安徽省廬江巢湖七校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)3月期中試卷

安徽省廬江巢湖七校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)3月期中試卷一、單選題1．已知向量a，b，則“|a|=|bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知|a|=3，|b|=1，aA．?32b B．?12b3．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=2，若P為邊BCA．2 B．4 C．8 D．04．如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，DM與AC交于點(diǎn)N，設(shè)AB=a，AD=A．?23aC．?13a5．已知在△ABC中，sinA：sinBA．1116 B．79 C．21166．已知向量a=(λ，2)，b=(2λ，2?4λ)，A．65 B．1625 C．36257．已知O，N，P在ΔABC所在平面內(nèi)，且|OA|=|OB|=|OC（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心8．已知非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形二、多選題9．設(shè)兩個(gè)非零向量e1與e2不共線，如果keA．1 B．-1 C．3 D．-310．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠CAD=60°B．A、D之間的距離為152C．A、B兩處島嶼間的距離為156D．B、D之間的距離為30311．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為作注時(shí)給出的，被后人稱為趙爽弦圖．趙爽弦圖是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若直角三角形的直角邊的長(zhǎng)度比為1：A．5|AE|=2|C．AE?DC=12．在△ABC中，角A，B，A．若sin2A+B．若acosB＝bcosA＋c，則△ABC一定是直角三角形C．若cos2BD．若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC一定是銳角三角形三、填空題13．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bcosC+csinB=a，14．e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，a=2e1+e15．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=2，E為BC中點(diǎn)，若AB?AC=3，則16．在平面向量中有如下定理：設(shè)點(diǎn)O、P、Q、R為同一平面內(nèi)的點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使OP=如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，且CF=2FA，BF交CE于點(diǎn)M，設(shè)AM=xAE+y四、解答題17．已知a=(（1）求|a（2）設(shè)a與b的夾角為θ，求cos??θ（3）若向量a+kb與18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C，且sinB=2sinC（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)l.19．已知|a|=1,|b|=1，且向量（1）若a與b的夾角為45°，求(2a（2）若向量ka+b與k20．某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為126海里，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°的方向上，距離為83海里，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東（1）AD的距離；（2）CD的距離．21．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，△ABC的面積為S．現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③a2?b2?c2=433S請(qǐng)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)填到下面問(wèn)題中的橫線上，并求解．已知向量22．已知向量a和b，|a|=（1）若a與b的夾角為60°，求k的值；（2）記f(k)=a?b+1

答案解析部分1．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；向量的模【解析】【解答】|a|=|ba=±b時(shí)，所以“|a|=|b故答案為：B

【分析】利用向量的模相等的定義以及充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判斷，可得答案.2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】向量的投影【解析】【解答】因?yàn)閍+b在a上的投影為所以a+b在a上的投影向量為故答案為：D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的投影公式，即可求解出答案.3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【解答】設(shè)AD是等腰三角形ABC的高，如圖，則AD=5?1故AP?故答案為：C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積進(jìn)行求解，可得答案.4．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義【解析】【解答】解：依題意在平行四邊形ABCD中，AM//CD，又M是AB的中點(diǎn)，DM與AC交于點(diǎn)N，所以△ANM∽△CND，所以AMCD所以AN=所以BN故答案為：A

【分析】依題意可得△ANM∽△CND，即可得到AN=5．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【解答】∵sinA：sin由余弦定理b2cosB=故答案為：A.

【分析】由正弦定理得a=4k，b=3k，c=2k(6．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；向量的模【解析】【解答】由題可知m=∴|m=25當(dāng)|m|取最小值125故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出向量m→的坐標(biāo)，再利用向量的模的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)求最值的方法，進(jìn)而得出|m|的最小值，從而求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)λ7．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】向量的三角形法則；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC所以O(shè)為ΔABC的外心，由NA+NB+NC=0，則NA+則NA+NB=?2NE=CN，所以2|NE|=|CN|，所以N是ΔABC的重心；由PA?PB=

【分析】O到定點(diǎn)A，B，C的距離相等，得O為ΔABC的外心，由NA+NB=?2NE=CN，得2|NE|=|CN8．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；三角形的形狀判斷【解析】【解答】因?yàn)榉橇阆蛄緼B與AC滿足(所以∠A的平分線與BC垂直，ΔABC為等腰三角形，且AB=AC，∵2且AB|AB|所以ΔABC為等邊三角形，故答案為：A.

【分析】首先整理化簡(jiǎn)已知條件即可得出邊之間的關(guān)系，再數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)代入數(shù)值計(jì)算出夾角的余弦值，由此即可求出夾角的大小，進(jìn)而得出三角形的形狀。9．【答案】A,B【知識(shí)點(diǎn)】向量的共線定理【解析】【解答】∵兩個(gè)非零向量e1與e2不共線，∴∵ke1+e2和e1∵非零向量e1、e2不共線，∴k?t=0且1?kt=0，解得故答案為：AB

【分析】利用向量共線定理進(jìn)行求解，可得k的值.10．【答案】B,C【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【解答】解：由題意可知CD=30，∠ADC=90°+15°=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=90°?∠BCA=90°?60°=30°，所以∠CAD=180°?∠ADC?∠ACD=180°?105°?30°=45°≠60°，A不符合題意；∠ADB=15°+45°=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=在Rt△BCD中，因?yàn)椤螧DC=45°，∠BCD=90°，所以BD=2在△ABD中，由余弦定理得，AB=A故答案為：BC.

【分析】由題意可得∠CAD=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ADsin11．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【解答】記BE=m，AE=2m所以|AE||由正方形性質(zhì)可知，AC⊥BD，顯然BD，因?yàn)锳E?DC=AE?過(guò)F作FI⊥BC，垂足為I，∵BC?FI=BF?FC，即5所以FI=25則IF=?所以AF=故答案為：ACD

【分析】根據(jù)各邊長(zhǎng)的關(guān)系直接可判斷A；根據(jù)正方形對(duì)角線互相垂直，然后觀察可判斷B；利用投影表示數(shù)量積可判斷C；作FI⊥BC，求出FI、BI長(zhǎng)，然后由向量加法可判斷D.12．【答案】A,B,D【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；兩角和與差的正切公式；正弦定理；余弦定理【解析】【解答】對(duì)于A，因?yàn)閟in2A+sin2B<sin2C，所以由正弦定理得a對(duì)于B，因?yàn)閍cosB＝bcosA＋c，所以由余弦定理得a?a所以a2+c2?對(duì)于C，因?yàn)閏os2B2=所以sinA=所以sinBcosC=0，因?yàn)閟in因?yàn)镃∈(0，π)，所以所以△ABC一定是直角三角形，所以C不符合題意，對(duì)于D，因?yàn)閠anA=所以tan因?yàn)閠anA＋tanB＋tanC＞0，所以tanA+因?yàn)椤鰽BC中不可能有兩個(gè)鈍角，所以tanA>0所以A，B，故答案為：ABD

【分析】利用正弦定理和余弦定理可判斷A；利用余弦定理可判斷B；利用余弦的二倍角公式和兩角和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可判斷C；利用兩角和的正切公式可判斷D.13．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；正弦定理【解析】【解答】由b可得sinB即sinB所以sinB所以sinC因?yàn)?<C<π，所以sinC≠0所以sinB=即tanB=1，因?yàn)?<B<π所以B=π所以bsinB=2R故答案為：2

【分析】由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式整理可得答案.14．【答案】120°【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析】【解答】解：因?yàn)閑1，e2是夾角為所以e1又|a|=4所以a?所以a與b的夾角余弦為：cosθ=a因?yàn)?°所以θ=120故答案為：120°.

【分析】利用向量的數(shù)量積的定義可得e1|a→|，|15．【答案】-3【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【解析】【解答】以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∵AB=3，AD=2，E為BC中點(diǎn)，∴A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，設(shè)C(x，2)，∴AB∵AB?AC=3，∴3x=3，解得x=1，∵E為BC中點(diǎn)，∴E(3+12，∴AE∴AE故答案為：?3.

【分析】以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)量積的運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算即可求出答案.16．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義【解析】【解答】解：如圖，E，M，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使AM=λ∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴AM=λAE∴λ=x3(1?λ同樣，B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以存在μ，使AM=μ∵E為AB邊的中點(diǎn)，∴AB=2AE，∴AM∴x=2μy=1?μ，∴聯(lián)立①可得：x=45，∴x+y=7故答案為：7

【分析】由圖形知道E，M，C三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)λ，使AM=λAE+(1?λ)AC，根CF=2FA，可得AC=3AF，所以AC=3AF，所以AM=λAE+3(1?λ17．【答案】（1）解：(1故|（2）解：cos?θ=（3）解：因?yàn)橄蛄縜+kb與所以(a+kb因?yàn)閍2=5，所以5?10【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式和向量模公式，即可求解出|a?2b|；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量夾角公式，即可求解出18．【答案】（1）解：因?yàn)閟inB=2sinC由正弦定理，得b=2c，a2由余弦定理，得a2所以3c2∴cosA=12∴A=（2）解：由（1）可得a=3c，b=2c，故c=a∴l(xiāng)=2+2【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，找出a、b、c的關(guān)系，結(jié)合正、余弦定理即可求解出角A的大?。?/p>

(2)由（1）可得a=3c，19．【答案】（1）解：∵a與b的夾角為45°∴a∴(2（2）解：∵向量ka+b∴(ka∴k2∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1<k<1且k≠0【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析】【分析】（1）因?yàn)閍與b的夾角為45°，所以可求得a?b=22.展開(kāi)(2a?b)?(20．【答案】（1）解：在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得AD=ABSinB（2）解：在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD?ACcos30°，解得CD=83．所以A處與D處之間的距離為24海里，燈塔C與D處之間的距離為83海里．【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）由已知條件，利用正弦定理可求出AD的距離；

（2）在△ADC中，由余弦定理求得CD的距離．21．【答案】根據(jù)題意，f(x)=4sinxcosx+4=2sin2x?23又a=f(π選擇①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：2sinCcosA+sinAcosB+sinBcosA=0，故可得2sinCcosA=?sinC，又sinC≠0，故可得cosA=?12，又A∈(0，π)，故選擇②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：b2+c有A∈(0，π)，故A=2選擇③：a2?2bccosA=433又A∈(0，π)，故可得A=2故不論選擇哪個(gè)條件，都有A=23π.又a=2故2b+c=8sinB+4sinC=8sinB+4=6sinB+2=43又B∈(0，π3)故sin(B+故2b+c∈(23【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域；正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用代入法結(jié)合正弦型函數(shù)的解析式，從而求出a的值。

從①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③a2?b2?c2=4?2bccosA=433×12sinA×bc22．【答案】（1）解：因?yàn)閨a|=|b|=1所以a?由|a+kb即a2得1+k+k2=3（2）解：由|a+kb即a2得1+2ka?b所以f所以f(因?yàn)閒(k)所以f(k)min≥1?tx，即1令g(t)=tx?12由此可知不存在實(shí)數(shù)x使之成立【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【分析】(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，解方程即可得到k的值；(2)求出f(k)，再由重要不等式求得f(k)的最小值，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x，使得f(k)≥1?tx對(duì)任意的

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：41分分值分布客觀題（占比）24.0(58.5%)主觀題（占比）17.0(41.5%)題量分布客觀題（占比）12(54.5%)主觀題（占比）10(45.5