2021江蘇蘇州鹽城常州揚(yáng)州四校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)模擬測試題含答案解析

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2021江蘇蘇州鹽城常州揚(yáng)州四校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)模擬測試題含答案解析

2020—2021學(xué)年高三四校聯(lián)考試卷

數(shù)學(xué)（正題）2必.3

注意事項(xiàng)

考生在S■題曲請認(rèn)真閱讀本注佬事項(xiàng)及3題&雄美?求：

I.本卷其4包含單“選掙題（累I尊~部8題）.多4速界題（第9題?果12題）、娘空題（第13

題~扉16圖）、解寫題（第17題~第22題）.莖崔滿分150分,考試時間為120分”.考試能來后.

請將事題卡文因.

2.￥題篇.詁雋務(wù)必將自己的H名、汨研序列號用0.5毫皋黑電墨水的簽字Z填寫在各堰卡的規(guī)定住

X.

3.請?jiān)诰眍}卡上按照?月?在對應(yīng)的各爰區(qū)域內(nèi)作整.在其他位五作各一律無效.作善■必須用0.5毫米

黑心墨水的基字Z.請注章字體工整.宅逐清卷.

4.請保持各題卡卡而清潔.不要折疊、疏物.一律不沮使用膠帶紙、修正及，可擦洗的圄球Z.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.已知集合/={x|x<1},8={x|log?.M0}.則彳「8為

A.（0J）B.（0,1]C.（-oo,l）D.（y/

2.復(fù)數(shù)』=2+i,4=l-3i,其中i為虛數(shù)單位，則==w在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于

A.第?象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.現(xiàn)有語文、教學(xué)、英語、物理各1本書，把這4本書分別放入3個不同的抽雇里，要求

每個抽腋至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)不在同一個抽瓶里,則放法數(shù)為

A.18B.24C.30D.36

4.在數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)中，常利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),也利用函數(shù)的解析式研究

函數(shù)的性質(zhì),下列函數(shù)的解析式（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）與所繪圖敦

最契合的是

2sinx

A.y=

x2+1

5.已知<y>0,0wR，函數(shù)/(x)=sin(由+0)圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為4,

函數(shù)g(x)=2lan(@x+0)圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為出,則有

A.d尸；d2B.dy=dzC.dx=ld2D.dl-4d2

6.已知雙曲線C：三一，=1(。>0.b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為4,4,點(diǎn)P在雙曲線C

上(異于頂點(diǎn))，直線P4，2的斜率乘枳為1，則雙曲線C的漸近線方程為

A.y=±yxB.y=土冬C.八土￥》D.y=±2x

7.已如A48c為等邊三角形，AB=2,A46C所在平面內(nèi)的點(diǎn)。滿足茄-充|=I,

則|萬|的最小值為

A.6-1B.2>/2-1C.26-1D.V7-1

8.若e-2lnx+a對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范國是

A.(-82]B.(-oo,l]C.(-00,2]D.(-?.cj

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題,每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分,不選或有錯選的得0分.

92020年1月18日?國家統(tǒng)計(jì)局公布r2020年度居民人均消費(fèi)支出的情況.并繪制了餅

圖,已知2020年度和2019年度居民在“其他用品及服務(wù)”中人均消費(fèi)支出大約分別為

462元和524元,現(xiàn)結(jié)合2019年度居民人均消費(fèi)支出情況，卜列結(jié)論中正確的是

(2020年全國居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成)(2019年全國居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成)

A.2020年度居民在“食品煙酒”項(xiàng)目的人均消費(fèi)支出所占總獺的百分率比2019年度的高

B2019年度居民人均消費(fèi)支出約為21833元

C.2019年度和2020年度居民在“生活用品及服務(wù)”項(xiàng)目上的人均消費(fèi)支出相等

D.2020年度居民人均消費(fèi)支出比2019年度居民人均消費(fèi)支出行所降低

10.已知實(shí)數(shù)滿足/-出>+6=05>1),下列結(jié)論中正確的是

A.624B.2。+心8

D.ab2-

4

II.已知四邊形/8CD是等腰梯形（如圖1）,/8=3,DC=I.Z5/1D=45*,DELAB.

將八4。￡沿。￡折起,使得/E_L￡5(如圖2),連結(jié)彳C,AB,設(shè).”是48的中點(diǎn).

卜列結(jié)論中正確的是

圖2

B.點(diǎn)￡到平面的距離為g

h.BCLAD

〃平面

C￡W/ICQD四面體/8C￡的外接球表面根為5"

12.若/(x)在區(qū)間［a可上有恒成立，則稱M為/(幻在區(qū)間句上的下界,且

下界M的最大值稱為/(幻在區(qū)間回句上的下確界.簡記為“心).已知/⑴是R1二的

奇函數(shù),且/(x+8)=/(-x)?當(dāng)xw［0,4］時.有/(x)=-x.若A>0,X>0,不等式

,以長，加以恒成立，下列結(jié)論中正確的是

A.宜線x=8是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

B若k=7,則%的最大值為4

C.當(dāng)iw［100416］時,/(x)=4-|x-108|

4

D.=則Ae［5,9］是不等式“|。"傳4”|」川恒成立的充分不必要條件

三、填空題：本大題共4小題，每小1g5分，共20分.

13.（3x-的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_.（用數(shù)字作答）

14.已知數(shù)列｛，.｝的前〃項(xiàng)和1=即士（〃€曠）,則數(shù)列［—!—］的前10項(xiàng)和為__

2J

15.在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP中,“爭上游”的答題規(guī)則為：首局勝利得3分,第.局勝利得

2分，失敗均得1分.如果甲每局勝利的概率為1,且答題相互獨(dú)立，那么甲作答兩局的

4

得分期望為_____

16.已知拋物線C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸是拋物線C上一點(diǎn)，以尸為圓心?半

徑為p的圓與尸產(chǎn)交于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作圓尸的切線，切點(diǎn)為/，若|P/|=J5p,且△OP。

的面枳為乎,則。=

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在①>/?cos8=2-2sin；cos??②?J5bsinC=ccosB,③（b+a）（b-a）=c'-V5ac這三個

條件中任選一個.補(bǔ)充在下面的問題中,并進(jìn)行解答.

問題：已知△/I6C的三邊所對的角分別為48,C.若a=4,c=?,，

求ZX/SC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解各，按第一個解暮計(jì)分.

18.（本小題滿分12分）

如圖所示,在四棱錐S-/f8C。中.底面488是正方形.對角線/C與8。交于點(diǎn)F?

側(cè)面S8C是邊長為2的等邊三角膨，點(diǎn)￡在棱8s上.

CF

（I）若SO〃平面/EC,求義的值：

（2）若平面S80_L平面求面角8-/S-C的余弦值.

19.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列/.｝中,a?>\,aiulog”，且數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)具有2倍關(guān)系.記。.所有

可能取值的集合為4,其元素和為S.（〃￡、?）.

（1）證明4為單元素集.并用列舉法寫出4,4：

（2）由（1）的結(jié)果.設(shè)&w、?.歸納出4A.”4A.2（只要求寫出結(jié)果）?并求S2A指

出S“.2與S”.i的倍數(shù)關(guān)系.

20.（本小題滿分12分）

我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家.制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.

某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量,加強(qiáng)科技創(chuàng)新,準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為

了了解年研發(fā)資金投入額X（單位：億元）對年蛆利額V（單位：億元）的影響?研究了

“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入題七和年盈利額乂的數(shù)據(jù).

通過對比分析,建立了兩個函數(shù)模型：①y=a+夕x，②y=其中a,fl,A,I

均為常數(shù).e為自然對數(shù)的底數(shù).令“=片，丫=10乂（，=12…,10）,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

10一，

XyuV

1

262156526805.36

10,1010.，次卜，-訊

?lI?I7，>!

112501302.612

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度,分析哪?個模型擬合程度更好？

（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù).建立丁關(guān)于X的回歸方程：（系數(shù)精確訓(xùn)小01》

(ii)若希望2021年盈利額】'為250億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額x為多少

億元？(結(jié)果精確到0.01)

￡（芍-祖%-1）

附：①相關(guān)系數(shù)，=

他（一）之仇-亞

11?■）

.￡卜,-可乂-力）

回歸直^y=a+Ar中：b=――；-----------.a-y-bx；

2，??。?）

②參考數(shù)據(jù)：In20.693,In55：1.609

21(本小題滿分12分)

已知桶國C:，+￡=1(。>6>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(2.1),且離心率為平,在線/與橢圓交于46

兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為M.

(1)求橢圓C的方程：

(2)若乙4P8的角平分線與x軸垂直，求PW長度的最小值.

21.(本小題滿分12分)

已知橢倒C：二■=|(。>b〉0)經(jīng)過點(diǎn)0(2.1)，且離心率為且.直線/與橢網(wǎng)交于48

a~b'2

兩點(diǎn)，線段.48的中點(diǎn)為M.

(1)求橢圓C的方程：

(2)若乙4P8的角平分線與x軸垂直，求長度的最小值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)年幻=smx,g(x)=a(e'-l)(a為常數(shù)).

2+cosx

(I)求函數(shù)/(x)在x=1處的切線方程：

<2)設(shè)F(x)=/(*)+(-l-M*)(neZ).

(i)若"為儲數(shù).當(dāng)a<0時.函數(shù)F(x)在區(qū)間(0.會上有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)"的取值范圍:

(ii)若”為奇《(.不等式F(x)W0在［。,2)上恒成立,求實(shí)數(shù)"的最小值.

2020—2021學(xué)年高三四校聯(lián)考試卷答案

數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中.

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.A2.D3.C4B5.C6.B7.C8.B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中.

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，不選或有錯選的得0分.

9.ABD10.ADII.BD12.BCD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.13514.—I5.H16.2

324

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

BB

解：選①：由G8s8=2-2sin另cos不得sin8+VJcos8=2?................................2分

即sm(8+S=l,因?yàn)?w(0,x),所以8哈................4分

選②：由正弦定理得得JJsin8sinC=sinrcos8，因?yàn)镾ECHO，

所以Gsin8=cosB.

因?yàn)閏osBwO,所以tan8=3.因?yàn)镾W(O,K),所以8=工.................4分

36

選③：由題意得c?+/-b?=，得cosB="'°——=.................2分

laclac2

因?yàn)锽e(0.n).所以8=工................4分

6

又因?yàn)?所以sinC=JJsinS==立.

smBb22

由Cw(Qx),所以C=：或C=.................................6分

當(dāng)C=W時,A=^.又因?yàn)閍=4,所以6=2,c=2，J.

則面積S=；X2X2G=2G.

當(dāng)。=今時，A=^.所以1=8.又因?yàn)閍=4,所以6=4.

36

則面枳S=，X4x4x-4-75.

22

綜上所述，A/f8c的面積為2/或4—?..........................10分

18.(本小題滿分12分)

解：(1)連結(jié)￡歹.TS。〃平面/￡C,SOu平面6SD,平面8SOA平面彳￡。=￡尸，

:.SD//EF...............................3分

底面48ro是正方形，尸為彳C中點(diǎn)，

???"?是SD的中位線，則￡=1?..............................4分

EB

(2)取8c的中點(diǎn)為O,彳。的中點(diǎn)為M,連結(jié)MO,則MO_L5C,

因?yàn)槠矫鍿8C1平面48c0,平面.Srfl平面H?CD=8C,。仞匚平面才水為，

所以0M_L平面SBC................................5分

又OS18c.所以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).

以｛麗.云?西｝為正交基底建，工空間宜角坐標(biāo)系。一4：.

M4(0-1,2),5(0,-1.0),C(0,l,0),S(V3.0.0).￡住一切,

從而文=(-VJ,LO),衣=(0.2.-2),翔=(0.0.-2),不=(61,-2).

設(shè)平面ASC的法向量為m=(xJ.：).

M|^；O'=0,取X=I,則尸6二=5

所以平面都C的一?個法向景為m=(I,V3,^).....................8分

設(shè)平面ASB的法向成為〃=(X,乂二),

rr__取y=6則x=-l,-=0.

\-j3x+y~~2z-Q.

所以平面ASB的一個法向量為〃=(-1,6,0)............................10分

???.面角6-/S-C的平面角為銳角，

???二面角8-4S-C的余弦值為也.................12分

7

19.（本小題滿分12分）

（1）證明：???q=k>g；!3w（L2）?..............................I分

數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)具有2倍關(guān)系，，a,=或2ax.

,.,■JOI<1.Wo,>1?a2=2a｝.

，4=｛加|｝為單元素集.................3分

由此,得4=｛%,4aJ,4=｛陰,防｝,

則4=｛q,4q,16q｝,..............................5分

4=｛陰網(wǎng),3陰｝?................6分

（2）由（1）的結(jié)果,歸納得

4*.|=]《,45.16。|，…,4”q｝,..............................7分

4A.2=｛201，的],32/1].…,2x4’01｝...............................8分

.4***-I4**1-1

S2A.i=%+4o,+I6fl]+…+4q=---a|=---log,3,..................!0分

因?yàn)?”.?中的每一個元素的兩倍構(gòu)成的集合等于4川.

所以S?k.?=2S”.].

20.（本小題滿分12分）

解：（1）設(shè)｛〃,｝和｛乂｝的相關(guān)系數(shù)為4.｛x,｝和佃）的相關(guān)系數(shù)為q,由題意,

￡（“山（乂-力13。13

也心睢人）「旃h"2分

4分

V|>1<■!

則hl<kl,因此從相關(guān)系數(shù)的角度,模型的擬合程度更好.?

（2）（i）先建；Zv關(guān)于X的線性回歸方程.

由，=1',得lny=，+必.即v=，+Ax,

.fkTRTI2

石------------—.7分

65

Zlai(y

t=v-5x=5.36-—x26=0.56.8分

65

所以v關(guān)于X的線性回歸方程為v=0,18x+0.56.

所以Inj=0.18x+0.56，則y=e0,Kx*056.10分

（ii）2021年盈利額歹=250（億元）,

所以250=e°血”56，則018.v+0.56=In250，

因?yàn)镮n250=3ln5+ln2=3x].609+0.693=5.52,

5.52-0.56

至27.56.

所以x二-0J8~~

所以2021年的研發(fā)資金投入量:約為27.56億元.

21.（本小題滿分12分）

解：（1）因?yàn)闄E圈經(jīng)過點(diǎn)尸且離心率為卓.

所以b「其中/=?>2+/,...............................2分

C幣

—=^―

a21

.所以橢例方程為』+?

?4分

2.82

（2）：因?yàn)镹/P8的角平分線與x軸垂直,所以際/+%&=（）.

設(shè)直線的斜率為無伏/0）,則直線的方程為：），=￡（x-2）+l.

y-）+1,

由Ix2y2得（1+4公氏2+84（1-2幻X+16M-16A-4=0.

一+;-=1,

所以玉g=t竺2_高gjt-二2，代入得乃~4.—4A+l

-1+4代―

8AL8A-2_4AL4“|8爐+84-2-4k2+4k+\

），同理可得躍

1(1+4/?1+4/\+4k2*-f+4p-).

所以心號.掙）.

，8分

1+4&1+4上

則M在直線x+2y=0上，所以PM的最小值為P到直線x+2y=0的距離.…10分

即dJ2尸?=4J,此時在橢網(wǎng)內(nèi),

V55\55)

所以PM的最小值為竽.

12分

（此處亦可用函數(shù)法處理：,'=/（林黑泮（匕。））

因此尸”的最小值為容.

22.(本小題滿分12分)

5/,、：,，、cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)2cosx+l.八

峪(1)/<1)=--------------------------=u7^771............................2分

諭%當(dāng)時,《34