中考數(shù)學二輪復習二次函數(shù)壓軸題(平行四邊形問題)

類型五平行四邊形問題1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，拋物線交x軸于A、C兩點，與直線y＝x－1交于A、B兩點，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E.(1)求拋物線的解析式；(2)點P在直線AB上方的拋物線上運動，當△ABP的面積最大時，求此時點P的坐標；(3)在平面直角坐標系中，以點B、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點D的坐標．第1題圖

2.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A，B(5，0)，與y軸交于點C(0，5)，直線l：y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)交y軸于點E，且與拋物線交于A，D兩點，點P為拋物線上一動點(不與點A，D重合)．(1)求拋物線的解析式；(2)當點P在直線l上方時，過點P作PM∥x軸交l于點M，PN∥y軸交l于點N，求△PMN周長的最大值；(3)F為拋物線對稱軸上的一點，以E，A，P，F(xiàn)為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．第2題圖備用圖

3.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋1經(jīng)過點(2，6)，且與直線y＝eq\f(1,2)x＋1相交于A，B兩點，點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(4，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸正半軸上一點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點P，交直線AB于點E，設點D(m，0)．①連接BP，當△BPE為直角三角形時，求m的值；②當以P、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標．第3題圖

類型五平行四邊形問題1.解：(1)在直線y＝x－1中，令y＝0，解得x＝1，∴點A(1，0)，∵拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，∴－1×2－1＝－3，即點C(－3，0)，將A、C兩點坐標代入拋物線y＝ax2＋bx＋3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0,9a－3b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))，∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3；(2)∵點P在直線AB上方的拋物線上運動，∴設點P(m，－m2－2m＋3)，∵拋物線與直線y＝x－1交于A、B兩點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2－2x＋3,y＝x－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－4,y1＝－5))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1,y2＝0))，∴點B(－4，－5)，如解圖①，過點P作PM∥y軸交直線AB于點M，則點M(m，m－1)，∴PM＝－m2－2m＋3－m＋1＝－m2－3m＋4，∴S△ABP＝S△PBM＋S△PMA＝eq\f(1,2)(－m2－3m＋4)(m＋4)＋eq\f(1,2)(－m2－3m＋4)(1－m)＝－eq\f(5,2)(m＋eq\f(3,2))2＋eq\f(125,8)(－4<m<1)，∴當m＝－eq\f(3,2)時，S△ABP最大，∴點P(－eq\f(3,2)，eq\f(15,4))；第1題解圖①(3)符合條件的點D的坐標分別為：(0，3)，(－6，－3)，(－2，－7)．【解法提示】點E在直線y＝x－1上，當x＝－1時，y＝－1－1＝－2，∴點E(－1，－2)，如解圖②，直線BC的解析式為y＝5x＋15，直線BE的解析式為y＝x－1，直線CE的解析式為y＝－x－3，∵以點B、C、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形，∴直線D1D3的解析式為y＝5x＋3，直線D1D2的解析式為y＝x＋3，直線D2D3的解析式為y＝－x－9，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝5x＋3,y＝x＋3))得D1(0，3)，同理可得D2(－6，－3)，D3(－2，－7)，綜上所述，符合條件的點D的坐標為D1(0，3)，D2(－6，－3)，D3(－2，－7)．第1題解圖②2.解：(1)∵拋物線經(jīng)過點B(5，0)，C(0，5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－25＋5b＋c＝0，,c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝5，))故拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5；(2)由題意得A(－1，0)，E(0，eq\f(2,3))，∴OA＝1，OE＝eq\f(2,3)，AE＝eq\f(\r(13),3).∵PN∥y軸，PM∥x軸，∴△PMN∽△OAE.∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PN,OE)＝eq\f(MN,AE).∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(OA,OE)＝eq\f(3,2)，eq\f(MN,PN)＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(\r(13),2).∴PM＝eq\f(3,2)PN，MN＝eq\f(\r(13),2)PN.∴△PMN的周長＝PN＋PM＋MN＝eq\f(5＋\r(13),2)PN.∴當PN的長最大時，△PMN的周長最大．令－x2＋4x＋5＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)，解得x＝－1或eq\f(13,3).設點P的坐標為(m，－m2＋4m＋5)(－1＜m＜eq\f(13,3))，則N(m，eq\f(2,3)m＋eq\f(2,3))，∴PN＝(－m2＋4m＋5)－(eq\f(2,3)m＋eq\f(2,3))＝－m2＋eq\f(10,3)m＋eq\f(13,3)＝－(m－eq\f(5,3))2＋eq\f(64,9)(－1<m<eq\f(13,3))，∴當m＝eq\f(5,3)時，PN最大，最大值為eq\f(64,9).故△PMN周長的最大值為eq\f(5＋\r(13),2)×eq\f(64,9)＝eq\f(160＋32\r(13),9).(3)能．點P的坐標為(－3，－16)，(1，8)或(3，8)．【解法提示】設點P的坐標為(n，－n2＋4n＋5)，點F的坐標為(2，a)．分三種情況討論：①當AE是對角線時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xE＝xP＋xF，,yA＋yE＝y(tǒng)P＋yF，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝n＋2，,0＋\f(2,3)＝－n2＋4n＋5＋a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－3，,a＝\f(50,3)，))此時點P的坐標為(－3，－16)；②當AP是對角線時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xP＝xE＋xF，,yA＋yP＝y(tǒng)E＋yF))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋n＝0＋2，,0＋（－n2＋4n＋5）＝\f(2,3)＋a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3，,a＝\f(22,3)，))此時點P的坐標為(3，8)；③AF是對角線時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xF＝xE＋xP,yA＋yF＝y(tǒng)E＋yP))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝0＋n，,0＋a＝\f(2,3)＋（－n2＋4n＋5），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,a＝\f(26,3)，))此時點P的坐標為(1，8)．綜上所述，符合條件的點P的坐標為(－3，－16)，(1，8)或(3，8)．3.解：(1)∵BC⊥x軸，垂足為點C(4，0)，且點B在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，∴將x＝4代入直線y＝eq\f(1,2)x＋1中，得y＝3，∴點B的坐標為(4，3)，∵拋物線y＝ax2＋bx＋1經(jīng)過點(2，6)和點B(4，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋1＝6，,16a＋4b＋1＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝\f(9,2)，))∴拋物線的解析式為y＝－x2＋eq\f(9,2)x＋1；(2)①∵D(m，0)，m＞0，PD⊥x軸交于點D，交直線AB于點E，交拋物線于點P，點B(4，3)，∴∠PEB＜90°，由D(m，0)，得P(m，－m2＋eq\f(9,2)m＋1)，E(m，eq\f(1,2)m＋1)．當∠BPE＝90°時，PB∥x軸，∴點P的縱坐標為3，即－m2＋eq\f(9,2)m＋1＝3，解得m＝eq\f(1,2)或m＝4(舍去)；當∠EBP＝90°時，如解圖，PB⊥AB，設直線AB與x軸交于點M，第3題解圖則M(－2，0)，過點B作BN⊥PD于點N，則N(m，3)，∵∠PBE＝∠MDE，∠PEB＝∠MED，∴∠EMD＝∠BPE，∴tan∠BPE＝tan∠EMD，∵tan∠EMD＝eq\f(OA,OM)＝eq\f(1,2)，∴tan∠BPE＝eq\f(1,2)，又∵BN＝4－m，PN＝－m2＋eq\f(9,2)m－2，∴tan∠BPE＝eq\f(BN,PN)＝eq\f(4－m,－m2＋\f(9,2)m－2)＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(5,2)或m＝4(舍去)，綜上所述，m的值為eq\f(1,2)或eq\f(5,2)；②滿足條件的點P坐標分別為(1，eq\f(9,2))，(3，eq\f(11,2))．【解法提示】∵PE∥BC，若以P、E、B、C為頂點的四邊形為