現(xiàn)代控制理論-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本課程的任務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計(jì)，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行的。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章內(nèi)容為：1、狀態(tài)空間表達(dá)式2、由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式3、傳遞函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5、線(xiàn)性變換6、利用MATLAB進(jìn)行模型之間的變換1.1狀態(tài)空間表達(dá)式1.1.1狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間狀態(tài)——?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個(gè)可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。這些信息對(duì)于確定系統(tǒng)未來(lái)的行為是充分且必要的。狀態(tài)變量——確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時(shí)刻的值以及的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)。（狀態(tài)變量的選擇可以不同）≥狀態(tài)空間——以所選擇的一組狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交線(xiàn)性空間，稱(chēng)為狀態(tài)空間。例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：

和可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量1.1.2狀態(tài)空間表達(dá)式前面電路的微分方程組可以改寫(xiě)如下，并且寫(xiě)成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系，稱(chēng)為該電路的狀態(tài)方程，這是一個(gè)矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)系輸出量和狀態(tài)變量關(guān)系的方程，稱(chēng)為該電路的輸出方程或觀測(cè)方程。這是一個(gè)矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱(chēng)為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，或稱(chēng)為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，或稱(chēng)系統(tǒng)方程。設(shè)：則可以寫(xiě)成狀態(tài)空間表達(dá)式：推廣到一般形式：如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實(shí)常數(shù)時(shí)，則稱(chēng)這樣的系統(tǒng)為線(xiàn)性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。如果這些元素中有些是時(shí)間t的函數(shù)，則稱(chēng)系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)。嚴(yán)格地說(shuō)，一切物理系統(tǒng)都是非線(xiàn)性的?？梢杂孟旅娴臓顟B(tài)方程和輸出方程表示。如果不顯含t，則稱(chēng)為非線(xiàn)性定常系統(tǒng)。1.1.3狀態(tài)變量的選?。?）狀態(tài)變量的選取可以視問(wèn)題的性質(zhì)和輸入特性而定（2）狀態(tài)變量選取的非惟一性（3）系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變量則其狀態(tài)方程為輸出方程為：1.1.4狀態(tài)空間表達(dá)式建立的舉例例1-1

建立右圖所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式根據(jù)牛頓第二定律即：選擇狀態(tài)變量則：機(jī)械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下例1-2

建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。單級(jí)倒立擺系統(tǒng)是控制理論應(yīng)用的一個(gè)典型的對(duì)象模型。設(shè)小球的重心坐標(biāo)為：則在水平方向，應(yīng)用牛頓第二定律：轉(zhuǎn)動(dòng)方向的力矩平衡方程式：而有：線(xiàn)性化：當(dāng)和較小時(shí)，有化簡(jiǎn)后，得求解得：選擇狀態(tài)變量，，，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出狀態(tài)圖為1.2由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式一個(gè)系統(tǒng)，用線(xiàn)性定常微分方程描述其輸入和輸出的關(guān)系。通過(guò)選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達(dá)式。這里分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)2、微分方程中含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)1.2.1微分方程中不含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為選取狀態(tài)變量則有寫(xiě)成矩陣形式狀態(tài)圖如下：一般情況下，n

階微分方程為：選擇狀態(tài)變量如下：┆寫(xiě)成矩陣形式：系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下：1.2.2微分方程中含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為（一）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量：于是從而令系統(tǒng)的狀態(tài)圖一般情況下，n

階微分方程為：選擇

n

個(gè)狀態(tài)變量為系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)圖如下待定系數(shù)求法：（二）輔助變量法設(shè)

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數(shù)引入輔助變量z返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變量如下：┆寫(xiě)成矩陣形式注：如果輸入項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項(xiàng)導(dǎo)數(shù)階次相同，則有d。例1-3

已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解

（1）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量如下其中于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）輔助變量法引入輔助變量z選擇狀態(tài)變量于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為1.2.3并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以?xún)呻A系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例，進(jìn)行介紹。1）傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異選取有則2）傳遞函數(shù)有重極點(diǎn)矩陣形式1.2.4串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)設(shè)1.3傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)——系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1傳遞函數(shù)單入-單出線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為在初始松弛時(shí)，求Laplace變換，并且化簡(jiǎn)狀態(tài)變量對(duì)輸入量(輸入到狀態(tài))的傳遞函數(shù)輸出量對(duì)輸入量(輸入到輸出)的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)）例1-4

系統(tǒng)狀態(tài)方程式為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：1.3.2傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達(dá)式為進(jìn)行拉普拉斯變換如果存在，則如果，則狀態(tài)變量對(duì)輸入向量(輸入到狀態(tài))的傳遞函數(shù)矩陣：而輸出對(duì)輸入向量(輸入到輸出)的傳遞函數(shù)矩陣：其結(jié)構(gòu)為式中，表示只有第j

個(gè)輸入作用時(shí)，第i

個(gè)輸出量對(duì)第j

個(gè)輸入量的傳遞函數(shù)。例1-5

線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解1.3.3傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間表達(dá)式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。2）傳遞函數(shù)僅適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達(dá)式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時(shí)變系統(tǒng)中應(yīng)用。3）對(duì)于數(shù)學(xué)模型不明的線(xiàn)性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達(dá)式；用實(shí)驗(yàn)法獲得頻率特性，進(jìn)而可以獲得傳遞函數(shù)。4）傳遞函數(shù)僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達(dá)式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。5）傳遞函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而狀態(tài)空間表達(dá)式不僅給出輸出信息，還能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)信息。

綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達(dá)式這兩種描述各有所長(zhǎng)，在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中都得到廣泛應(yīng)用。1.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1.4.1狀態(tài)空間表達(dá)式首先，考察三階差分方程1.差分方程中不含有輸入量差分項(xiàng)選取狀態(tài)變量寫(xiě)成矩陣形式可以表示為其中輸出方程或者其中推廣到n階線(xiàn)性定常差分方程所描述的系統(tǒng)選取狀態(tài)變量，，……

，系統(tǒng)狀態(tài)方程輸出方程2.差分方程中含有輸入量差分項(xiàng)先考察3階線(xiàn)性定常差分方程選擇狀態(tài)變量待定系數(shù)為：系統(tǒng)狀態(tài)方程為即：輸出方程為即：多輸入-多輸出線(xiàn)性時(shí)變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)、、和的諸元素與時(shí)刻

無(wú)關(guān)時(shí)，即得線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式1.4.2脈沖傳遞函數(shù)（矩陣）對(duì)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行z變換如果存在，則如果初始松弛，則其中，為系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)輸入量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)輸出向量對(duì)輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣?yán)?-6

已知線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)方程為求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣解對(duì)于SISO線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為1.5線(xiàn)性變換

我們知道，狀態(tài)變量的選取是非唯一的。選擇不同的狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也不相同。由于它們都是同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，它們之間必然存在某種關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是矩陣中的線(xiàn)性變換關(guān)系。求線(xiàn)性變換的目的：將系統(tǒng)矩陣變成為標(biāo)準(zhǔn)形，便于求解狀態(tài)方程。1.5.1等價(jià)系統(tǒng)方程1.線(xiàn)性定常系統(tǒng)（1）

為n維狀態(tài)向量；為r維輸入向量；為m維輸出向量；、、、為相應(yīng)維數(shù)的矩陣。引入非奇異變換矩陣P或者代入方程（1）其中于是，系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)椋?）方程（1）與方程（2）互為等價(jià)方程2.線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)（3）引入變換矩陣或者對(duì)上式求導(dǎo)并代入可以得到又由可以得到（4）方程（3）與方程（4）互為等價(jià)方程1.5.2線(xiàn)性變換的基本性質(zhì)1.線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的特征值線(xiàn)性定常系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程為等價(jià)系統(tǒng)的特征方程為可見(jiàn)線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的特征值2.線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣時(shí)的傳遞函數(shù)矩陣可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣不改變1.5.3化系數(shù)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形所謂標(biāo)準(zhǔn)形是指：對(duì)角形、約當(dāng)形、模態(tài)形設(shè)是矩陣A

的特征值，如果存在一個(gè)n

維非零向量使或成立，則稱(chēng)為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量而1.化矩陣A

為對(duì)角陣若n個(gè)特征值互異，則令例1-7

將矩陣化為對(duì)角陣解解出變換矩陣2.化矩陣A

為約當(dāng)形如果矩陣A

有重特征值，并且獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于n,這時(shí)不能化為對(duì)角陣，只能化為約當(dāng)形。確定變換矩陣可以得到：變換矩陣為例1-8

化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣解得出求二重特征根對(duì)應(yīng)的特征向量得到而由得到求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量得到因此當(dāng)特征值為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，可以將矩陣化為模態(tài)陣3.化矩陣A

為模態(tài)陣設(shè)為對(duì)應(yīng)于的特征向量，則例1-9

將化為模態(tài)形解特征值為解得因此令，從而于是A的標(biāo)準(zhǔn)形為1.6利用MATLAB進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換1.7.1傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換1.連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式MATLAB是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一，它以強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算能力和可視化功能，簡(jiǎn)單易用的編程語(yǔ)言以及開(kāi)放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點(diǎn)，使得它在當(dāng)今許許多多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中成為計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)、算法研究和應(yīng)用開(kāi)發(fā)的基本工具和首選平臺(tái)。在本書(shū)中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的軟件平臺(tái)，更顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。本節(jié)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。

可以用ss命令來(lái)建立狀態(tài)空間模型。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，其格式為sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D為描述線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。當(dāng)sys1是一個(gè)用傳遞函數(shù)表示的線(xiàn)性定常系統(tǒng)時(shí)，可以用命令sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為狀態(tài)空間形式。也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)計(jì)算出系統(tǒng)sys的最小實(shí)現(xiàn)。例1-10

控制系統(tǒng)微分方程為求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解可以先將其轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)輸入下列命令語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果為這個(gè)結(jié)果表示，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為注意，在輸入命令中，sys=ss(G)也可以改用[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以計(jì)算出矩陣A、B、C、D。2.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的輸入方法相類(lèi)似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，首先需要輸入矩陣G、H、C、d，然后輸入語(yǔ)句，即可將其輸入到MATLAB的workspace中，并且用變量名來(lái)表示這個(gè)離散系統(tǒng)，其中T為采樣時(shí)間。如果Gyu表示一個(gè)以脈沖傳遞函數(shù)描述的離散系統(tǒng)，也可以用ss(Gyu)命令，將脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。例1-11

假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期為，將其輸入到MATLAB的workspace中，并且繪制零、極點(diǎn)分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。

解

輸入下列語(yǔ)句語(yǔ)句執(zhí)行的結(jié)果為再輸入語(yǔ)句，繪制出零、極點(diǎn)分布圖如下在執(zhí)行完上述語(yǔ)句后，Gyu已經(jīng)存在于MATLAB的workspace中，這時(shí)再執(zhí)行語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果為結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為1.7.2求傳遞函數(shù)矩陣

在已知線(xiàn)性定常系統(tǒng)中的A、B、C和D矩陣之后，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以按下式求出例1-12

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為輸入以下語(yǔ)句解

其中inv()函數(shù)是求矩陣的逆矩陣，而simple()函數(shù)是對(duì)符號(hào)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化。執(zhí)行結(jié)果如下這表示1.7.3.線(xiàn)性變換1.化為對(duì)角矩陣函數(shù)eig()可以計(jì)算出矩陣A的特征值以及將A陣轉(zhuǎn)換成對(duì)角陣的線(xiàn)性變換矩陣。其語(yǔ)句格式為[Q,D]=eig(A)，則D為對(duì)角陣并且對(duì)角線(xiàn)上各元素為矩陣A的特征值，滿(mǎn)足，因?yàn)榧矗?/p>