1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

(10月14日上午8∶00—10∶00)一．選擇題(本題滿(mǎn)分30分，每小題5分)1．設(shè)α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),則(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小順序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos5．設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿(mǎn)足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式eq\b\bc\((\f(x,x+y))\s\up6(1990)+eq\b\bc\((\f(y,x+y))\s\up6(1990)的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不對(duì)6．已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿(mǎn)足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的()二．填空題(本題滿(mǎn)分30分，每小題5分)1．設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a+b=2，則eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．2．設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，線(xiàn)段AP掃過(guò)的面積是．3．設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是．4．對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線(xiàn)段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+…+f(1990)．5．設(shè)n=1990，則eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．6．8個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有種不同和排列方法．(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)．三．(本題滿(mǎn)分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)．

第二試(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本題滿(mǎn)分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP、O1O3、O2O4三直線(xiàn)共點(diǎn)．OOOABCDP1OOO234F二．(本題滿(mǎn)分35分)設(shè)E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列兩條性質(zhì)：⑴對(duì)任何1≤i<j≤100，恒有ai+aj≠201；⑵eq\s\do4(\o(\s\up15(100),Σ,\s\do6(i=1)))ai=10080．試證明：G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)．且G中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)．三．(本題滿(mǎn)分35分)某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)來(lái)到體育館觀(guān)看球賽，全部學(xué)生總數(shù)為eq\s\do4(\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(i=1)))Ci=1990．看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問(wèn)體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下．

1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一．選擇題(本題滿(mǎn)分30分，每小題5分)1．設(shè)α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),則(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小順序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos【答案】D【解析】α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2))0<cosα<sinα<1，∴(cos)cos<(sin)cos；(cos)sin<(cos)cos；選D．2．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|3．設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)是F1、F2，左右頂點(diǎn)是M、N，若△PF1F2的頂點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，則△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)位置是()A．在線(xiàn)段MN內(nèi)部B．在線(xiàn)段F1M內(nèi)部或在線(xiàn)段NF2內(nèi)部C．點(diǎn)M或點(diǎn)ND．不能確定的【答案】C【解析】設(shè)內(nèi)切圓在三邊上切點(diǎn)分別為D、E、F，當(dāng)P在右支上時(shí)，PF1－PF2=2a．但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D與N重合，當(dāng)P在左支上時(shí)，D與M重合．故選C．4．點(diǎn)集{(x，y)|lg(x3+eq\f(1,3)eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9))=lgx+lgy}中元素個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．多于2【答案】B【解析】x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)=xy>0．但x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)≥3eq\r(3,x3·eq\f(1,3)y3·eq\f(1,9))=xyeq\r(,x3·)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x3=eq\f(1,3)y3=eq\f(1,9)時(shí)，即x=eq\f(eq\r(3,3),3)，y=eq\f(eq\r(3,9),3)時(shí)成立．故選B．6．已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿(mǎn)足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的()【答案】C【解析】eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1，由a2>b2，故得eq\f(1,b2)<1<eq\f(4,b2)+eq\f(1,b2)=eq\f(5,b2)，1<b<eq\r(5)．eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1eq\f(5,a2)<1，a2>5．故選C．二．填空題(本題滿(mǎn)分30分，每小題5分)1．設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a+b=2，則eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．【答案】1【解析】ab≤(eq\f(a+b,2))2=1，從而anbn≤1，故eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)=eq\f(1+an+1+bn,1+an+bn+anbn)≥1．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立．即所求最小值=1．2．設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，線(xiàn)段AP掃過(guò)的面積是．【答案】【解析】點(diǎn)P在單位圓上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，點(diǎn)P沿單位圓從(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))運(yùn)動(dòng)到(eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))．線(xiàn)段AP掃過(guò)的面積=扇形面積=eq\f(1,6)π．3．設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是．【答案】3【解析】(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立．故n=3．5．設(shè)n=1990，則eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．【答案】【解析】取(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990展開(kāi)的實(shí)部即為此式．而(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990=－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i．故原式=－eq\f(1,2)．三．(本題滿(mǎn)分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)．四．n2個(gè)正數(shù)排成n行n列aa11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……an1an2an3an4……ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=eq\f(1,8)，a43=eq\f(3,16)，求a11+a22+……+ann．(1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)分析由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．【解析】設(shè)第一行等差數(shù)列的公差為d，各列的公比為q．∴a44=2a43－a42=eq\f(1,4)．由a44=a24?q2，得，q=eq\f(1,2).∴a12=a42?q－3=1．∴d=eq\f(a14－a12,4－2)=eq\f(1,2)，∴a1k=a12+(k－2)d=eq\f(1,2)k(k=1，2，3，…，n)∴akk=a1kqk－1=eq\f(1,2)k·(eq\f(1,2))k－1=(eq\f(1,2))k·k．令Sn=a11+a22+…+ann．則S－eq\f(1,2)S=eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=1))eq\f(k,2k)－eq\o(\s\up15(n+1),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(k－1,2k)=eq\f(1,2)+eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(1,2k)－eq\f(n,2n+1)=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n+1)=1－eq\f(n+2,2n+1).∴S=2－eq\f(n+2,2n)．五．設(shè)棱錐M—ABCD的底面為正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑．

第二試(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本題滿(mǎn)分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP、O1O3、O2O4三直線(xiàn)共點(diǎn)．【解析】證明∵O為⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1為⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．∴OO1⊥AB．作⊿PCD的外接圓⊙O3，延長(zhǎng)PO3與所作圓交于點(diǎn)E，并與AB交于點(diǎn)F，連DE，則1=2=3，EPD=BPF，∴PFB=EDP=90．∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四邊形．∴O1O3與PO互相平分，即O1O3過(guò)PO的中點(diǎn)．同理，O2O4過(guò)PO中點(diǎn)．∴OP、O1O3、O2O4三直線(xiàn)共點(diǎn)．二．(本題滿(mǎn)分35分)設(shè)E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列兩條性質(zhì)：⑴對(duì)任何1≤i<j≤100，恒有