2022屆商洛市重點(diǎn)高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“■一”表示一個陽爻，表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，

這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）

333]_

D.

56284

2.已知集合〃={12,3,…㈤若集合A=且對任意的beM,存在z〃e{—1,0,1}使

得。=九4+〃勺，其中\(zhòng)<i<j<2,則稱集合4為集合M的基底.下列集合中能作為集合

M={1,2,3,4,5,6}的基底的是（）

A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}

3.設(shè)。={—1,0,1,2},集合A={x|x2<l,xeU},則。儲=（）

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1）

4.已知命題p：若a>l,b>c>l,則log〃a<log,a；命題g：3^（0,-K?）,使得2與</"，則以下命題為真

命題的是（）

A.pzqB.C.（「p）八qD.

5.如圖所示，為了測量A、B兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在

。的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)E處，此時測得3在￡的北偏西30°的方向上，再開回。處，

由C向西開2幾百海里到達(dá)。處，測得A在。的北偏東22.5°的方向上，則A、8兩座島嶼間的距離為()

A.3B.3V2C.4D.472

6.函數(shù)〃x)=e'+at(?<0)的圖像可以是()

22

7.已知雙曲線C:=-《=l(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳、F,,過耳的直線/交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲

ab

線的實(shí)軸為直徑的圓與直線/相切，切點(diǎn)為"，若|月目=3區(qū)”|,則雙曲線C的離心率為()

A.姮B.75C.2^5D.y/13

Y3〃Inx

8.已知函數(shù)f(x)=——3+-----。在區(qū)間(1，”)上恰有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

Inxx

A.(e,3)U(3,+oo)B.[0,e)C.(e2,+oo)D.(f,e)IJ{3}

9.一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如：1,3,4,8,

16…).則首項為2,某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

10.已知向量通=(3,2),AC=(5,-1),則向量而與阮的夾角為()

A.45°B.60°C.90°D.120°

11.若直線2x+y+m=0與圓/+2%+/一2,-3=0相交所得弦長為2行，則機(jī)=()

B.2C.y/5D.3

12.已知六棱錐P-ABCDE下各頂點(diǎn)都在同一個球（記為球。）的球面上，且底面ABCDEF為正六邊形，頂點(diǎn)P在

底面上的射影是正六邊形ABCDEE的中心G,若弘="，A8=0，則球。的表面積為（）

A.------B.—C.67rD.9萬

34

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C:孫=迅上任意一點(diǎn)P到直線/:x+6y=0的距離的最小值為.

r22

14.己知橢圓r：—+v^-=1（?>/7>0）,尸I、尸2是橢圓r的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓廠的上頂點(diǎn)，延長交橢圓r

ab

于點(diǎn)B,若AAB耳為等腰三角形，則橢圓廠的離心率為.

15.（2Y+g）的展開式中，常數(shù)項為；系數(shù)最大的項是.

16.將函數(shù)/（x）=asinx+Z?cosx（aAeR,awO）的圖象向左平移J個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，貝”

6

b_

a

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為夕=「（r>0）,直線/的方程為夕cos（e+?]=0.設(shè)直線/與

曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，且A5=2j7,求r的值.

18.（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元則可參加一次抽獎活

動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.

方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽

取3次.

方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.

（D現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎機(jī)會.

①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動？

1

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=］以02-(a-l)x-lnx(aeH,〃wO)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

(2)記函數(shù)丁二尸(幻的圖象為曲線C,設(shè)點(diǎn)4(%,%),3(々,必)是曲線C上不同兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)

M(尤0，%)，使得①%=土產(chǎn)；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)a=2

時，函數(shù)/(為是否存在“中值和諧切線”請說明理由

20.(12分)如圖，在長方體ABC?！狝gG〃中，4?=25。=2例=4,E為44的中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)，

——?1-------

用為線段C2上一點(diǎn)，且滿足MG=：AG，b為MC的中點(diǎn).

(I)求證：E尸〃平面4。。

(2)求二面角N-AC-尸的余弦值?

21.(12分)已知在二二二二中，角二二二的對邊分別為二二二且當(dāng)+空=法好.

□□Jsm.

(1)求二的值；

(2)若cos二+、3sin二=2,求二+二的取值范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=lnx—§(*beR),且對任意尤＞0,都有/(無)+/(：)=0.

(I)用含。的表達(dá)式表示方；

(II)若/(x)存在兩個極值點(diǎn)不X2,且用＜々，求出。的取值范圍，并證明/y＞0；

(皿)在(U)的條件下，判斷y=/(x)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒

有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.

【詳解】

由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是C；=3；

僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是C：=3,于是所求的概率

八二』

14'

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.

【詳解】

因為l=—lx2+lx3,

2=Ix2+Ox39

3=0x2+lx3,

4=Ix2+lx2,

5=lx2+lx3,

6=lx3+lx3,

所以｛2,3｝能作為集合M=｛1,2,3,4,5,6｝的基底，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

先化簡集合A,再求CuA.

【詳解】

由/<1得：一1<%<1,所以A={0},因此?!={-1,1,2},故答案為B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.

4.B

【解析】

先判斷命題〃國的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

,1.111

loga=-----7,loga=；-----，因為。>1,b>c>l,所以0<log“c<log“Z?,所以■;------>------即命題p

ftlog,*(log,,clog.clog*

為真命題；畫出函數(shù)y=2'和y=log3X圖象，知命題g為假命題，所以PA(r)為真.

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題〃國的真假，難度較易.

5.B

【解析】

先根據(jù)角度分析出NCBE,NACB,ND4c的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到AC的長度，再根據(jù)正弦定理計算出BC的

長度，最后利用余弦定理求解出AB的長度即可.

【詳解】

由題意可知：ZAC5=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,NBCE=75°,NBEC=60°,

所以/CBE=180。一75°-60。=45。，ZDAC=180。-67.5°-45°=67.5°,

所以N￡)AC=NAOC,所以C4=CO=26，

又因為..8—'所以BC=2區(qū)立=遙,

sinZBECsinZCBE2

所以A8=y]AC2+BC2-2ACBC-COSZACB=124+6—2x2#xmxg=3及.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

根據(jù)x<0,/(x)>0,可排除A,。，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：“<0,

所以當(dāng)x<0時，f(x)>0,

又/'(x)=e*+a,

令/(x)>0,則x>In(-a)

令/(x)<0，則無<ln(-a)

所以函數(shù)/(x)在(e,ln(-a))單調(diào)遞減

在(ln(—a),y)單調(diào)遞增，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：(D定義域；(2)奇偶性；(3)特殊值；(4)單調(diào)性；(5)值域，屬

基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

在耳工中，由余弦定理，得到|夕工|,再利用IP用-|尸乙1=2”即可建立凡4c的方程.

【詳解】

由已知，|町|=j￡O2_0“2=42_丁2=b，在小尸耳居中，由余弦定理，得

2

IPF21=《PF；+F局_2PF[.F]F?cosNP￡g=J4c?+9Z>-2x2cx3/?x|=

"/+〃，又|P耳|=3|"周=3》，\PFt\-\PF2\=2a,所以助一百壽=2。，

/_3FVV13

=-=彳，e=Jl+r=-----，

a2Va22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.

8.A

【解析】

函數(shù)/.(x)=±-3+網(wǎng)吧一。的零點(diǎn)就是方程上-3+如1吧-。=0的解，設(shè)g(x)=—匚，方程可化為

\nxxInxxInx

(g(x)-3)(g(x)-a)=(),即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由

此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出?的范圍.

【詳解】

Y3//Inxx

由題意得——3+----------。=0有四個大于1的不等實(shí)根，記gW=_匚，則上述方程轉(zhuǎn)化為

InxxInx

(3)

(g(x)-3)+a---1=0,

(g(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因為g'(x)=，W，當(dāng)xe(l,e)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(e,+。。)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)在尤=6處取得最小值，最小值為g(e)=e.因為3>e,所以g(x)=3有兩個符合條件的實(shí)數(shù)解，故

XInY

/(x)=——3+-——-61在區(qū)間(1,m)上恰有四個不相等的零點(diǎn)，需a>e且a彳3.

Inxx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本

題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.

9.A

【解析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項并等于2020.結(jié)合〃的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).

【詳解】

由題意可知首項為2,設(shè)第二項為1,則第三項為2+f,第四項為2(2+。，第五項為22(2+?！趎項為

2"-3(2+。必feN*,且3,

則2"-3(2+.)=2020,

因為2020=22x5x101，

當(dāng)“-3的值可以為0,1,2；

即有3個這種超級斐波那契數(shù)列，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準(zhǔn)確，屬于中檔題.

10.C

【解析】

求出就=/一通=(2,—3),進(jìn)而可求通.沅=3x2+2x(—3)=0,即能求出向量夾角.

【詳解】

解：由題意知，沅=/一礪=(2,—3)?則而?瑟=3x2+2x(-3)=0

所以通，前，則向量而與比的夾角為90°.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

通常代入公式cos。，弓=||》

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時,進(jìn)行計算.

11.A

【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓/+2x+V_2,_3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+lf+(y-1)2=5，圓心坐標(biāo)為(-1,1),半徑為亞，因為直線2x+y+m=0

與圓/+2尤+,2-2,一3=0相交所得弦長為26,所以直線2*+丁+，〃=0過圓心,得2*(-1)+1+"2=0,即加=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

_________3

由題意，得出六棱錐P-43CD瓦'為正六棱錐,求得PG=NPN-AG2=2，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑Rj

利用表面積公式，即可求解.

【詳解】

由題意，六棱錐P-ABCttE下底面A8C￡＞防為正六邊形，頂點(diǎn)尸在底面上的射影是正六邊形ABC。石廠的中心G,

可得此六棱錐為正六棱錐，

又由AB=0，所以AG=0，

在直角A/V1G中，因為尸4=指，所以PG=dP岸-AG?=2,

設(shè)外接球的半徑為R,

在AAOG中，可得A(?2=AG2+OG2，即&=(2—/?了+(夜/，解得??=萬，

所以外接球的表面積為S=4萬A?=9萬.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用

球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6

【解析】

解法一：曲線C上任取一點(diǎn)P%,—,利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線/的距離的最小值；

I0

解法二：曲線C函數(shù)解析式為〉=也，由了=一走求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計算出切點(diǎn)到直線/的距離即可所求答案.

x3

【詳解】

解法一（基本不等式）：在曲線。上任取一點(diǎn)走］，

光o+一

該點(diǎn)到直線/的距離為〃%

因此，曲線C上任意一點(diǎn)P到直線/距離的最小值為G；

解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線。的函數(shù)解析式為>=立，則了=一更，

XX

設(shè)過曲線C上任意一點(diǎn)尸X。,電）的切線與直線/平行，則-電=-理，解得/=±8,

當(dāng)天=6時，P（G,1）到直線/的距離1=乎=百；

當(dāng)天=一6時，尸卜6,-1）到直線/的距離4=孚=6.

所以曲線C:xy=6上任意一點(diǎn)到直線/:x+6y=（）的距離的最小值為JL

故答案為：瓜

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,

也可以設(shè)曲線上的動點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等

題.

14..

3

【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)忸用=，，由題可得忸國的長，在三角形AB-中，三角形幽鳥中由余

弦定理可得NA8￡的值相等，可得dc的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率

【詳解】

如圖，若AA明為等腰三角形，貝設(shè)2M貝！|[3R|=2aT,所以|AB|=a+/=|5Fi|=2aT,解得a=2f,即

cIOFI

\AB\=\BFi\=3t,\AFt\=2t,設(shè)NBAO=〃，貝！JNA4吊=24所以「的離心率e=—=二~含=sin8,結(jié)合余弦定理，易得在

a\AF21

A/4B6中，cos20=—=1—2sin20,所以sin,eu,，即6=$山。=^~,

333

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】

此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.

15.6024(1?

【解析】

求出二項展開式的通項，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項；求出項的系數(shù)，利用作商法可

求出系數(shù)最大的項.

【詳解】

(2/+的展開式的通項為。3(2》2廣"(工)=晨.26-*.XI2-3\

令12-3左=0,得Z=4,所以，展開式中的常數(shù)項為C>22=60；

]C；-26-->Cr'-27-"

令％=。6-2（左eM"6）,令，即K”.6T>「向在.，

aa

{n-n+\[522。6?2

解得QneN,：.n=2,因此，展開式中系數(shù)最大的項為屐"=240f.

故答案為：60；240x6.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解，同時也考查了系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解

決問題的能力，屬于中等題.

16.百

【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于y軸對稱可知“X）關(guān)于龍=看對稱，進(jìn)而利用特殊值/（。卜/⑼構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.

【詳解】

???/（X）向左平移1個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于y軸對稱

??.“X）關(guān)于X=專對稱/[口=/（o）

.71,冗

即:67sin——1-6cos——=旦+—

3322

本題正確結(jié)果：百

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進(jìn)而利用

特殊值的方式來進(jìn)行求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.r=3

【解析】

先將曲線C和直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.

【詳解】

以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系X0V,

可得曲線GP=r（r>0）的直角坐標(biāo)方程為d+V=/,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.

由直線/的方程0cose+f=5/2,化簡得QCOSOCOS%-/7sinesin2=0,

44

則直線/的直角坐標(biāo)方程方程為x-y-2=0.

|2|「

記圓心到直線/的距離為d,則〃=特=a,

AB

又/=/+即產(chǎn)=2+7=9,所以r=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.

18.(1)——⑵①100元,80元②第一種抽獎方案.

729

【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，=2=；，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金券的概率為/

根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概率

(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即

可②根據(jù)①得出結(jié)論.

【詳解】

(1)選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為〃=4=；

設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”為事件A,則P(A)=C；g)$

所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P(A)P(A)=^-

1?

(2)①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為-，每一次摸到白球的概率為；.

33

設(shè)獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.

貝!)P(X=60)=*Y；

24

尸(X=IOO)=C；

39

22

P(X=140)=G

P（X=18O）=C^1J=±.

所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為

￡（X）=60x—+100x-+140x-+180x—=100（元）

',279927

若選擇抽獎方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為丫，最終獲得返金券的金額為Z元，則丫~5（3,1],

故E（y）=3x1=l

所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金券金額的

數(shù)學(xué)期望為￡（Z）=E（80y）=80（元）.

②即E（x）＞￡（z）,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項分布，期望，及概率知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.（1）見解析（2）不存在，見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再令「=上，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.

【詳解】

⑴函數(shù)的定義域為（0,+。），所以尸⑴J"——+?

X

當(dāng)〃＞0時，r（x）＞o,x＞i；r（x）＜o(jì),o＜x＜i,

所以函數(shù)f（X）在（1,+8）上單調(diào)遞增

當(dāng)。V。時，

11（1A

①當(dāng)一一＜l,4Z＜-l,/r（x）＞0,一一＜X＜1時，函數(shù)在一一,0上遞增

aa\aJ

②—，=l,a=—1,顯然無增區(qū)間；

a

③當(dāng)一_1＞1,一1＜。＜0時，/＜（x）＞o,l＜x＜—函數(shù)在（1,一！上遞增，

aa\a）

綜上當(dāng)a〉0,函數(shù)在（一工,1］上單調(diào)遞增.

\aJ

當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)。=-1時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間

當(dāng)一1＜。＜0時函數(shù)在［1,一,1上單調(diào)遞增

Ia）

（2）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”

設(shè)4（%,%）,8（々,必）是曲線y=/a）上不同的兩個點(diǎn)，且0＜當(dāng)＜彳2

則Y二王一百一In再，y=/一%一Inx2

k_%-y_r+r1Inw-ln%

x2一%x2-Xj

2

曲線在點(diǎn)M(x(),比)處的切線的斜率為k=/'(%)=玉+尤2T-一~~一，

IXr?

iInx.-Inx.2

%2+X]-1----=-----=&+々--------

x2一玉％+x2

2盧—1)

,lnx2-lnx,_2.5式*.0

x2-x}X]+x2X]-21]

X

令「=三，則〃⑺「In一"a,/⑺二D：〉0，

Xl+tr(r+l)2

〃⑺單調(diào)遞增，/z(r)>/z(l)=0,

故〃Q）=0無解，假設(shè)不成立

綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20.（1）證明見解析（2）一2回

35

【解析】

(1)解法一：作。。的中點(diǎn)H,連接EH,FH.利用三角形的中位線證得EHHAQ,利用梯形中位線證得FH//CD,

由此證得平面平面及行，進(jìn)而證得EP〃平面4DC.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線旅的方

向向量和平面的法向量垂直，證得〃平面A。。.

(2)利用平面和平面4FC法向量，計算出二面角N-A。-尸的余弦值.

【詳解】

(1)法一：作。|。的中點(diǎn)H,連接E”，￡〃.又￡為4。的中點(diǎn)，，￡〃為^4。2的中位線，，￡”//4。，又

E為MC的中點(diǎn)，,FH為梯形的中位線，F(xiàn)H〃C。，在平面A。。中，A,D^\CD=D,在平面￡/小

中，EHCFH=H,：.平面ADC〃平面EHF,又EFu平面EHF,：?EF〃平面AQC.

另解：(法二)\?在長方體ABC。-44GA中，DA,DC,兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z如

圖所示,

則。(0,0,0),4(2,0,0),3(2,4,0),

C(0,4,0),0,(0,0,2),A(2,0,2),

4(2,4,2),￡(0,4,2),￡(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),

(1)設(shè)平面4。。的一個法向量為機(jī)二(x,y,z),

fn-AD=0J(x,y,z)?(-2,0,-2)=0x+z=0

i=><

zn-AjC=0(x,y,z)?(-2,4,-2)=0x-2y+z=0

令x=l,貝!lz=—1,y=0.^m=(1,0,-1),又Eb二(一Iq,-1

???喬?肩=0，EF±m(xù)，又平面AQC,EF〃平面A】DC.

(2)設(shè)平面4CN的一個法向量為］=(%,*,zj,

n-A1N=0(X］，x，zj-(一1,4,-2)=0x—4y+2z=0

人n-\C=0(王，必，4)一(一2,4,-2)=0x-2y+z=0

令y=l,則z=2,x=0..*.w=(0,1,2).

同理可算得平面A/C的一個法向量為〃7=（3,2,1）

m,n_2^70

又由圖可知二面角N-A.C-F的平面角為一個鈍角,

故二面角D-A.C-N的余弦值為—空。.

35

【點(diǎn)睛】

本小題考查線面的位置關(guān)系，空間向量與線面角，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解

能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

21.(1)二==(2)二+二e(匕、司

【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求二的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cos二cos二

分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將軍轉(zhuǎn)化為二,于是可以求出二的值；（2）首先根據(jù)sm二+、3cos二=:求出角二的

3.11__

值，根據(jù)第（1）問得到的二值，可以運(yùn)用正弦定理求出二二二二外接圓半徑二，于是可以將二+二轉(zhuǎn)化為二二sm二+2二sm二，

又因為角二的值已經(jīng)得到，所以將二二sm二+2二sm二轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外

本問也可以在求出角二的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式二：+二：22二二，求出二+二的最大值，當(dāng)然，此時還要注

意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

試題解析：（1）由李+昨=淮

-0J31ZX.

應(yīng)用余弦定理，可得

化簡得二一孰二=二

（2）vcosZ+yJsinZ=2

???；cosZ4--rSinZ=，即sm（^+二）=J

???二e（。，二）Z+1=|所以二=F

法一2~=-^z=1,

則二十二=sin二+sin二

=sinZ+sin（y一二）

=7Sin_+TC05―

Ji

=v3sm（Z+1）

又0〈二〈三.二=<二+二W、，守

5j

法二

因為二=E由余弦定理二；=二；+二：一2二二cos二

得：=（匚+二）;-3二二

又因為二二<（苦斗:，當(dāng)且僅當(dāng)二=二時“=”成立.

所以;=（二+二）;一3二二'（二+二）;一3（言）；=與二

z+z<、3又由三邊關(guān)系定理可知二+二>二=?

綜上二+二6

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.

22.(1)b=a(2)見解析(3)見解析

【解析】

試題分析：利用賦值法求出。力關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需/。)=0在(0,內(nèi))內(nèi)

有兩個實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范圍再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù).

試題解析：(I)根據(jù)題意：令x=l,可得/(1)+/[；)=(