永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的非線性控制

永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的非線性控制

永速機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)非線性的多變量系統(tǒng)。由于可控對(duì)象的非線性和強(qiáng)耦合，因此無法應(yīng)用線性控制理論系統(tǒng)的能控性和能觀性分析。近20年來,微分幾何方法在非線性系統(tǒng)控制理論中得到了廣泛的應(yīng)用,并取得了一系列重要成果,發(fā)展成一種相當(dāng)完善的理論與方法——非線性控制系統(tǒng)的幾何理論.從非線性控制系統(tǒng)的幾何理論觀點(diǎn)來看,永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)屬于一類仿射非線性系統(tǒng),因此,可以應(yīng)用非線性控制系統(tǒng)的幾何理論對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)進(jìn)行分析.在此方面,已經(jīng)有一系列針對(duì)異步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的研究成果,文獻(xiàn)從能控性李代數(shù)概念出發(fā)證明了異步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是局部弱能控的,文獻(xiàn)從不變的最小分布的概念出發(fā)證明了感應(yīng)電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是弱能控和弱能觀的.永磁同步電動(dòng)機(jī)是由繞線式同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)發(fā)展而來,也是一類交流電機(jī),它的轉(zhuǎn)子利用永磁體代替電勵(lì)磁,定子仍要求輸入三相對(duì)稱正弦電流,它與異步電動(dòng)機(jī)在結(jié)構(gòu)和模型上有相似和相異之處.本文應(yīng)用非線性控制系統(tǒng)的幾何方法,對(duì)永磁同步電動(dòng)系統(tǒng)的能控性與能觀性進(jìn)行分析.1[1f]系統(tǒng)考慮仿射非線性控制系統(tǒng){?x=f(x,u)=f(x)+m∑i=1gi(x)ui(t)?yi(t)=hi(x),i=1,2,?,m.(1.1)其中,狀態(tài)x∈M,控制u∈N,輸出y∈W,M、N、W分別為n、m、r維微分流形,f(x)、g(x)、h(x)都是x的解析函數(shù).我們不加證明地引述下列定理:定理1.1考慮f(x,u)在u為不同常數(shù)下構(gòu)成的向量場(chǎng)集合F?{f(x,u)|u=const}?(1.2)記F所生成的李代數(shù)為?F,則?F中任意有限個(gè)元f1,f2,…,fs,s<∞作成的李括號(hào)[f1,f2,…,fs]在RL上的線性組合所形成的集合,即?F={F}LA={t∑λ=1rλ[fλ1,fλ2??,fλsλ]|rλ∈RL?fλj∈F?j=1,2,??sλ?sλ<∞?t<∞}.(1.3)上式所定義的?F稱為系統(tǒng)(1.1)的能控性李代數(shù),如果系統(tǒng)的能控性李代數(shù)在某一點(diǎn)x0滿秩,即dim{?F)|x=x0=n,(1.4)則系統(tǒng)在點(diǎn)x0處局部弱能控.定理1.2解析非線性系統(tǒng)在x0點(diǎn)強(qiáng)可接近的充要條件為dim{F0}x0=n,(1.5)且對(duì)任一T>0,R(x0,t)的內(nèi)點(diǎn)在R(x0,t)中稠.其中:F0={p∑i=1λiXi+Y|λi∈RL?p∑i=1λi=0,Xi∈?F,Y∈F′};F={f(x,u)|u=const};?F={F}LA={t∑λ=1rλ[fλ1,fλ2??,fλsλ]|rλ∈RL?fλj∈F?j=1,2,?,sλ?sλ<∞?t<∞}；F′={∑iri[Xi1,Xi2??,Xisi]|ri∈RL?i<∞?Xij∈F?j=1,2,?,si?2≤si<∞}.定理1.3構(gòu)造一簇C∞函數(shù)Η={p∑i=1λiLix1Lix2?Lixsi(hj)|p<∞?λi∈RL?xi1?xi2???xisi∈F?si<∞}?(1.6)定義能觀性余分布H={dc|c∈H},如果系統(tǒng)(1.1)在點(diǎn)x0處的能觀性余分布滿秩,即dim{H}|x0=n,(1.7)則系統(tǒng)在x0處局部弱能觀.2永磁同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的解析確定在一般情況下,永磁同步電動(dòng)機(jī)的輸入為三相交流電壓,當(dāng)采用電壓型SPWM逆變器供電時(shí),為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型,作如下假設(shè):①忽略鐵心飽和;②不計(jì)渦流和磁滯損耗;③轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組;④永磁材料的電導(dǎo)率為零;⑤相繞組感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是正弦的.運(yùn)用坐標(biāo)變換可以得到永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在任意旋轉(zhuǎn)的d、q坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型.d、q軸磁鏈方程:ψd=Ldid+ψf?(2.1)ψq=Lqid；(2.2)d、q軸電壓方程:ud=Rid+Ldpid-ω1Lqiq?(2.3)uq=Riq+Lqpiq+ω1Ldid+ω1ψf；(2.4)轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程:Τe=np[ψfiq+(Ld-Lq)iqid]?(2.5)Τe=ΤL+RΩωr+Jdωrdt.(2.6)其中:R為繞組電阻,L為繞組等效電感,i為繞組電流,ψ為繞組磁鏈,ωr為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度,下標(biāo)d、q表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸,下標(biāo)f表示永磁體,Te為電磁轉(zhuǎn)矩,TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩,RΩ為粘滯摩擦系數(shù),J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,np為極對(duì)數(shù),ω1為d、q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)速度.由上面各方程可得:[diddtdiqdtdωrdt]=[-RLdid-RLqiq-RΩJωr+np(Ld-Lq)Jidiq+npψfJiq]+[1Ld00]ud+[01Lq0]uq+[LqLdiq-LdLqid-ψfLq]ω1+[00-1J]ΤL.(2.7)設(shè)x=[x1x2x3]Τ=[ωridiq]Τ?u=[u1u2u3]Τ=[uduqω1]Τ?令a=npJψf?b=npJ(Ld-Lq)?c=RΩJ?k1=LqLd,k2=RLd,k3=1Ld,k4=RLq,k5=ψfLq,k6=1Lq,因而系統(tǒng)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)可表示為定義在Ω={x∈R3}上的仿射非線性系統(tǒng),如下所示:{?x=f(x)+g(x)u(t)=f(x)+3∑i=1gi(x)ui(t)+p(x)ΤL?yi(t)=hi(x),i=1,2,3?(2.8)其中:f(x)=[ax3+bx2x3-cx1-k2x2-k4x3]?g1(x)=[0k30]?g2(x)=[00k6]?g3(x)=[0k1x3-k5-1k1x2]?p(x)=[-1J00]?輸出h1(x)=x1,h2(x)=x2,h3(x)=x3.命題2.1永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在Ω={x∈R3|x3≠0}上是局部弱能控的.證明:設(shè)TL=0,則永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2.8)式為?x=f(x)+g(x)u(t)=f(x)+3∑i=1gi(x)ui(t).(2.9)經(jīng)計(jì)算可得:[f,g1]=?g1?xf-?f?xg1=[bk3x3-k2k30]?系統(tǒng)的能控性李代數(shù)為:?F={f,g1,g2}LA?(2.10)可得系統(tǒng)的能控性李代數(shù)?F的秩:dim{?F}|x3≠0=dim{g1,g2?[f,g1]}|x3≠0=3.(2.11)由定理1.1可知,系統(tǒng)(2.8)在Ω={x∈R3|x3≠0}是局部弱能控的.下面對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2.8)的可接近性進(jìn)行研究.命題2.2永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在Ω={x∈R3|x3≠0}是強(qiáng)可接近的.證明:因?yàn)閒(x)、g(x)、h(x)都是x的解析函數(shù),不難證明永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2.8)是解析的非線性系統(tǒng)(證明過程略).經(jīng)計(jì)算可得:?F={f,g1,g2}LA?F0={adkfgi|i=1,2,3;k≥0}?因?yàn)閧g1,g2?[f,g1]}?F0?而在證明永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)得弱能控性時(shí)我們已經(jīng)求得dim{g1,g2,[f,g1]}|x3≠0=3,所以有dim{F0}|x3≠0=3.(2.12)從而根據(jù)定理1.2可知,永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2.8)在Ω={x∈R3|x3≠0}上是強(qiáng)可接近的.命題2.3永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在Ω={x∈R3}是局部弱能觀的.證明:dh1=(100),dh2=(010),dh3=(001),Lfh2=-k2x2,d(Lfh2)=(0-k20),Lfh3=-k4x3,d(Lfh3)=(00-k4),H=span{dh1,dh2,dh3,d(Lfh1),d(Lfh2)},由上可得:dim{H}=3.(2.13)由定理1.3可知永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2.8)是局部弱能觀的.在上面的分析所得出的結(jié)論中,存在一個(gè)前提條件x3≠0,即iq≠0;從永磁同步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程可以看出,如果iq=0,則電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩為零.3永磁同步電動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性,原理如下結(jié)論1一般情況下,非線性系統(tǒng)的弱能控性并不能直接反映系統(tǒng)輸入控制狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的能力.我們研究永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的弱能控性,是為了能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行類似線性系統(tǒng)的局部能控性分解和Kalman分解等結(jié)構(gòu)分析工作.通過上述分析可知,永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在Ω={x∈R3|x3≠0}上是局部弱能控的,說明系統(tǒng)不存在不可控的結(jié)構(gòu)分解形式.結(jié)論2永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在Ω={x∈R3|x3≠0}上是強(qiáng)可接近的,也就是說,對(duì)于永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)xT(xT=[ωidiq]T),在Ω上都可以找到適當(dāng)?shù)目刂苪(u=[uduqω1]T),在Ω內(nèi)使系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡從初始狀態(tài)x0到達(dá)所需要的狀態(tài)xT,當(dāng)然狀態(tài)x的值必須在所規(guī)定的電動(dòng)機(jī)的額定值范圍內(nèi).結(jié)論3永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是局部弱能觀的表明系統(tǒng)的狀態(tài)x∈R3