2021高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷（八）

2021年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷（八）

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知集合

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合，然后利用交集的定義可求出集合

【詳解】

,因此,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.若

【答案】D

【解析】

分析：三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的比值都是，因此三者可化為的形式，該函數(shù)為

上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到三個(gè)對(duì)數(shù)的大小關(guān)系.

上是單調(diào)增函數(shù).

,所以

即.故選D.

點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)的大小比較，要觀察不同對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系，還要關(guān)注對(duì)數(shù)本身的底數(shù)與其數(shù)的

關(guān)系，從而找到合適的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小.

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

：若復(fù)數(shù)滿足，則

：若復(fù)數(shù)滿足，則

：若復(fù)數(shù)滿足,則；

：若復(fù)數(shù)，則

其中的真命題為

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

令，貝岫得，所以，故正確

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而知，故不正確；

當(dāng)時(shí)，滿足，但，故不正確；

對(duì)于，因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確，故選B.

點(diǎn)睛:分式形式的復(fù)數(shù)，分子、分母同乘以分母的共筑復(fù)數(shù)，化筒成的形式

進(jìn)行判斷，共輒復(fù)數(shù)只需實(shí)部不變，虛部變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)即可.

4.如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

問(wèn)折者高幾何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹

尖與竹根的距離三尺，間折斷處離地面的高是（）

A.2.55尺B.4.55尺C.5.55尺D.6.55尺

【答案】B

【解析】

【分析】

將問(wèn)題三角形問(wèn)題，設(shè)出另一直角邊，則可求出斜邊的長(zhǎng)，最后利用勾股定理可求出另一直角邊.

【詳解】

已知一直角邊為3尺，另兩邊和為10尺，設(shè)另一直角邊為尺，則斜邊為尺，由勾股定理

可得：，可得尺.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

5.函數(shù)在區(qū)間附近的圖象大致形狀是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

通過(guò)求特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

過(guò)點(diǎn)，可排除選項(xiàng)4〃又，排除C

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

6.在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案.該方案中“2”指的是從政治、地

理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么政治和地里至少有

一門被選中的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本題可從反面思考，兩門至少有一門被選中的反面是兩門都沒(méi)有被選中，兩門都沒(méi)被選中包含1個(gè)

基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.

【詳解】

設(shè)兩門至少有一門被選中，則兩門都沒(méi)有選中｝,包含1個(gè)基本事件，

則，所以，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中合理應(yīng)用對(duì)立事件和古典概型及其概率的計(jì)

算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.若向量滿足，且，則向量的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

由，平方求出，代入向量夾角公式，求出的夾角余弦值，即可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)的夾角為

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長(zhǎng)和向量的夾角計(jì)算,著重考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

8.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中

的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)

文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)

平方減1再除以2,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，如圖所示的程

序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的，那么在兩個(gè)判斷框中，可以先后填入（）

A.是偶數(shù)？，?B.是奇數(shù)？，?

C.是偶數(shù)？，?D.是奇數(shù)？，?

【答案】D

【解析】

根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以，奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減再除以，可知第一個(gè)框應(yīng)該是“奇

數(shù)”，執(zhí)行程序框圖，

結(jié)束，所以第二個(gè)框應(yīng)該填,故

9.以分別表示等差數(shù)列項(xiàng)和，若,則的值為

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,即可把轉(zhuǎn)化為求解.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).若

,則的方程為（

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得，，可得橢圓的方程.

【詳解】

解：

又

又

在軸上.

在△

在4中，由余弦定理可得

根據(jù)，可得，解得

所以橢圓的方程為：

故選：.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義及余弦定理，屬中檔題.

11.設(shè)函數(shù)若關(guān)于X的方程恰好有六個(gè)不同的

實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

A.(2—2)B.(—2—2,2—2)

C.(,+8)D.(2-2,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

畫(huà)出的圖像，利用圖像，利用換元法，將方程恰好有六

個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由此列不等式

組，解不等式組求得的取值范圍.

【詳解】

畫(huà)出的圖像如下圖所示，令，則方程轉(zhuǎn)化為

,由圖可知，要使關(guān)于的將方程恰好有六個(gè)不

同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以

,解得

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)根于判別式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方

法，屬于中檔題.

12.過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、、，且、、兩兩夾角都

為，若，則該球的體積為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分析四面體是正四面體，各條棱長(zhǎng)均為，依據(jù)正四面體外接球半徑的求

法即可得解.

【詳解】

由題：在四面體中，，

所以均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)均為，

所以四面體是正四面體，棱長(zhǎng)為，如圖：

根據(jù)正四面體特征，點(diǎn)在底面正投影是底面正三角形的中心，外接球球心在線段上，

設(shè)外接球半徑為，取中點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)的截面圓的半徑，

在^中，，

則球心到截面的距離

在^中，，，

解得，

所以球的體積

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查求正四面體外接球的體積，通過(guò)幾何體的特征，確定一個(gè)截面，尋找球心，根據(jù)三角形關(guān)

系求出半徑即可求解，平常的學(xué)習(xí)中有必要積累常見(jiàn)幾何體外接球半徑的求法.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

【答案】

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出所求切線的方程.

【詳解】

依題意得，因此曲線在處的切線的斜率等于，

所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

14.記￡為等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和.若，則$=..

【答案】.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到.

題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】

詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知

,即

解得，

所以

【點(diǎn)睛】

準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.本題由于涉及事的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生

易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算

,避免繁分式計(jì)算.

15.甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、

乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把乘以2后再減去

12,；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把除以2后再加上12,這樣就得到一個(gè)新的實(shí)

數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，甲獲勝，否

則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是

【答案】

【解析】

【分析】

按要求操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)，列舉得到新的實(shí)數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的

概率為，解出外的結(jié)果.

【詳解】

國(guó)的結(jié)果有四種，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，

1.芻-2包-12f2(2跖-12)-12=44-36=①,

2.2歷-12f12=@[+6=?,

3.12f+1218=的

4.12f2(12)-12=當(dāng)+12=如

Va1+18>^1,a+36>&,

要使甲獲勝的概率為，

即%>&的概率為，

...4當(dāng)-36＞團(tuán),18W4,

或4a,-36Wa”18>a,,

解得MW12或罰224.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義問(wèn)題，考查概率綜合，意在考查學(xué)生的讀題審題能力，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題

16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與圓

相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的

離心率為.

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合雙曲線第一定義，再將所有邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中，化簡(jiǎn)

求值即可

【詳解】

如圖，由題可知，，則

又，，，

又，

作，可得，，則

在，，即

又,化簡(jiǎn)可得,同除以，得

解得

雙曲線的離心率為

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用雙曲線的基本性質(zhì)求解離心率的問(wèn)題，利用雙曲線的第一定義和中位線定理將所有

邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解題關(guān)鍵，一般遇到此類題型，還是建議結(jié)合圖形來(lái)進(jìn)行求

解，更直觀更具體

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第

17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.如圖所示，在中，NB,的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2bsinAcos5+asin5=0,a=1,c=2.

(1)求6和sinC；

BD也

(2)如圖，設(shè)〃為4c邊上一點(diǎn),,求△的面積.

co-77Z8O

【答案】(Db=布,—；(2)且.

74

【解析】

【分析】

(1)通過(guò)正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)得到cosB的值，再利用余弦定理，求出b,根據(jù)正弦定

理，求出sinC；(2)根據(jù)正弦定理得到sinNC3O=l,即NC5Z>=一,根據(jù)勾股定理得到

2

BD=?，根據(jù)三角形面積公式，求出的面積.

2

【詳解】

(1)因?yàn)?bsinZcos8+Qsin8=0,

hc

所以在中，由正弦定理^

sinBsinC

得2sinBsinAcos6+sin4sin8=0,

因?yàn)閟inZsin3wO,所以2cosB+l=0,

所以cosB=-,，

2

27r

又0<4<〃，所以6二——，

3

由余弦定理得，

62=a2+c2-laccosB-l+4-2xlx2xf--j=7,

所以b=J7,

在中，由正弦定理-----=-----

sinCsinB

所以sinC=^2SmT

人=-7F-

BDsinC

（2）在△45。中，由正弦定理得,

~CDsinNCBD

用4BDsinC73

因?yàn)椤?-7=,所以

CDV7sinZCBD正

/yr

因?yàn)閟inC=q,所以sin/C8￡>=l,

7

而NC6￡>e（0,乃）

TT

所以NC8O=X,

2

由---=~f=>設(shè)BD=JJf,CD=1>

CD幣

所以（后）2+12=（而）2,所以/=；,

所以BD=叵,

2

2兀714

因?yàn)閆.ABD=NABC—ZDBC=-------=一,

326

所以SLn'x/BxBOsinN/BOuLxZx@xJn3.

'22224

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理邊角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.

18.如圖，三棱錐〃T%中，AB=AC=2,BC=2?DB=DC=3,E,F分別為DB,A?的中

點(diǎn)，且NERC=90°.

(1)求證：平面。48_L平面/8C；

(2)求二面角。-綏力的余弦值.

【答案】(D證明見(jiàn)解析；(2)—孑畫(huà).

28

【解析】

【分析】

(1)取8c的中點(diǎn)G,可得BC1AG,BC1DG,從而得到BC±平面￡UG,得到

BC工DA,由。/〃EE,EFA.CF,得到ZMLCF，從而得到D4_L平面/8C,所以平面

0/3，平面4BC；(2)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理和勾股定理，得到

_U.IU

/84c=120°，。/=逐，得到DCE的法向量〃］，平面FCE的法向量〃2，根據(jù)向量夾角的余

弦公式，得到二面角。一CE—尸的余弦值

【詳解】

(1)如圖取8C的中點(diǎn)G，連接ZG,DG，

因?yàn)閆8=ZC=2,所以8cl.4G,

因?yàn)椤?gt;3=￡>C,所以8C，￡>G,

又因?yàn)?GnOG=G,所以BCL平面D4G,

D4u平面D4G

所以8CJ.O4.

因?yàn)?，F(xiàn)分別為DB，的中點(diǎn)，所以Z14〃￡7L

因?yàn)镹EFC=90°.即EF1CF,

則D4LCF.

又因?yàn)?CnCE=C，

所以D4_L平面N8C,

又因?yàn)镈Au平面DAB,

所以平面平面/8C.

(2)因?yàn)镈4_L平面Z8C,則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，力。為軸,

建立如下圖所示的空間宜角坐標(biāo)系.

因?yàn)?8=ZC=2,BC=273,DB=DC=3,

在A48c中，

℃AB1+AC2-BC24+4-121

cosABAC=----------------------=—~~-~~—=-->

2ABAC2x2x22

所以4ZC=120°.

在RtAZ)/8中，DA=M"=V5，

所以點(diǎn)40,0,0),Z)(0,0,V5),C(0,2,0),5(73,-1,0)，

設(shè)平面。CE的法向量為*=(x“必,zJ,

加=(0,2,-石),OE=［坐，—＜，—g

DC-?,=0

所以《即<V31V5

DE-?1=0-X]一—y.--------z,=0

222

可取成=(JB,右,2).

設(shè)平面FCE的法向量為0=(%,%,Z2),

可取鼠=(5,JJ,0)，

——y/\5x5+y/Sx-Ji+2x0q、/7n

011cos<,“2>=//=Z/u

/岳:+舊+22乂舊+428

因?yàn)槎娼?。一CE—E為鈍二面角，所以二面角。一CE—E的余弦值為—宏電.

28

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，面面垂直的判定，利用空間向量求二面角的夾角余弦值，屬于中

檔題.

19.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；

⑵過(guò)點(diǎn)⑵0)的直線1與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn),求證：方.歷是一個(gè)定值.

【答案】(1)/二口；(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為(X,y),得出|CP「=|CM『=|MT「+pq2,代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到曲線

C的軌跡方程；

(2)設(shè)直線方程x=0+2,聯(lián)立方程組，得到%+外,y％,再向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到

結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心C(x,y),線段MN的中點(diǎn)為T,則|MT|=&4,

2

由題意得@|2=?|2=m1'「+|1'(；|2,.守+&-4)2=42+/,.守=8*,

即動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為y'8x.

(2)證明：易知直線1的斜率不為0,

設(shè)直線1的方程為x=ky+2,A(x”y,),B(X2,y2).

聯(lián)立?+2’消去x整理得y2-8ky-16=0,△=64k-+64>0,可得yi+y,=8k,y,y,=-16.

(yz=8x,

又瓦?=a，y)，存(x?,y：>),

，22

■'-OA?OB~x,x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=ky1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k+16k'+4-16=-12,

>'-OA,裾是--個(gè)定值?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,通過(guò)聯(lián)立直

線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”

的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百

出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.

20.已知函數(shù)/(x)=orcosx-l在0,g上的最大值為受￡-].

_6J6

(1)求的值；

(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)a=2(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)后利用xe0,￡可得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性，再利用最大值為叵-1進(jìn)行求解

L6J6

即可.

\TT\\TC\

(2)求導(dǎo)分析單調(diào)性后，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解/(O),/-不的正負(fù)即可.

【詳解】

(1)f(x)=〃(cosx-xsinx),

71

因?yàn)閤w0,—，所以cosx>sinx20,又1>x20,

6

所以l?cosx>xsinx,gRcosx-xsinx>0.

兀

當(dāng)a〉0時(shí)，/'(x)>0,所以在區(qū)間0,-上遞增,

6

咤管一1二冬一1‘解得

所以

JT

當(dāng)。<0時(shí)，/'(x)<0,所以在區(qū)間0,二上遞減,

6

所以/(X)max=/(°)=T，不合題意―

當(dāng)4=0,/(X)=-1,不合題意.

綜上，4=2.

(2)設(shè)g(x)=cosx—xsinx,

則g(x)=-2sinx一冗cosx<00<x<—,

、2)

所以g(x)在(0,5)上單調(diào)遞減，又g(O)=l八茜仁'一'”,

所以存在唯一的x°e(0,9,使得g(x0)=0

當(dāng)0<x<x0時(shí)，8(力〉0,即/'(')=28(》)>0,所以/3在(0,/)上單調(diào)遞增；當(dāng)

x0<x<|時(shí)，g(x)<0,即//(x)=2g(x)<0,所以/(X)在(O,x。)上單調(diào)遞減

又/(0)=—1<0,/團(tuán)=嚀—1>OJ團(tuán)=—1<0,

所以在(o,：)與上各有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的最值與值域等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、

運(yùn)算求解能力、抽象概括能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形

結(jié)合思想等,考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要有邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等

21.某醫(yī)藥開(kāi)發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有瓶溶液，其中〃7(〃zeN)瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)

菌的溶液檢驗(yàn)出來(lái)，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次；

方案二：混合檢驗(yàn)，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶

液全部不含有細(xì)菌；若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌，就要對(duì)這瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共

為“+1.

(1)假設(shè)〃=5,〃?=2,采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；

(2)現(xiàn)對(duì)瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為P(04pMl).

若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為〃.

(力若J與"的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式P=/(〃)；

(")若p=l_e—，且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):In2n0.69,ln3?1.10,ln5?1.61,ln7=1.95

【答案】⑴奈⑵(i)P=l—⑴)8

【解析】

【分析】

(1)對(duì)可能的情況分類：〈1＞前兩次檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌第三次也檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌，＜2＞前三

次都沒(méi)有檢驗(yàn)出來(lái)，最后就剩下兩瓶含有細(xì)菌；(2)(/)根據(jù)￡4)=￡(〃)，找到與的函數(shù)關(guān)

系；(3)根據(jù)EC)〉E(〃)得到關(guān)于的不等式式，構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)記所求事件為，“第三次含有細(xì)菌且前2次中有一次含有細(xì)菌”為事件5,“前

三次均不含有細(xì)菌”為事件

則N=8UC，且民C互斥，

所以尸())=尸(8)+尸(。)=4々4+￡=4+-!-=2

4451010

⑵⑺￡1(4)=〃，

〃的取值為1,〃+1,

P⑦=1)=(1―尸)",尸(〃=〃+1)=1-(1-P)z,,

由￡?)=￡(〃)得〃=〃+1—〃(1—尸)"，

￡

所以p=l—]J'(〃eN*)；

1n

([/)?二]_eZ，加以￡(〃)=〃+1e兄，

nYl

所以(〃+i)所以

x

設(shè)/(x)=Inx--(x>0),

當(dāng)X€(0,4)時(shí)，/(x)>0,/(x)在(0,4)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(4,+8)時(shí)，/'(X)<0,/(彳)在(4,+8)上單調(diào)遞減

9

又/(8)=ln8-2>0,/(9)=ln9――<0,

4

所以的最大值為8

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的均值以及隨機(jī)事件的概率計(jì)算，難度較難.計(jì)算兩個(gè)事件的和事件的概

率，如果兩個(gè)事件互斥，可將結(jié)果寫成兩個(gè)事件的概率之和；均值(或期望)的相關(guān)計(jì)算公式要熟

記..

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是夕=--------------，在以極點(diǎn)為原點(diǎn)0,極軸為x軸正半

4cos8+3sin。

x=cos0

軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系Xa中，曲線G的參數(shù)方程為1.八（?為參

y=sin”

數(shù)）.

（1）求曲線G的直角坐標(biāo)方程與曲線。的普通方程；

（2）將曲線0經(jīng)過(guò)伸縮變換卜=2岳后得到曲線的若材，N分別是曲線，和曲線G上的動(dòng)

[y=2歹

點(diǎn)，求I版VI的最小值.

【答案】（1）C的直角坐標(biāo)方程為4x+3y—24=0,0的普通方程為V+爐=1；

「）24-2歷

-5'

【解析】

【分析】

（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，化簡(jiǎn)即可求得4的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)

系式，消去參數(shù)，即可求得G的普通方程；

（2）將曲線Q經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線CC,的參數(shù)方程為[”：=20c°sa（a為參數(shù)），設(shè)“

[y=2sina

（2J5cosa,2sina）,利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得d有最小值，即可求解.

【詳解】

24

（1）由題意，曲線a的極坐標(biāo)方