人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第05講 1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（含解析）

第05講1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系課程標準學(xué)習(xí)目標①理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.②會用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念并會求出直線的方向向量與平面的法向量.能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.知識點01：用向量表示點、直線、平面的位置1、用向量表示點的位置：在空間中,我們?nèi)∫欢c作為基點,那么空間中任意一點就可以用向量表示.我們把向量稱為點的位置向量.如圖.2、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使得，即3、空間直線的向量表示式如圖②,取定空間中的任意一點,可以得到點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①或②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.4、用向量表示空間平面的位置根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實數(shù)對，使得，如圖；取定空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)，，使.知識點02：平面的法向量及其應(yīng)用1、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．2、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.【即學(xué)即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．知識點03：空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知平面α的一個法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A． B．C． D．l與α相交但不垂直【答案】A【詳解】因為，所以，即，所以.故選：A知識點04：空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.【答案】【詳解】∵l⊥α，則∥，則，解得.故答案為：.題型01平面的法向量及其求法【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）空間直角坐標系中，已知點，，，則平面的一個法向量可以是（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即.對A：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，A錯誤；對B：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，B錯誤；對C：若，則，即與共線，故是平面的法向量，C正確；對D：若，由，可得：與不共線，故不是平面的法向量，D錯誤；故選：C.【典例2】（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長為1，以為原點，為單位正交基底，建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，∴平面的一個法向量為∶,選項中的向量與不共線，D中向量符合題意，故選︰D．【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖的空間直角坐標系中，垂直于正方形所在平面，與平面的所成角為，為中點，則平面的單位法向量______．（用坐標表示）【答案】【詳解】如圖，連接BD，因平面，則是與平面所成的角，即，在正方形中，，而，則有，于是得，PB中點，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，與共線的單位向量為，所以平面的單位法向量.故答案為：【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個向量，，則該平面的一個法向量為（

）A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)【答案】C【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個法向量為＝(x，y，z)，則有，即，令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以＝(－2，1，1)，故A，B，D錯誤.故選：C.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知四邊形是直角梯形，，平面，，，求平面的一個法向量．【答案】【詳解】以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，，設(shè)平面SCD的一個法向量為，則有，是平面SCD的一個法向量．題型02利用向量方法證明線線平行【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知在正四棱柱中，,，點為的中點，點F為的中點．(1)求證：且；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）在正四棱柱中，可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．（1）由，，，得且，所以且．（2），由于，顯然，故．【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長方體中，，，，點、在棱、上，且，，點、分別為、的中點．求證：直線直線．【答案】證明見解析.【詳解】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面是一個直角梯形，其中,,,，且底面，與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；(2)若垂直于，證明：；(3)在（2）的條件下，上是否存在點，使得，若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在．【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，此時；（2），，；（3）由，E點的豎坐標為，點的豎坐標為，設(shè)，由，得，存在．

【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在正方體中，點在線段上，點在線段上，線段與直線和都垂直，求證：.【答案】證明見解析【詳解】證明：以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，設(shè)=(a，b，c)，則即取=(1，1，-1).易知，∴，∴，即PQ∥BD1.題型03利用向量方法證明線面平行【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則，即，即，解得.故選：C．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，是的中點，，且平面，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為原點，分別以，，的方向為，，軸為正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，，，則，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，當時，，則，因為平面，所以，所以，解得，故選：B【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【答案】證明見解析【詳解】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.【典例4】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．證明：平面；【答案】證明見解析【詳解】證明：因為BC⊥CD，AD⊥平面BCD，故以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，過點C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè),，，，,，Q，(,,0)，∵平面BCD的法向量可取為，則，又平面BCD，∴PQ平面BCD．【典例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，分別是，的中點，平面⊥平面.(1)求證：平面；(2)若，在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）在斜三棱柱中，連接，如圖，因四邊形是菱形，則，又D，E分別是AC，的中點，有，因此，，因△ABC為正三角形，則，又平面⊥平面，平面平面，平面，于是得平面，又平面，從而得，而，平面，所以平面.（2）連接，菱形中，，則是正三角形，而D是AC的中點，即有，由(1)知，兩兩垂直，以D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，令，則，，，令是平面的一個法向量，則，令得，假設(shè)在線段上存在點M，使得平面，則，令，，因平面，則，，解得，所以在線段上存在點M，使得平面，此時.【變式1】（多選）（2023春·高二課時練習(xí)）在正方體中，為中點，若直線平面，則點的位置可能是（

）A．線段中點 B．線段中點 C．線段中點 D．線段中點【答案】ABD【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)的中點分別為，不妨設(shè)棱長為2，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，又，則，，又平面，則都平行于平面，即若直線平面，則點F的位置可能是線段中點，線段中點或線段中點.故選：ABD.【變式2】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，．若直線平面，則實數(shù)的值為__________．【答案】-4【詳解】若直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個法向量垂直，由此可得，解得.故答案為：【變式3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在上，且，，求證：平面.【答案】證明見解析【詳解】因為矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．不妨設(shè)的長分別為，以為正交基底，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以.因為，，所以.又平面的一個法向量是由,得.因為平面，所以平面.【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，.(1)求證：；(2)在上是否存在點，使得平面，若存在，確定點位置并說明理由，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)在上存在點使得平面，且為的中點．【詳解】（1）因為，，，所以，如圖所示，在直三棱柱中，以為坐標原點，直線、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，因為，，所以，，即.（2）若存在點使平面，則，，，，，，因為平面，所以存在實數(shù)、，使成立，則，解得，故在上存在點使平面，此時點為中點.題型04利用向量方法證明面面平行【典例1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．7【答案】B【詳解】因為，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：平面平面．【答案】證明過程見詳解【詳解】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，，分別是,的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).（1）設(shè)=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則⊥，⊥，即得令z1=2，則y1=-1，所以=(0，-1，2).因為·=-2+2=0，所以.又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）=(2，0，0).設(shè)=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由⊥，⊥，得令z2=2，則y2=-1，所以=(0，-1，2).因為=，所以平面ADE∥平面B1C1F.【典例4】（2022·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點．在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】存在，為的中點.【詳解】當為的中點時，平面平面．證明如下：設(shè)符合題意．連接，，．以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴平面的一個法向量為．若平面平面，則也是平面的一個法向量．∵，∴，∴，又，∴當為的中點時，平面平面．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點．(1)用向量法證明平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，即，故平面平面；【變式2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，點，分別是正方形和正方形的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，所以，由于，所以平面.（2）設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，，平面，所以平面.（3），設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，顯然，平面與平面不重合，所以平面平面.題型05利用向量方法證明線線垂直【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知下面給出的四個圖都是各棱長均相等的直三棱柱，為一個頂點，，，分別是所在棱的中點．則滿足直線的圖形個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】令棱長均相等的直三棱柱為，令的中點為O，的中點為，，連接，顯然，而平面，則平面，而，以點O為原點，向量的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，對于①，點A，D，F(xiàn)分別與點P，O，重合，點E為棱中點，則，，有，因此，圖①滿足；對于②，點A與點P重合，點D，E，F(xiàn)分別棱的中點，有，，，與不垂直，圖②不滿足；對于③，點A，D，E分別與點P，，O重合，點F為棱的中點，有，，，與不垂直，圖③不滿足；對于④，點A，F(xiàn)分別與點N，重合，點D，E分別棱的中點，有，，，因此，圖④滿足，所以滿足直線的圖形個數(shù)是2.故選：B【典例2】（多選）（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校c在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，若正方體邊長為，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則點、、，設(shè)點，，，因為，則，所以，，所以，.故選：BC.【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，證明：．

【答案】證明見詳解【詳解】證明：以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為正方體棱長為1，分別是的中點，所以，所以，所以，由，所以，即.【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點．求證：；【答案】證明見解析【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以面，又面，故，因為，所以，則兩兩垂直，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，故，所以，所以，故.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因為，所以，則，解得.故選：B.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，點，分別在上，為的中點，若，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于直三棱柱，且，所以以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則．由，可得．設(shè)，則，，即，解得．所以故選：B【變式3】（2023秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且，其中，以為原點建立空間直角坐標系.(1)寫出點，的坐標；(2)求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)空間直角坐標系可得，.（2）∵，，∴，.即，∴，故.【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，、分別是棱、上的動點，且.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：如圖建立坐標系設(shè)，則，，，所以，，所以，所以；題型06利用向量方法證明線面垂直【典例1】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的方向向量，是平面的法向量．若，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若，則，即，解得，且，即.故選：C.【典例2】（2023春·江蘇南通·高二海門中學(xué)?？计谥校┱襟w的棱長為1，點在線段上，且．點在平面上，且平面，則線段的長為________．【答案】/【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，則是靠近的線段的三等分點，，，，在平面上，設(shè)，則，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案為：．【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長都為2，為的中點．求證：平面.【答案】證明見解析【詳解】如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，平面ABC，則，，平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標原點，以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以，則，可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，BA1∩BD＝B，平面，所以AB1⊥平面A1BD.【典例4】（2023春·四川達州·高二?？茧A段練習(xí)）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形,為的中點，.(1)求證:面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)三棱錐的體積為.【詳解】（1）方法一：四邊形為平行四邊形，，又，，，又平面，以為坐標原點，為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，即，，，平面，平面.方法二：因為，，可得，，又，.又是直四棱柱，平面，平面，.，平面，平面，平面，，取中點，連接，且，為平行四邊形，，=，，，，

又，，又，平面，平面；（2）在中，，所以，在中，，所以，因為，，，所以，所以為直角三角形，其面積，因為面，所以三棱錐的底面上的高為，在中，，所以，所以.所以三棱錐的體積為.【典例5】（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點．(1)求證：平面．(2)若，線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析.【詳解】（1）如圖1，連結(jié)交于點.因為是正方形，所以是的中點，又是的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）存在，理由如下：因為平面，平面，所以．因為為正方形，所以．又，平面，平面，所以平面．以點為坐標原點，過點作的平行線為軸，分別以為軸，建立空間直角坐標系，如圖2，則，，，，，，所以.令，則,所以，所以.因為，，設(shè)是平面的一個法向量，則，所以，取，則是平面的一個法向量.因為平面，所以，所以有，解得，所以.因為，所以.【變式1】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)?？计谀┮阎本€的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______．【答案】【詳解】因為，所以，所以，解得，所以.故答案為：.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一點，且,若平面，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則,所以，由,可得，所以,平面,所以,所以,即，解得，當為線段上靠近的四等分點時，平面.故選:.【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點.請用空間向量知識解決下列問題：(1)求證：；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為面面，面面，，面，所以面，又面，所以，又因為在正方形中，，所以兩兩垂直，以D為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為M為EC的中點，所以，故，，所以，故即.（2）由（1）得，，，所以，則即，又，故即，又，平面，所以平面.【變式4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，、分別、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，易知平面的一個法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.【變式5】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點，．(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）連接AC，因為F為BD中點，底面ABCD是正方形，所以F為AC中點，又E為PA中點，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）不存在．假設(shè)存在，連接AC，BD，交于點F，EF為平面EDF和平面PAC的交線，取的中點O，連接，則，因為側(cè)面底面ABCD，面底面，面，所以面，又因為面，所以，以O(shè)為原點，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面EFD的一個法向量是，∵，即，令，則，∵因為平面EDF，∴，∴，，，∵，共線，，，∴，∴，無解，故在棱PC上不存在一點G，使平面EDF．題型07利用向量方法證明面面垂直【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，分別為，的中點，四邊形是邊長為1的正方形，，．點在直線上，若平面平面，則線段的長為_________．【答案】/【詳解】連接EO，因，則，而平面，且平面平面，平面平面，于是得平面，又平面，平面，即有，，而四邊形BCDO是邊長為1的正方形，以O(shè)為原點，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，則，設(shè)，，，設(shè)平面BMN的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面ABE的一個法向量，則，令，得，因為平面平面ABE，則有，即，解得，所以線段AN的長為．故答案為：【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，是一個正三角形，平面，，且，是的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個法向量是，則，取，則，即，因為，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點．證明：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又因為AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，依題意，以點A為原點，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E為棱PC的中點，得E(1,1,1)，則，所以為平面PAD的一個法向量，又，所以BE⊥AB，又平面PAD，所以BE∥平面PAD．（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，即，令y＝1，可得z＝1，所以，又，所以，所以平面PAD⊥平面PCD．【典例4】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖1，在邊長為2的菱形中，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）證明：，，又平面平面，所以平面，平面，，又平面平面，平面；（2）解：存在，理由如下：平面，∴以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，假設(shè)在線段上存在一點，使得平面平面，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得．設(shè)平面的法向量為，，故，取，得．因為平面平面，所以，解得，所以在線段上存在點，使得平面平面，且．【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，，為的中點，求證：平面平面.【答案】證明見解析【詳解】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為坐標原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，，設(shè)平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，則，即令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．設(shè)平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，則，即,令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．因為＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、，設(shè)中點為．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)這樣的點F存在，為線段BD上靠近點D的一個四等分點【詳解】（1）易得，所以直二面角的平面角為∠PDA＝90°，因為平面平面，平面平面，平面，所以PD平面ABCD，因為平面ABCD，所以PDBC，又在平面四邊形ABCP中，由已知數(shù)據(jù)可得，，且，所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD，故BC平面PBD，因為BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC；（2）假設(shè)線段BD上存在一點F，使得EF平面PBC，則由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，則以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示．所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，則PB的中點E(1，1，1)，因為點F在線段BD上，所以，所以，則，又，設(shè)平面PBC的法向量為，所以令則，所以，因為EF平面PBC，所以，所以，解得，所以線段BD上存在一點F，使得EF平面PBC，且為線段BD上靠近點D的一個四等分點A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是平面的一個法向量，是直線l的一個方向向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是（

）A．平行或直線在平面內(nèi)B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直【答案】A【詳解】因為，所以，所以直線l與平面的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C． D．【答案】B【詳解】，，，則有，又是直線l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.故選：B3．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點在平面內(nèi)，平面，其中是平面的一個法向量，則下列各點在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)是平面內(nèi)的一點，則，所以，即，選項滿足．故選：B4．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面，，以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，為平面的一個法向量，則的坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意得，，則設(shè)，則，取則，所以故選：D5．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谥校┰谡襟w中，點P為線段上的動點，M，N分別為棱的中點，若平面，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】方法1：如圖所示，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2，可得，，，，，，設(shè)，，可得,,，可得,,，可得,,，,設(shè)平面法向量為，，，可得，可得，令，可得，由于平面，則，可得，解得，即．方法2：連接,交于點,則,連接,延長DP交B1D1于G,由于平面，平面,且平面平面,所以,設(shè)正方體的棱長為1，則,故直角三角形中，,所以，所以,由,所以四邊形為平行四邊形，所以根據(jù),故故選：A6．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知直線，且l的方向向量為，平面的法向量為，則（

）A．1 B． C． D．8【答案】C【詳解】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，即，解得.故選：C.7．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┰谡襟w中，M是線段（不含端點）上的動點，N為BC的中點，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面【答案】B【詳解】因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正確；以點D為原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)，則，，，，.設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則有可取，得.又，則，故A不正確；因為，所以，故D不正確；因為，所以，故C不正確．故選：B．

8．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】如圖所示，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個法向量為.因為平面EFC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C二、多選題9．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知直線的方向向量為，兩個不重合的平面，的法向量分別為，，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【詳解】對于A：因為，為平面的法向量，所以為平面的一個法向量，所以.故A正確；對于B：因為為平面的法向量，直線的方向向量為，且，所以或在面內(nèi).故B錯誤；對于C：因為兩個不重合的平面，的法向量分別為，，且，由垂直于同一直線的兩平面平行可知：.故C正確；對于D：因為，所以.又因為兩個不重合的平面，的法向量分別為，，所以由面面垂直的判定定理可得：.故D正確.故選：ACD10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，為線段上的動點，則（

）A．B．若為線段的中點，則平面C．點B到平面CEF的距離為D．的最小值為48【答案】ABC【詳解】因為是矩形，所以，又因為矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面與正方形相交于，所以平面，而平面，所以，而是正方形，所以，因此建立如下圖所示的空間直角坐標系，則有，因為，所以有，因此選項A正確；當為線段的中點時，，，，設(shè)平面的法向量為，于是有，因為平面，所以選項B正確；，，所以點B到平面CEF的距離為，因此選項C正確；設(shè)，，，當時，有最小值47，因此本選項不正確，故選：ABC三、填空題11．（2023春·高二課時練習(xí)）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若l⊥α，則實數(shù)λ的值為________．【答案】/【詳解】因為l⊥α，所以與共線，則存在實數(shù)m使得，且，可得，解得，故答案為：.12．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是______________

（填寫正確的序號）【答案】①③【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，對于①，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，即，所以①正確，對于②，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以②錯誤，對于③，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，即，所以③正確，對于④，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以④錯誤，故答案為：①③四、解答題13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因為，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設(shè)平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個法向量，因為，所以，因為平面BDE，所以平面BDE．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，點為棱的中點.證明：(1)；(2)平面；(3)平面⊥平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）證明：依題意，以點為原點建立空間直角坐標系(如圖)，，可得.由為棱的中點，得.(1)向量，故.所以.（2）取的中點，設(shè)為，連接，分別是的中點，且，由題意知，，且，即四邊形為平行四邊形，即，面面，平面.

（3）底面，底面，，，，，面，，面，面，平面⊥平面.B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點，下列四個結(jié)論中，正確的是（

）A．平面B．存在點，使平面C．存在點，使D．【答案】D【詳解】當與重合時，又平面，則平面，故A錯誤；設(shè)正方體的棱長為1，以點為坐標原點，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)，又，∴，，則，∴，∵，，∴與不垂直，而平面，則與平面不垂直，故B錯誤；，若，則，則，此方程無解，故不存在點，使，故C錯誤；∵，，，∴，故D正確．故選：D．2．（2023春·高二課時練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，由題意可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則所以平面的一個法向量為因為平面，則設(shè)，則，所以解得，所以，即故選:C.3．（多選）（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，M為邊的中點，點P在底面ABCD內(nèi)運動（包括邊界），則下列說法正確的有（

）

A．存在點，使得B．過三點、、的正方體的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．點在棱上，且，若，則滿足條件的的軌跡是圓【答案】BC【詳解】