矩形菱形正方形

第二十講

矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定名稱判定性質(zhì)矩形1.有一個角是_____的平行四邊形(定義)2.對角線_____的平行四邊形3.有三個角是_____的四邊形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：1.矩形的四個角都是_____2.矩形的對角線_____3.既是_________圖形，又是軸對稱圖形直角相等直角直角相等中心對稱名稱判定性質(zhì)菱形1.有一組鄰邊_____的平行四邊形(定義)2.對角線互相_____的平行四邊形3.四條邊都_____的四邊形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：1.菱形的四條邊都_____2.菱形的兩條對角線互相_____，并且每一條對角線平分_________3.菱形的面積等于兩條對角線乘積的_____4.既是_________圖形，又是軸對稱圖形相等垂直相等相等垂直一組對角一半中心對稱名稱判定性質(zhì)正方形1.有一組鄰邊_____并且有一個角是_____的平行四邊形(定義)2.一組鄰邊_____的矩形3.一個角是_____的菱形4.對角線相等且垂直的平行四邊形1.正方形的四個角都是_____2.正方形的四條邊都_____3.正方形的兩條對角線_____且互相_________，每一條對角線平分一組對角4.既是_____對稱圖形，又是軸對稱圖形相等直角相等直角直角相等相等垂直平分中心【自我診斷】(打“√”或“×”)1.矩形、菱形、正方形的對角線都互相平分. ()2.矩形的四個角都相等. ()3.兩條對角線相等的四邊形是矩形. ()√√×4.菱形的兩條對角線長分別為6和8，則菱形的周長是40. ()5.若四邊形的兩條對角線分別平分兩組對角，則該四邊形一定是菱形. ()6.正方形的對角線與邊的夾角為45°. ()×√√7.有一個角是直角且此角鄰邊相等的四邊形是正方形.()8.在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D為邊AC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則EF的最小值為4.8.()×√考點一矩形的性質(zhì)與判定【示范題1】(2018·青島中考)已知：如圖，?ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD.(1)求證：AB=AF.(2)若AG=AB，∠BCD=120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論.【思路點撥】(1)只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題.(2)根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可.【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF.(2)結(jié)論：四邊形ACDF是矩形.理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四邊形ACDF是矩形.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】矩形的兩種判定方法(1)若四邊形(或可證)為平行四邊形，則再證一個角為直角或?qū)蔷€相等.(2)若直角較多，可證三個角為直角.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2018·龍東中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個條件_____________，使平行四邊形ABCD是矩形.

【解析】根據(jù)矩形的判定可知：添加AC=BD或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°或∠DAB=90°或AB⊥BC后可使平行四邊形ABCD是矩形.答案：AC=BD(或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°或∠DAB=90°或AB⊥BC等，答案不唯一)2.(2018·德陽中考)如圖點E、F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上一點，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC.(1)求證：點F為AB的中點.(2)延長EF與CB的延長線相交于點H，連接AH，已知ED=2，求AH的值.【解析】(1)∵EF⊥EC，∴∠CEF=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEF+∠AFE=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC.∵AE=DC，∴△AEF≌△DCE，∴DE=AF.∵AE=DC=AB=2DE，∴AB=2AF，∴F為AB的中點.(2)由(1)知AF=FB，且AE∥BH，∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB，∴△AEF≌△BHF，∴AE=HB.∵DE=2，且AE=2DE，∴AE=4，∴HB=AB=AE=4，∴AH2=AB2+BH2=16+16=32，∴AH=4.考點二菱形的性質(zhì)與判定【示范題2】(2018·內(nèi)江中考)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點，AE=CF，并且∠AED=∠CFD.求證：(1)△AED≌△CFD.(2)四邊形ABCD是菱形.【思路點撥】(1)由全等三角形的判定定理ASA證得結(jié)論.(2)由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結(jié)論.【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，在△AED和△CFD中，

∴△AED≌△CFD.(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD=DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】菱形判定方法的選擇(1)若四邊形(或可證)為平行四邊形，則再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.(2)若相等的邊較多(或容易證出)時，可證四條邊相等.【跟蹤訓(xùn)練】

(2018·揚州中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DA，點F是AB的中點，連接DF并延長，交CB的延長線于點E，連接AE.(1)求證：四邊形AEBD是菱形.(2)若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面積.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEB，∵F是AB的中點，∴AF=BF，又∵∠AFD=∠BFE，∴△AFD≌△BFE，∴AD=BE.∵AD∥BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵DB=DA，∴四邊形AEBD是菱形.(2)∵四邊形AEBD是菱形，∴AD=BD=BE=BC，∴∠ADE=∠BDE，∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BDE+∠BDC+∠BCD=180°，∴∠BDE+∠BDC=90°.∵DC=，tan∠DCB=3，∴=3，DE=3，∴S菱形AEBD=AB·DE=·3=15.考點三正方形的性質(zhì)與判定【示范題3】(2018·濟寧中考)如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G.(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N.若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值.【自主解答】(1)CF=2DG.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD，AD∥BC，∠ADC=90°.∵E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，∴DE=AD，CF=BC.∴DE=CF=CD.∵∠ADC=90°，EH⊥DF，∴∠CDF+∠EDF=90°，∠DEG+∠EDF=90°.∴∠CDF=∠DEG.在Rt△FCD中，tan∠CDF==.在Rt△DEG中，tan∠DEG=.∴=.∴CF=2DG.(2)如圖所示.在NB上取NQ=NC，連接DQ交MN于點P.∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BC.又∵NQ=NC，∴PC=PQ.∴PD+PC=PD+PQ=DQ.由“兩點之間，線段最短”知，此時PD+PC最短.又∵CD=10，∴此時△PDC的周長=PD+PC+CD=PD+PC+10最短.∵MN∥CD，∴∠MHD=∠CDF.∴tan∠MHD==tan∠CDF=.∴MH=2MD.設(shè)MD=t，則MH=2t.同理ME=2MH=4t.∴DE=5t.∴CD=2DE=10t=10.∴t=1.∴CQ=2DM=2.在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ===2.∴△PDC周長的最小值為2+10.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】正方形的性質(zhì)1.邊：正方形對邊平行，四條邊相等.2.角：正方形四個角都是直角.3.線：正方形的對角線互相平分、垂直、相等、且平分內(nèi)角.【跟蹤訓(xùn)練】(2018·聊城中考)如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過點B作BH⊥AE，垂足為點H，延長BH交CD于點F，連接AF.(1)求證：AE=BF.(2)若正方形邊長是5，BE=2，求AF的長.【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∵作BH⊥AE，垂足為點H，∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∵正方形的邊長為5，∴AD=CD=5，∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中，AF===.考點四特殊平行四邊形的探索題【考情分析】特殊平行四邊形的探索題問題在各地中考中都是熱點，這類題常以基礎(chǔ)知識為背景加以設(shè)計而成，考查解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力.【示范題4】(2018·煙臺中考)【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3.你能求出∠APB的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP′B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù).請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程.【類比探究】如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA=3，PB=1，PC=.求∠APB的度數(shù).【思路點撥】(1)思路一、先利用旋轉(zhuǎn)求出∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，利用勾股定理求出PP′，進而判斷出△APP′是直角三角形，得出∠APP′=90°，即可得出結(jié)論；思路二、同思路一的方法即可得出結(jié)論.(2)同(1)的思路一的方法即可得出結(jié)論.【自主解答】選擇思路一：如圖，∵將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，∴BP′=BP=2，∠PBP′=90°，AP′=3.∴PP′=2，∠P′PB=45°.∴AP2+PP′2=12+(2)2=9=AP′2.∴∠APP′=90°.∴∠APB=135°.如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，∴BP′=BP=1，∠PBP′=90°，AP′=.∴PP′=，∠P′PB=45°.∴AP2+PP′2=32+()2=11=AP′2.∴∠APP′=90°.∴∠APB=45°.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】1.給出問題的結(jié)論，分析探索使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不是唯一的，這樣的問題是條件開放性問題.解這類問題要善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追求，多途尋求.2.給定問題的條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要解題者景象推斷，甚至要求探索條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性的問題，解這類問題要充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論.【跟蹤訓(xùn)練】(2018·山西中考)綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系.探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：證明：∵BE=AB，∴AE=2AB.∵AD=2AB，∴AD=AE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴=(依據(jù)1)，∵BE=AB，∴=1，∴EM=DM.即AM是△ADE的DE邊上的中線，又∵AD=AE，∴AM⊥DE(依據(jù)2)，即AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明.(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明.探索發(fā)現(xiàn)：(3)如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.【解析】(1)①依據(jù)1：兩