平行四邊形的性質（第2課時）-2022-2023學年八年級數學下冊同步（滬教版）

2022-2023學年八年級數學下冊同步精品課堂（滬教版）第22章四邊形22.2平行四邊形的性質（第2課時）（1）什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關系是：邊：推論：角：對邊平行、對邊相等對角相等，鄰角互補．內角和360度、外角和360度夾在兩條平行線間的平行線段相等平行四邊形的性質四邊形平行四邊形兩組對邊分別平行知識回顧問題2平行四邊形的兩條對角線把這個平行四邊形分為四個三角形.如圖22-16,

□ABCD的對角線AC和BD相交于點O,由AC和BD分□ABCD所得的四個三角形中，有全等三角形嗎?如果有，是哪幾對?在△AOB和△COD中，由AB和CD是□

ABCD的對邊，可知AB=CD;由∠AOB和∠COD是對頂角,可∠AOB=∠COD.再由平行四邊形的定義,得AB//CD，可知∠OAB=∠OCD(

).因此，△AOB≌△COD(

).同理可得△AOD≌△COB.議一議利用問題2的結論,可以得到對角線AC和BD中含有哪些等量關系?□ABCD具有某種對稱性嗎?由△AOB≌△COD,可得

AO=OC，BO=OD.再由點O是對角線AC的中點，也是對角線BD的中點,可以知道，如果將□ABCD繞點O旋轉180,那么點A與點C重合、點B與點D重合，因此□ABCD與自身重合，即□ABCD關于點O對稱.我們把上述結論也概括為平行四邊形的性質平行四邊形性質定理3如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分.簡述為:平行四邊形的兩條對角線互相平分平行四邊形性質定理4平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.例3，已知如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與邊AB、CD分別相交于點E、F求證：OE

＝OF

分析：問1：在平行四邊形中，利用什么性質證明線段相等？問3：這兩個基本圖形起到什么作用?答2:用三角形全等證明結論平行四邊形對角線互相平分問2：要證OE=OF，那在這個復合圖形中,有哪些基本圖形包含OE、OF?平行四邊形的性質定理是推理的依據,下面舉例來說明它們的基本運用.例3，已知如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與邊AB、CD分別相交于點E、F求證：OE

＝OF

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD

(平行四邊形的兩條對角線互相平分),且AB∥DC(平行四邊形的定義),∴∠1＝∠2又∵∠3＝∠4（對頂角相等）∴△DFO≌△BEO(A.S.A)∴OE＝OF（全等三角形對應邊相等）適時小結：要在復雜的圖形中找到中心對稱的全等三角形，利用平行四邊形的性質證明線段相等。

若例3中的條件都不變，將EF轉動到圖b的位置，那么例1的結論是否成立？

若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d），例1的結論是否成立，說明你的理由．例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF求證：∠BAE

＝∠DCF

分析：問1：在平行四邊形中，要證明∠BAE

＝∠DCF，利用什么性質證明角相等？答：平行四邊形對角相等問2：圖中有哪些平行四邊形？例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF求證：∠BAE

＝∠DCF

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC(平行四邊形的定義)∠BAD＝∠DCB(平行四邊形的對角相等）又∵AE∥CF∴四邊形AECF是平行四邊形（平行四邊形的定義）得∠1＝∠2（平行四邊形的對角相等）∵∠3＝∠BAD－∠1∠4＝∠DCB－∠2

∴∠3＝∠4

即∠BAE

＝∠DCF

是否還有其他的方法？證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD（平行四邊形對邊相等）∠B=∠D（平行四邊形對角相等）∵AE∥CF（已知）∴∠AEB=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC（平行四邊形的定義）∴∠DFC=∠2（兩直線平行，內錯角相等）∴∠AEB=∠DFC（等量代換）在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（A.A.S）∴

∠BAE

＝∠DCF（全等三角形對應角相等）

例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF.求證：∠BAE

＝∠DCF

課本練習1．□ABCD

中，AD=4cm，AC=10cm，BD=6cm，ΔAOD的周長是多少？ΔAOD和ΔAOB的面積有什么關系？解：在□ABCD中，（平行四邊形兩條對角線互相平分）答：ΔAOD的周長為12cm，ΔAOD和ΔAOB的面積相等。適時小結：平行四邊形中有四組面積相等的三角形。2.在平面直角坐標系中，□ABCD的對角線的交點正好與坐標原點重合，且點A、B的坐標分別為A(3，2)、B(–2，1)，試寫出C、D兩點的坐標.解：∵平行四邊形是中心對稱圖形∴點B和點D關于原點中心對稱∵B(–2，1)∴D（2,-1）同理：C（-3,-2）3.已知：如圖，在□ABCD中，E為CD的中點，聯結BE并延長，交AD的延長線于點F，求證：E是BF的中點，D是AF的中點.分析：在復合圖形中,有哪兩個基本圖形?3.已知：如圖，在□ABCD中，E為CD的中點，聯結BE并延長，交AD的延長線于點F，求證：E是BF的中點，D是AF的中點.證明：∵E為CD的中點（已知）∴DE＝CE（線段中點的意義）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴AD＝BC(平行四邊形對邊相等)且AD∥BC(平行四邊形定義)∴∠F＝∠1，∠3＝∠2∴⊿FDE≌⊿BCE(A.A.S)∴EF＝EB,DF＝BC∵AD＝BC∴AD＝DF又∵EF＝EB∴E是BF的中點，D是AF的中點.隨堂檢測1、在ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且AC=10,BD=6,則OA=___,OB=___,邊AD長的取值范圍是_________;若AB=6,則△OCD的周長是____.2、如圖ABCD中,△AOD的周長為13,BC=5,對角線AC+BD=___.532<AD<81416課堂小結1.研究平行四邊形的問題可以從邊、角、對角線和對稱