2022年福建省高一數學競賽模擬試題參考答案及評分標準

2022年福建省高一數學競賽試題參考答案及評分標準（考試時間：5月14日上午8：30－11：00）一、選擇題（每小題6分，共36分）1．已知集合，則集合中所有元素的和為（）A．B．0C．2D．3【答案】B。所以，集合中所有元素的和為0。2．已知正三棱錐的三條側棱、、兩兩互相垂直，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解答】設，則三棱錐外接球的半徑。由，得?！啵忮F的體積。3．已知為實數，若存在實數，使得，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解答】由，得∵，∴，解得或?！嗟娜≈捣秶鸀椤?．、是兩條不重合的直線，、是兩個不重合的平面，則下列命題中，正確的命題的個數是（）（1）對、外任意一點，存在過點且與、都相交的直線；（2）若，，，則；（3）若，，且，則；（4）若，，，，則。A．1B．2C．3D．4【答案】B5．，若對任意實數均有，則的最小值為A．B．C．D．【答案A【解答】依題意，的圖像關于直線對稱?！?，。解得。?！啵?。∴，即時，取最小值。6．已知，，，若，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解答】由，得?！唷ＴO，則?！?，∴，解得，即，?！啵??！啵?。由，知，?！啵獾?。因此，。又當時，代入前面解得，。符合題設要求。∴的最小值為。二、填空題（每小題6分，共36分）7．已知定義在上的函數（，且）的值域也是，則的值為。當時，在上為增函數，依題意有，方程組無解。當時，在上為減函數，依題意有，解得。所以，。8．如圖，在三棱錐中，，，。設與所成的角為，則的值為。【解答】如圖，取中點，連接，。∵，，∴，，?！啵?。又由，知是等邊三角形。作于，則，且。∴是與所稱的角。∴。9．已知，，，點在線段內，且平分，則點的坐標為?！窘獯稹咳鐖D，方程為，設（）。又直線方程為，方程為，平分?！帱c到直線、距離相等?！唷＝獾?，（舍去）或。因此，點坐標為。10．設是定義在上以2為周期的偶函數，且在區(qū)間上單調遞減。若，，則不等式組的解集為?！窘獯稹俊呤桥己瘮?，且在區(qū)間上單調遞減?！嘣趨^(qū)間上為增函數。又是以2為周期的周期函數，∴在區(qū)間上為增函數。又，，以及是以2為周期的偶函數?！啵?。又，∴不等式組的解集為。11．已知，定義，，，，，…，則?！窘獯稹恳李}意，有，，，……………一般地，有。所以，。12．已知，，，且，則的最大值為?！窘獯稹坑?，知，當且僅當，且，即，時，等號成立。所以，的最大值為。三、解答題（第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，滿分78分）13．已知，且當時，恒成立。（1）求的解析式；（2）已知、是函數圖像上不同的兩點，，且。當、為整數，時，求直線的方程?！窘獯稹浚?）依題意，，。∴，且?！?。……………4分此時，，可見在區(qū)間上的最小值為?！嗟膶ΨQ軸為，即，?！唷！?分（2）由（1）知，。同理?！撸?。∴?！?2分又、為整數，且，∴，或，或。結合，得，?！?、坐標分別為、?！嘀本€的方程為?！?6分14．過直線：上一點作圓：的兩條切線、，、為切點。（1）在上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（2）若直線過原點，求點的坐標。【解答】（1）假設符合條件的點存在。則由，知?！?，，∴?！?分另一方面，由圓心到直線的距離，知。即，矛盾。因此，假設不成立?！喾蠗l件的點不存在?！?分（2）設為直線上一點。則?！帱c、在以為圓心，半徑為的圓上，即點、在圓上，即圓上。又點、在圓：上，即圓上。將上述兩圓方程聯立，消二次項，得。∴直線方程為?！?2分由直線過原點知，。聯立，解得，?！帱c的坐標為?！?6分15．如圖，為銳角三角形，于，為的垂心，為的中點。點在線段上，且。（1）求證：；（2）求證：?！窘獯稹浚?）由條件知，，，∴、、、四點共圓?！??！?分∵為的中點，∴，。延長交于點。由為的垂心知，?！??！?。又，，∴?！?分（2）由（1）知，。又，∴?！??！?2分又，∴。又，∴?！??！?6分16．已知為定義在上的奇函數，且當時，。。（1）若函數恰有兩個不相同的零點，求實數的值；（2）記為函數的所有零點之和。當時，求的取值范圍?！窘獯稹浚?）如圖，作出函數的草圖。由圖像可知，當且僅當或時，直線與函數的圖像有兩個不同的交點。所以，當且僅當或時，函數恰有兩個不相同的零點。因此，或?！?分（2）由的圖像可知，當時，有6個不同的零點?！?分設這6個零點從左到右依次設為，，，，，。則，，是方程的解，是方程的解。∴?！?2分∵時，，∴。∴時，的取值范圍為。………16分17．設集合是一個由正整數組成的集合，且具有如下性質：①對任意，在中去掉后，剩下的數的算術平均數都是正整數；②，，且是中最大的數。求的最大值。（符號表示集合中元素的個數）【解答】依題意，設，且。記，，則，其中，2，3，…，。