都是假命題

【答案】D

【分析】先確定數(shù)列是周期數(shù)列，然后根據(jù)一個周期中出現(xiàn)的1的個數(shù)，判斷數(shù)列中可能出現(xiàn)

的1的個數(shù)（與365,550接近的可能個數(shù)），得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)…4+10=%；則4Mq+2…4+U=%，也就是+11=?！?，即也｝是以11

為周期的數(shù)列.而2020=11x183+7.

若一個周期內(nèi)有1個1,則1的個數(shù)有183或184個.

若一個周期內(nèi)有2個1,貝IJ1的個數(shù)有366或367或368個.

若一個周期內(nèi)有3個1,貝ijl的個數(shù)有549或550或551或552個.

故選：D.

【點睛】本題考查數(shù)列的周期性，解題方法是確定出數(shù)列的周期，然后分類討論1出現(xiàn)的次數(shù)

的可能(與365,550接近的可能個數(shù)).

10.(2020?上海靜安區(qū)?高三二模)當(dāng)急需住院人數(shù)超過醫(yī)院所能收治的病人數(shù)量時就會

發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象，在新冠肺炎爆發(fā)期間，境外某市每日下班后統(tǒng)計住院人數(shù)，從

中發(fā)現(xiàn)：該市每日因新冠肺炎住院人數(shù)均比前一天下班后統(tǒng)計的住院人數(shù)增加約25%,但每日

大約有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療，

該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者，若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展，該市因新冠肺炎疫

情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象，只需要約

參考數(shù)據(jù)：1.251°x9.31,1.25"1.64,1.2512?14.55,1.2513?18.19,1.2516?35.53.

A.7天B.10天C.13天D.16天

【答案】C

【分析】利用數(shù)列表示出題目的已知條件，由4>4000可求得〃的最小值，從而求得發(fā)生“醫(yī)

療資源擠兌”現(xiàn)象的時間.

【詳解】設(shè)“0=1000,4=q)x(l+25%)-200=1050,an=??_!x(1+25%)-200,

〃eN*,〃22,即一200,neN\n>2.則/-800=：(”“_1一800),neN*,n>2,

即數(shù)列｛《,-800｝是以q-800=250為首項，公比為的等比數(shù)列，所以

??-800=250-^,所以q=800+250.令““=8OO+25o｛1[>4000,化

簡得(1)>16,根據(jù)參考數(shù)據(jù)可知〃213時，發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象.

故選：C

【點睛】本小題主要考查數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用，考查遞推數(shù)列求通項，屬于中檔題.

11.(2020?上海高三一模)設(shè)｛??｝為等比數(shù)歹J,則“對于任意的機eN*,a,n+2>aj是“｛??｝

為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

*/2\

【分析】對于任意的meNMg〉*,即金產(chǎn)1>0.可得：

''@-1>0[9"-K0

任意的meN*，解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】解：對于任意的meN*,a,“+2>，即生”（『T）>。.

?,>04<0

任意的meN'>

<-1>0^2-1<0

冊<°

ain>0—p.

?，或V

q>\0<q<l

.??“｛%｝為遞增數(shù)列”，反之也成立.

???“對于任意的meN*，4.+2>a,"”是“｛q｝為遞增數(shù)列”的充要條件.

故選：C.

【點睛】本題考查等比數(shù)列的單調(diào)性，充分必要條件，是基礎(chǔ)題.

2

12.（2017?上海高考真題）已知。、b、c為實常數(shù)，數(shù)列*“｝的通項％=an+bn+c,neN".

則“存在AwN*，使得/0+?、々00+&、/》+上成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）

A.a>0B.b<0C.c=0D.a—2b+c=0

【答案】A

【解析】存在使得為00+*,々00+人，工300+4成等差數(shù)列，可得

2[a（200++僅200+%）+c]=a（l00+女尸+雙100+Z）+c+o（300+k）2+僅300+k）+c,

化簡可得a=0,所以使得玉00+*，々岫*，當(dāng)00+*成等差數(shù)列的必要條件是a>Q.

13.（2021?上海金山區(qū)?高三一模）已知定義在R上的函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，且滿足

/（x+3）=/（x）,/（1）=-3,數(shù)列｛&｝滿足S“=2a“+〃（其中S,為｛%｝的前〃項和），

則〃％）+〃％）=（）

A.-3B.-2C.3D.2

【答案】C

【分析】由S“=2a,,+〃求出4、%的值，再利用函數(shù)了（力的奇偶性和周期性的性質(zhì)可求得

結(jié)果.

【詳解】對任意的“GN*，S?=2an+n.

當(dāng)〃=1時，q=S[=2q+l,解得卬=一1；

當(dāng)〃22時，由S“=2%+〃可得S,i=2a“_1+〃一1,

上述兩式作差得4=2q+1,即4=2a,i-1,所以，4-I=2（a,i—1）,

所以，數(shù)列｛?！耙?｝是首項為4-1=-2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

ln

所以，a?-l=-2-2'-=-2,即?！?1一2",.?.%=-31,a6=-63,

因為函數(shù)/(x)是定義在R匕的奇函數(shù)，則/(0)=0,

函數(shù)"》)滿足/(x+3)=/(x),/(1)=-3,

所以，fM=/(-31)=-/(31)=-/(1)=3,/(fl6)=/(-63)=/(0)=0,

因此，/(%)+/(%)=3.

故選：C

【點睛】方法點睛：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命

題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，

并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

(1)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖

象的對稱性.

(2)周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，

將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；

(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)

間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

14.(2021?上海松江區(qū)?高三一模)記S“為數(shù)列｛。“｝的前項和，己知點(〃,4)在直線

y=10-2x上，若有且只有兩個正整數(shù)〃滿足則實數(shù)屈勺取值范圍是()

A.(8,14]B.(14,18]

C.(18,20]D.(18牛

【答案】C

【分析】由已知可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，首項為8,公差為-2,由等差數(shù)列的前小頁和公式

可得S“=-〃？+9〃，山:次函數(shù)的性質(zhì)可得〃=4或5時，S“取得最大值為20,根據(jù)題意，結(jié)

合:次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得幺的取值范圍.

【詳解】解：由已知可得%=1。-2〃，

由。“-41=-2,所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，首項為8,公差為-2，

所以=8〃+”(〃T)X(_2)=_〃2+9〃,

2

當(dāng)斤4或5時，S.取得最大值為20,

因為有且只有兩個正整數(shù)〃滿足Sn>k,

所以滿足條件的〃=4和〃=5,

因為S3=$6=18,

所以實數(shù)%的取值范圍是（18,20].

故選：C.

【點睛】方法點睛：最值范圍問題常用的方法有：（1）函數(shù)單調(diào)性法；（2）數(shù)形結(jié)合法；

（3）導(dǎo)數(shù)法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知靈活選擇合適的方法求解.

二、填空題

15.（2020?上海楊浦區(qū)?高三二模）若｛4｝是無窮等比數(shù)列，首項夕=；,則｛叫的

各項的和S=.

【答案】

2

【分析】直接由無窮遞縮等比數(shù)列的和的公式計算.

01

【詳解】5=告=萬.

1--

3

故答案為：工.

2

【點睛】本題考查無窮遞縮等比數(shù)列的和，掌握無窮遞縮等比數(shù)列的和的公式是解題關(guān)鍵.

2

16.（2020?上海）已知無窮數(shù)列4=H，則數(shù)列｛%｝的各項和為.

【答案】-!

2

【分析】用定義可得數(shù)列｛為｝是首項為-|,公比為的等比數(shù)列，利用公式計

算可得答案.

222

【詳解】因為q=面7,所以4=目=—

2

s±.=H）Z=_i

■2一3'

（一3）"

21

所以數(shù)列僅“｝是首項為-彳，公比q為-§的等比數(shù)列，

_2

所以數(shù)列｛《,｝的各項和為5=言=*=一；.

1+3

故答案為：

2

【點睛】本題考查了無窮等比數(shù)列的各項和的公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2020?上海嘉定區(qū)?高三二模）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前"項和為

S“，4=1,42+“3=6,則$6=.

【答案】63.

【分析】先由4=1,%+4=6,求出等比數(shù)列的公比9,再和等比數(shù)列的前n項和公式求出S6

【詳解】由4=1,。2+生=6,得4+/=6（q>0）=q=2ns“—^=63.

61-2

故答案為：63

【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前“項和公式，屬于容易題.

18.（2020?上海虹口區(qū)?高三一模）計算：1而的-23|=__________.

"fa2n

【答案】2

【分析】將所求代數(shù)式變形為「的-23|「4-丁，利用常見數(shù)列的極限可求得結(jié)果.

limJ---------L=limj--------L

“TOC2〃"T82

【詳解】將所求代數(shù)式變形為「融-23|4-?4?

limJ---------1=hmj-------1=—=2

2〃“T822

故答案為：2.

19.（2020?上海奉賢區(qū)?高三一模）等差數(shù)列｛4｝中，公差為d,設(shè)5.是｛《,｝的前〃項之

'S1、

和，且d>l,計算lim-~^-+—=__.

H（〃+l）a.d）

【答案】g

2

S

【分析】下利用等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式將廠廠n「用卬，d和〃表示，再結(jié)合

。>1求極限即可.

【詳解】因為｛/｝是等差數(shù)列，所以4=4+（〃-1","=叫+"<）”,

所以s“

(〃+1)4+-l)d]drr++q-d

因為d>l,所以1而二二（）,

n->ood"

d

,S1、品+1a二

所以lim-——+——=S“2I'2

”—co（幾+1）。d〃rhm-lim_=2=L

n〃T8

\\/7”T8I+1)4d幾2+%〃+%—dd2

故答案為：3

20.（2018?上海高考真題）記等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若%=0,%+%14,貝恪=

【答案】14

【分析】利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出a尸-4,d=2,由此能求出

【詳解】1?等差數(shù)列面｝的前n項和為S“,aE,ae+a7=14,

4+2d=0

?<

[4+5d+at+6J=14'

解得aF-4,d=2,

7x6,

.*.S=7a,+------d=-28+42=14.

72

故答案為14.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的前7項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

3"

21.（2021?上海松江區(qū)?圖三一模）lim——=

,183"+2"

【答案】1

【分析】利用數(shù)列極限的運算法則化簡求解即可.

3"11

lim----------=lim-------------=-------=1

【詳解】解：…3"+2"+1+0

故答案為：1.

【點評】本題考查數(shù)列極限的運算法則的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在分式的分子分母上同時除以3",

屬于基礎(chǔ)題.

22.（2021?上海靜安區(qū)?高三一模）某校的“希望工程”募捐小組在假期中進行了一次募

捐活動.他們第一天得到15元，從第二天起，每一天收到的捐款數(shù)都比前一天多10元.要募捐

到不少于1100元，這次募捐活動至少需要天.（結(jié)果取整）

【答案】14

【分析】由題意可知，捐款數(shù)構(gòu)成一個以15為首項，以10為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列

的前〃項和公式可得n2+2n-220>0,即可求出〃的最小值.

【詳解】由題意可知，捐款數(shù)構(gòu)成一個以15為首項，以10為公差的等差數(shù)列，

設(shè)要募捐到不少于1100元，這次募捐活動至少需要〃天，

則15〃+^F^X102U00,整理得："+2”一22020，

2

又?.?〃為正整數(shù)，

.?.當(dāng)〃=13時，132+2X13-220=-25<0：

當(dāng)〃=14時，142+2x14—220=4>0，二/?的最小值為14,

即這次募捐活動至少需要14天.

故答案為：14.

23.（2021?上海黃浦區(qū)?高三一模）已知工是_2和8的等差中項，J/是32和8的等比中項,

則歷？=.

【答案】5

【分析】利用等差中項求得x,利用等比中項求得代入即可得解.

【詳解】由x是-2和8的等差中項，得2x=-2+8=6,解得：x=3

由V是32和8的等比中項，得（y2）2=32x8=256,解得：/=16

;.5+丫2='9+16=5

故答案為：5

24.（2020?上海楊浦區(qū)?高三一模）已知數(shù)列｛〃,｝的通項公式為

(〃42)

S”是數(shù)列｛??｝的前〃項和，貝IJ史S,=

(〃N3)(,ne

7

【答案】5

n(〃42)

【分析】因為｛4｝的通項公式為4=<p_)可得

(〃23)\)

Ijm5?=，吧(4+4+%+…?！?=4+%+，呵(/+4+…+%),即可求得答案.

【詳解】

n(〃<2)

???｛4｝的通項公式為4=卜1丫-1

(〃之?(鹿wN*

/.lim5=lim(4+%+%+…a”).

“T+oon〃T+oo'

=q+出+lim(q+%4-----Fa“)

?「a7

??hmS”=；

?->+OO2

故答案為：:7.

2

【點睛】本題主要考查了數(shù)列極限運算,解題關(guān)鍵掌握數(shù)列極限的求法,考查了分析能力和計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

25.(2020?上海普陀區(qū)?高三一模)各項都不為零的等差數(shù)列｛??｝(〃eN")滿足

2

a2-2a8+3alo=O,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，且4=4,則貼鳥=,

【答案】8

［分析Jdi已知等式結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求得4,再由等比數(shù)列的通項公式結(jié)合g=4求

解以屹?的值.

【詳解】解：各項均不為0的等差數(shù)列｛4｝滿足%-2a；+34。=0,

二4+1-2(q+7d)2+3(q+9d)=0,化為：4+74=2=4，

???數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列，且々=4=2，

.e.?=%=8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

26.（2020?上海高三一模）已知｛4｝、｛2｝均是等差數(shù)列，c“=a"也，若匕」前三項是7、

9、9>則％—

【答案】-47

【分析】｛“"｝、的」均是等差數(shù)列，故｛c“｝為:次函數(shù)，設(shè)?！?加2+"+。，根據(jù)前3項，求

出。，8，c的值，即可得到％.

【詳解】解：因為｛4｝、｛2｝均是等差數(shù)列，其通項公式均為關(guān)于〃的一次式，所以c,=ajb.

為關(guān)于〃的二次式，

故設(shè)c?=?！耙?arc+bn+c,

:q=7,c2=9,c3=9

a+b+c=l[a=-\

則（4a+2b+c=9,解得怔5

9a+3b+c=9c=3

Cn=-+5n+3

2

.-.clo=-lxlO+5xlO+3=-47,

故答案為：-47.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查分析和解決問題的能力和計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

27.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)）已知數(shù)列｛4｝是無窮等比數(shù)列，其前〃項和為S“，若

a2+a3=3,%+4=5，則S"=

【答案】8

【分析】計算得到4=4,q=g故s,=8-8（g），再計算極限得到答案.

,,31

【詳解】％+%=4夕+4夕2=3,〃3+。4=。爐+q夕3=5,解得4=4,4=5

故S,,=4]=8—8.出，故陪=8.

1-2

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等比數(shù)列求和，數(shù)列極限，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式的靈活運用.

28.（2020?上海奉賢區(qū)?高三二模）已知等差數(shù)列｛4｝的各項不為零，且生、弓3、小成

等比數(shù)列，則公比是

【答案】1或5

【分析】由由、63、%成等比數(shù)列，列方程找出q,d，從而可求出公比

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d，

因為的、《3、。63成等比數(shù)列，

2

所以?13=%,。63，即（卬+12d）2=（q+2"）（。1+62"）,

2

化簡得，d=2atd

d=0或d=2q

當(dāng)d=O時，等差數(shù)列的每一項都相等，所以。3、43、。63成等比數(shù)列時的公比為1

當(dāng)d=2q時，a3=a.+2d-5a.,a,3=a.+\2d=25a,,所以%'=5,

%

所以等比數(shù)列的公比為1或5

故答案為：1或5

【點睛】此題考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題

29.（2020?上海浦東新區(qū)?高三二模）若二項式（1+2）4展開式的第4項的值為4&，則

lira（尤+尤2+工3+...+%〃）=

n->oo\）

【答案】I

【分析】利用二項展開式的通項公式，得：￡=仁（2'）3=40,解得x=!，再由等比數(shù)列

6

求和公式，得：x+X1Xs---xn=-x1—f—1,從而極限可求.

【詳解】由已知可得：n=U（2"）3=4&,

即（2、）3=23,=JI,解得x=L,

6

xd)4x-

/.X+W+???+X”

1-x

r.\im(x+x2+x3+"Ulim-x

Z/TOO\)〃-?o)55

故答案為：:

【點睛】本題考查了二項式定理，等比數(shù)列求和公式以及求極限，考查了計算能力，屬于中

檔題.

30.（2020?上海金山區(qū)?高三二模）設(shè)“為（x+2）"-（x+l）"的展開式的各項系數(shù)

h

之和，加=一+bn=3]+[^（[幻表示不超過實數(shù)x的最大整

數(shù)），則（〃一尸+色,-加『的最小值為

【答案】|9

【分析】令龍=1可得/=3"-2",則岸=〃一〃.（I）,構(gòu)造函數(shù)可得<1,進

而可得a=”?。?轉(zhuǎn)化原條件可得所求即為點A〃,〃（,）卜點30,-?+6]勺距離

的平方的最小值，再由點A在曲線y=-gx（x>0）上，點3直線y=-gx+6上，聯(lián)立

方程后，求出交點后即可得解.

【詳解】令x=l，則?！?（1+2）"-（1+1）"=3"-2",

令/（司=呼（％?1）,則廣（司=1^,

函數(shù)f（x）在（l,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減,

InnJ-...、，In2-In3

—的最大值為一或一，

n23

又叱=ln后<ln?,—=ln^<ln-,

2232

.Inw.<in—H[JIn/I+A?In—<0,A0<n-f—<1,

n23(3)

5T)2+色?—m)2=(〃―7)2+

表示點A（7）卜菱一g.+6）的距離的平方，

點4在曲線y=gd-gx（x＞（））上，點5直線y=-;x+6上,

由，2]2解得x=2ge(3,4)或x=—26(舍去)，

y=——x+6

[-2

當(dāng)〃=3時，點A（3,3）到直線y=-；x+6的距離4=號=半，

當(dāng)〃=4時，點4（4,6）到直線y=—gx+6的距離&=也=苧〉%，

（〃—）2+（2-mJ的最小值為dj=（之"]='.

9

故答案為：—.

【點睛】本題考查了新定義下二項式定理、數(shù)列及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，

屬于中檔題.

31.（2020?上海靜安區(qū)?高三月考）設(shè)a（〃,y,）（z^eN*）是函數(shù)y=2x+L的圖像上的點,

直線x=〃+1與直線y=x,的交點為B”,的面積為5.，則!0S,的值為

【答案】1

【分析】先求出4(〃,2〃+3,4+|(〃+1,2〃+2+」7),紇(〃+1,2〃+，),再求出

nn+ln

S,=1-，最后求岫S”得解.

2cn2J+2cn-

【詳解】因為A,(〃，％)(〃eN*)是函數(shù)＞=2x+'的圖像上的點，

X

所以=2〃H—，所以A](〃,2〃H—),4+[(〃+1,2/1+2H------),

nn〃+1

直線x=〃+1與直線y=的交點為紇,

所以紇(〃+1,2〃+-).

n

所以-2+W

n

所以紇A,,”的面積S〃=1X1X(2+」7—L)=1+h二一工

2〃+1〃2〃+22〃

]

所以S〃=l—

2n2+2n

所以limS〃=l.

M—>00

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的極限的計算，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知

識的理解掌握水平.

32.（2020?上海靜安區(qū)?高三月考）設(shè)由復(fù)數(shù)組成的數(shù)列｛4｝滿足：對任意的〃eN*，都

有%L=i（i是虛數(shù)單位），則數(shù)列｛”“｝的前2020項和的值為

%

【答案】0

2019

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式得前n項和公式,可求得52020=?1（1+/+/+---+?）,

再運用1+注/+尸=0,嚴(yán)19=嚴(yán)4*4+3=/可得答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛%｝的首項為為，數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，則由已知得4=4廠\所以

SQO=4+%+/+…+4。20=4（1+計/+…+嚴(yán)I'），而l+i+/+『=0,產(chǎn)"9=廣必4+3=『,

所以^2020=4x504x（l+i+『+F）=o,

故答案為：0.

【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前〃項和，復(fù)數(shù)的運算，關(guān)鍵在于運用等比數(shù)

列的前〃項公式求和，/=_],]+,+『+『=0,屬于中檔題.

33.（2020?上海市進才中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛2｝的首項為4,且滿足

2（〃+1）4-3向=0（〃€N*）,則下列命題：①｛2｝是等差數(shù)列；②｛4｝是遞增數(shù)列；③

設(shè)函數(shù)/（x）=x—L—",則存在某個區(qū)間（〃,〃+l）（〃eN*）,使得/（x）在（〃,〃+1）

2

上有唯一零點；則其中正確的命題序號為—

【答案】②③

【分析】對于①，將已知遞推關(guān)系式變形可證得數(shù)列為等比數(shù)列：對于②，結(jié)合等比數(shù)列通

項公式可求得?！?，可驗證出。川-4>0,知數(shù)列遞增；對于③，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確

定了(“單調(diào)性，利用零點存在定理可得到結(jié)論.

【詳解】對于①，由+一解田=0得：也=2?%，

〃+1n

又：=4,是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，①錯誤；

對于②，由①知：^=4.2,--|=2,,+,,:.a?=n-2"+',

n

%+i_4=(〃+1)?2"+2_n.2向=2"|(2鹿+2—〃)=(〃+2)2向>0,

??.{0,}是遞增數(shù)列，②正確;

/y-2

對于③，由②知：。<a<1，y=2單調(diào)遞減,

%

n

單調(diào)遞增

2H+2

7?

當(dāng)〃=1時，/(1)=--,/(2)=-,[!!]/(1)/(2)<0,由零點存在定理知③正確；

綜上所述：正確的命題序號為②③.

故答案為：②③.

【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用問題，涉及到利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列、

根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式和確定數(shù)列增減性、零點存在定理的應(yīng)用等知識：解題關(guān)

鍵是能夠熟練掌握數(shù)列增減性和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.

34.(2020?上海浦東新區(qū)?高三三模)已知

x+X2+x，4----Fx"=ci0+6Z1(x—3)+4(x-3)"+6/j(x-3)'H-------Fa”(x-3)”(〃eN)>且

A

A1=4+4+%+…+〃〃，則lim—=

“TOO4”

4

【答案】y

【分析】令x—3=l,得到x,再代入到已知可得

23

4=?0+?.+?2+??■+??=4+4+4+L+4%根據(jù)等比數(shù)列前"項和公式求得A“，進而求

極限即可;

【詳解】解：因為X+r+X，d■???+x"=+4(X—3)+(X—3)-+(X—3)3+…+%(x—3)”,

令無一3=1，即尤=4,可得A,=4+4+/+…+4,=4+4?+43+L+4"

4(1-4")

=4

1-4

14,.4

所以lim&=Iim"4一”=1

M-X?4〃3-4"“TOO34"3"T，4"3

4

故答案為:

3

【點睛】本題主要考查利用賦值法求二項式張開式的系數(shù)和以及數(shù)列極限的求解，屬于中檔

題.

112

35.(2020?上海普陀區(qū)?高三三模)若實數(shù)a、6、c滿足一+7=一，則a、6、c是調(diào)和的，設(shè)含

b

有三個元素的集合尸是集合M=｛刈工區(qū)2020,xeZ｝的子集，當(dāng)集合P中的元素久"c既是

等差的又是調(diào)和的時候，稱集合熟“好集”，則三元子集中“好集”的概率是

3

【答案】

32643198

【分析】由已知求得集合R確定其個數(shù)，根據(jù)古典概率公式可求得答案.

1I2

【詳解】因為一+7=一，且a+c=2Z?,所以(a—8)(〃+2/?)=0,所以a=b(舍去)或。=—2b,

b

所以c=48,所以P={-2""4處,

又網(wǎng)<2020,解得一505WbW505,且人eZ為*0,所以三元子集中“好集”以H010個，所

10103

求的概率為尸=

404132643198'

3

故答案為:

32643198

【點睛】本題考查集合的新定義，理解其含義是關(guān)鍵，將問