反證法練習(xí)題

一、選擇題1．否認(rèn)結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，對(duì)的的是()A．有一種解B．有兩個(gè)解C．最少有三個(gè)解D．最少有兩個(gè)解[答案]C[解析]在邏輯中“至多有n個(gè)”的否認(rèn)是“最少有n＋1個(gè)”，因此“至多有兩個(gè)解”的否認(rèn)為“最少有三個(gè)解”，故應(yīng)選C.2．否認(rèn)“自然數(shù)a、b、c中恰有一種偶數(shù)”時(shí)的對(duì)的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或最少有兩個(gè)偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中最少有兩個(gè)偶數(shù)[答案]B[解析]a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有下列幾個(gè)狀況：①全是奇數(shù)；②有兩個(gè)奇數(shù)，一種偶數(shù)；③有一種奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)；④三個(gè)偶數(shù)．由于要否認(rèn)②，因此假設(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或最少有兩個(gè)偶數(shù)”．故應(yīng)選B.3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中最少有一種不不不大于60°”時(shí)，反設(shè)對(duì)的的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不不不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都不不大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一種不不大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)不不大于60°[答案]B[解析]“最少有一種不不不大于”的否認(rèn)是“都不不大于60°”．故應(yīng)選B.4．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中最少有一種是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)對(duì)的的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一種偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)[答案]B[解析]“最少有一種”反設(shè)詞應(yīng)為“沒(méi)有一種”，也就是說(shuō)本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù)．5．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否認(rèn)應(yīng)當(dāng)是()A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)≤bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≥b[答案]B[解析]“a>b”的否認(rèn)應(yīng)為“a＝b或a<b”，即a≤b.故應(yīng)選B.6．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線[答案]C[解析]假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應(yīng)選C.7．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋1b，c＋1a，b＋1c中()A．都不不不大于－2B．都不不大于－2C．最少有一種不不不大于－2D．最少有一種不不大于－2[答案]C[解析]a＋1b＋c＋1a＋b＋1c＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2b＋1b＝－－b＋－1b≤－2c＋1c＝－－c＋－1c≤－2∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6∴三數(shù)a＋1b、c＋1a、b＋1c中最少有一種不不不大于－2，故應(yīng)選C.8．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面[答案]B[解析]對(duì)于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α)；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)P與l、m都異面的直線不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]C[解析]由于只有一人獲獎(jiǎng)，因此丙、丁只有一種說(shuō)對(duì)了，同時(shí)甲、乙中只有一人說(shuō)對(duì)了，假設(shè)乙說(shuō)的對(duì)，這樣丙就錯(cuò)了，丁就對(duì)了，也就是甲也對(duì)了，與甲錯(cuò)矛盾，因此乙說(shuō)錯(cuò)了，從而知甲、丙對(duì)，因此丙為獲獎(jiǎng)歌手．故應(yīng)選C.10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xn<xn＋1，或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xn>xn＋1”，當(dāng)此題用反證法否認(rèn)結(jié)論時(shí)，應(yīng)為()A．對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0[答案]D[解析]命題的結(jié)論是“對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”．故應(yīng)選D.二、填空題11．命題“任意多面體的面最少有一種是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否認(rèn)是________．[答案]沒(méi)有一種是三角形或四邊形或五邊形[解析]“最少有一種”的否認(rèn)是“沒(méi)有一種”．12．用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中最少有一種能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“最少有一種”的否認(rèn)是“都不能”．13．用反證法證明命題：“一種三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為下列三個(gè)環(huán)節(jié)：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②因此一種三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.對(duì)的次序的序號(hào)排列為____________．[答案]③①②[解析]由反證法證明的環(huán)節(jié)知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，必定結(jié)論即②，即次序應(yīng)為③①②.14．用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程以下：假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，尚有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)．[答案]質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)除p1、p2、…、pn之外[解析]由反證法的環(huán)節(jié)可得．三、解答題15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.[證明]用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一種為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，因此假設(shè)不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．16．已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)不不大于14.[證明]證法1：假設(shè)(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都不不大于14.∵a、b、c都是不大于1的正數(shù)，∴1－a、1－b、1－c都是正數(shù).(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.三式相加，得(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，即32＞32，矛盾．因此(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都不不大于14.證法2：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)不不大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>143①由于0<a<1，因此0<a(1－a)≤1－a＋a22＝14.同理，0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14.因此(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤143.②由于①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，故原命題成立．17．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題與否成立，并證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命題：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.下面用反證法證之．假設(shè)a＋b<0，那么：a＋b<0?a<－b?f(a)<f(－b)a＋b<0?b<－a?f(b)<f(－a)?f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．這與已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命題得證．18．(?湖北理，20改編)已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1423n－1.求證：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．[解析]假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br、bs、bt(r<s<t)按某種次序成