第4.5講函數(shù)的應(yīng)用（二）新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第4.5講函數(shù)的應(yīng)用（二）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．能利用已知函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．2．通過對數(shù)據(jù)的合理分析，能自建函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．3．理解函數(shù)零點的定義，會求簡單函數(shù)的零點，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．4．掌握二次函數(shù)的零點及其對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系，會應(yīng)用關(guān)系解決問題，提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．二、重點難點1、函數(shù)的零點2、指數(shù)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用3、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用三、核心知識函數(shù)的零點1．已知函數(shù)f(x)＝2x＋6，則方程的解與函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系？提示：方程的解x＝－3?y＝f(x)的圖像與x軸交點(－3，0)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)y＝f(x)的零點是點嗎？為什么？提示：不是，函數(shù)f(x)的零點實質(zhì)是方程f(x)＝0的實數(shù)根，因此函數(shù)的零點不是點，而是一個實根．1．零點定義：一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點．2．幾何意義：α是函數(shù)f(x)零點的充分必要條件是，(α，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點．函數(shù)模型的實際應(yīng)用我們在第一冊學(xué)習(xí)了函數(shù)的應(yīng)用(一)，常用的函數(shù)模型有哪些？提示：一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b；二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；對勾函數(shù)模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)；分段函數(shù)模型．用函數(shù)模型解應(yīng)用問題的四個步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的函數(shù)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．三、核心例題題型1函數(shù)的零點1．函數(shù)零點個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【詳解】由得：或解得或．因此函數(shù)共有2個零點．故選：B.2．設(shè)函數(shù)的零點為，則所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】易知在上單調(diào)遞增且連續(xù)，，，所以故選：B3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B．4．已知方程有一正根和一負(fù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因為方程有一正根和一負(fù)根，所以，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.5．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)有零點，即與有交點即可，易知單調(diào)遞增，在時，，時，，可得函數(shù)的大致圖象如圖，易得.故選：C題型2指數(shù)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用6．某廠1995年的產(chǎn)值為萬元，預(yù)計產(chǎn)值每年以5%遞增，則該廠到2007年的產(chǎn)值（萬元）是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵某廠1995年的產(chǎn)值為萬元，預(yù)計產(chǎn)值每年以5%遞增，∴該廠到1996年的產(chǎn)值(萬元)為,該廠到1997年的產(chǎn)值(萬元)為,該廠到1998年的產(chǎn)值(萬元)為,∴該廠到2007年的產(chǎn)值(萬元)為.故選：C．7．2020年9月22日，在第75屆聯(lián)合國大會期間，中國提出將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．要實現(xiàn)這個承諾，我國要牢固樹立創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享等新發(fā)展理念，抓住新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的歷史性機(jī)遇，匯聚各方力量推動經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展轉(zhuǎn)型．2023年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布的《中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2022年全年我國新能源汽車產(chǎn)量達(dá)到萬輛，如果從2023年起，今后3年我國新能源汽車產(chǎn)量年均增長率為，則2025年全年，我國新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計能達(dá)到約（

）萬輛【答案】A【詳解】由題意，2022年全年我國新能源汽車產(chǎn)量達(dá)到萬輛，如果從2023年起，今后3年我國新能源汽車產(chǎn)量年均增長率為，∴2025年全年,我國新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計能達(dá)到約：萬輛，故選：A.8．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知在藥熏過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室.從藥熏開始，至少經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】當(dāng)時，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故選；C題型3對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用9．習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，故，故選：C.10．北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送人地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是．按照這個規(guī)律，若火箭的最大速度可達(dá)到第三宇宙速度，則火箭的燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】D【詳解】由題意得，解得.故選：D11．在環(huán)境檢測中人們常用聲強(qiáng)級表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：），為基礎(chǔ)聲強(qiáng)，其值約為，某環(huán)境檢測點檢測到某一時段的聲強(qiáng)約為，則這一時段的聲強(qiáng)級約為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：，，.故選：C.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．函數(shù)的零點落在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，，，，，所以函數(shù)的零點落在區(qū)間上.故選：B.2．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是.故選：B3．函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】令，得，則．故選：A4．函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點為、.故選：C.5．已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個零點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】顯然有解，因此，，若，則只有一個零點，但此時無實解，無零點，所以，，，由得，由題意，解得（舍去），所以時只有一個零點，它只滿足C，故選：C．6．紅星幼兒園要建一個長方形露天活動區(qū)，活動區(qū)的一面利用房屋邊墻（墻長），其它三面用某種環(huán)保材料圍建，但要開一扇寬的進(jìn)出口（不需材料），共用該種環(huán)保材料，則可圍成該活動區(qū)的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)這個活動區(qū)垂直于墻的一邊長是，則平行于墻的一邊是，面積，墻長，所以，解得，對稱軸方程，拋物線開口向下，，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時，最大為（），故選：C．7．分貝（）、奈培（）均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為，，其中為待測值，為基準(zhǔn)值．如果，那么（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】A【詳解】因為，，，所以，令，則，所以.故選：A.8．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】當(dāng)時，令，解得：；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上有且只有1個零點；綜上，在上有2個零點.故選：C二、多選題9．若函數(shù)恰有三個零點，則a的值可能為（

）A．－1 B．6 C．1 D．2【答案】BCD【詳解】函數(shù)恰有三個零點，時，，函數(shù)有兩個零點0和6，則時，有一個零點，所以，即，BCD選項都符合.故選：BCD10．設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為R B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的零點是0,2 D．若，則m的取值范圍是【答案】AC【詳解】解：由函數(shù)可得的定義域為R，故A正確；當(dāng)時，遞增，可得；時，遞增，可得，所以的值域為，故B錯誤；由，可得或，故C正確；等價為或解得或，故D錯誤．故選：AC．三、填空題11．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由函數(shù)解析式可得圖象如下，要使函數(shù)有3個零點，即與有三個交點，由圖知：或，即.故答案為：12．某運輸公司計劃租地建造自己的物流倉庫，記倉庫到車站距離為（單位：km），經(jīng)過調(diào)查可知，每月土地占用費（單位：萬元）

與成反比，每月貨物運輸費（單位：萬元）與成正比，若在距離車站3km處建倉庫，則和分別為12萬元和2萬元，則這家公司把倉庫建在距離車站km處時，兩項費用之和最小.【答案】8【詳解】∵每月土地占地費（單位：萬元）與成反比，∴可設(shè)，，∵每月貨物運輸費（單位：萬元）與成正比，∴可設(shè)，，又∵在距離車站處建倉庫時，與分別為12萬元和2萬元，即時，，∴代入函數(shù)可得，，，∴，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，“”成立.故答案為：8.四、解答題13．某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺）滿足函數(shù)(1)將利潤P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故；（2）當(dāng)時，，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為；當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，綜上，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，利潤最大，最大值為.五、問答題14．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，若，求的值域(2)若有兩個零點，分別為，，且，求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以當(dāng)，的值為；（2）的兩個零點分別為，且，，即，解得或，故的取值范圍為.六、應(yīng)用題15．