專題2.27 軸對(duì)稱圖形中的折疊問題（直通中考）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.27軸對(duì)稱圖形中的折疊問題（直通中考）【要點(diǎn)回顧】初中數(shù)學(xué)有關(guān)于折疊的問題，是初中數(shù)學(xué)幾何內(nèi)容中比較特殊的一種類型。同時(shí)也是圖形變化當(dāng)中比較容易出考點(diǎn)的類型。想要解決初中數(shù)學(xué)中存在的折疊問題，那么我們對(duì)折疊的性質(zhì)要有比較清楚的認(rèn)識(shí)。首先要明白圖形折疊前后圖形的大小，形狀都不發(fā)生改變，其次折痕是折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。而且折疊前后及對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，這是我們解決折疊問題中最核心的內(nèi)容。另外，對(duì)于折疊問題，我們一般還有其重要的性質(zhì)，就是將其轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱的問題，比如對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，我們連接兩對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到相等的兩條線段，一、單選題1．（2018·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數(shù)為（

）A．31° B．28° C．62° D．56°2．（2011·甘肅天水·中考真題）把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在B′M或B′M的延長(zhǎng)線上，那么∠EMF的度數(shù)是（

）A．85° B．90° C．95° D．100°3．（2013·湖北十堰·中考真題）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．已知AC=5cm，△ADC的周長(zhǎng)為17cm，則BC的長(zhǎng)為（

）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm4．（2018·寧夏·中考真題）將一個(gè)矩形紙片按如圖所示折疊，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°5．（2019·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿著過(guò)的中點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，稱為第一次操作，折痕到的距離為；還原紙片后，再將沿著過(guò)的中點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，稱為第二次操作，折痕到的距離記為；按上述方法不斷操作下去……經(jīng)過(guò)第次操作后得到折痕，到的距離記為．若，則的值為（）A． B． C． D．6．（2018·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（）A．112° B．110° C．108° D．106°7．（2015·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B=65°，則∠BDF等于（）A．65° B．50° C．60° D．57．5°8．（2015·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，把△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D恰好重合，則△DEF的周長(zhǎng)是（）A．14 B．15 C．16 D．179．（2014·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)之和為（）A．3 B．4 C．6 D．810．（2014·廣西南寧·中考真題）如圖所示把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形二、填空題11．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為度．

12．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為．

13．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，若點(diǎn)在邊上，則長(zhǎng)的最小值等于．14．（2021·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)O）沿直徑對(duì)折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線剪開，再將展開得到如圖3的一個(gè)六角星．若，則的度數(shù)為．15．（2012·浙江麗水·中考真題）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是．16．（2009·山東淄博·中考真題）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且點(diǎn)在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為cm17．（2016·湖南婁底·中考真題）如圖，將△ABC沿直線DE折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，已知AB=7，BC=6，則△BCD的周長(zhǎng)為．18．（2015·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）如圖，一張三角形紙片ABC，AB=AC=5.折疊該紙片使點(diǎn)A落在邊BC的中點(diǎn)上，折痕經(jīng)過(guò)AC上的點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為.

三、解答題19．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，D為BC邊上一點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處．（1）若∠C=30°，求證：△ADE≌△CDE；（2）對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，能否按照此種折疊方式將其分成三個(gè)全等的小三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＞AD，把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．（1）圖中有個(gè)等腰三角形；（請(qǐng)直接填空，不需要證明）（2）求證：△ADE≌△CED；（3）請(qǐng)證明點(diǎn)F在線段AC的垂直平分線上．21．（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證：．22．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，回答問題．如圖1，小明將三角形紙片折疊，使點(diǎn)和重合，折痕為，連接，展開紙片后小明認(rèn)為和的面積相等．理由如下：由折疊知，．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，所以．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)將圖2中的三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形．23．（2023·山東青島·一模）一個(gè)角的余角的兩倍稱為這個(gè)角的倍余角．（1）若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；（用的代數(shù)式表示）（2）如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截?。笞C：∠ABC是∠EDB的倍余角；（3）如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點(diǎn)F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點(diǎn)P，若，設(shè)，求∠CPB的度數(shù)．24．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，將筆記本活頁(yè)兩角向內(nèi)折疊，使角的頂點(diǎn)A落在處，頂點(diǎn)D落在處，BC，BE為折痕．（1）如圖1，使邊與邊重合，若，求_______，_______．（2）如圖2，使邊BD沿著BE折疊后的邊落在內(nèi)部，若，設(shè)，，求與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出，的取值范圍．參考答案1．D【分析】先利用互余計(jì)算出∠BDE＝28°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CBD＝∠BDE＝28°，接著根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠DEF的度數(shù)，于是得到結(jié)論．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∵，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝28°，∵矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線和折疊的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠EMB′=∠EMB＝∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝∠CMC′，再根據(jù)平角定義即可解答．解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查折疊的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握折疊的性質(zhì)求角度是解答的關(guān)鍵．3．C解：根據(jù)折疊可得：AD=BD，∵△ADC的周長(zhǎng)為17cm，AC=5cm，∴AD+DC=17﹣5=12（cm）.∵AD=BD，∴BD+CD=12cm.故選C.4．D【分析】根據(jù)折疊的知識(shí)和直線平行判定即可解答.解：解：如圖可知折疊后的圖案∠ABC=∠EBC，又因?yàn)榫匦螌?duì)邊平行，根據(jù)直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2=∠DBC，又因?yàn)椤?+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.所以∠2=70°.【點(diǎn)撥】掌握折疊圖形的過(guò)程中有些角度是對(duì)稱相等的是解答本題的關(guān)鍵.5．C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA⊥BC，得到AA=2，求出=2-1，同理，于是經(jīng)過(guò)第n次操作后得到的折痕解：∵是的中點(diǎn)，折痕到的距離為∴點(diǎn)到的距離，∵是的中點(diǎn)，折痕到的距離記為，∴點(diǎn)到的距離，同理：，……故選C．【點(diǎn)撥】此題考查翻折變換（折疊問題），解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律6．D【分析】由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根據(jù)AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°．∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．7．B【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)可得AD＝DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解．解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來(lái)，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）【點(diǎn)撥】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EF為△ABC的中位線，△AEF≌△DEF，分別求出EF、DE、DF的長(zhǎng)度，即可求得周長(zhǎng)．解：由折疊的性質(zhì)可得，△AEF≌△DEF，EF為△ABC的中位線，∵AB=10，AC=8，BC=12，∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，∴△DEF的周長(zhǎng)=5+4+6=15．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，解答本題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．9．C【分析】由折疊特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根據(jù)△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)求解．解：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)=2×3=6．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角邊相等．10．D解：試題分析：對(duì)于此類問題，只要親自動(dòng)手操作，答案就會(huì)很直觀地呈現(xiàn)．試題解析：由第二個(gè)圖形可知：∠AOB被平分成了三個(gè)角，每個(gè)角為60°，它將成為展開得到圖形的中心角，那么所剪出的平面圖形是360°÷60°=6邊形．故選D．考點(diǎn)：剪紙問題．11．【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．2【分析】根據(jù)題意，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，符合題意，據(jù)此即可求解．解：∵將這張紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，而,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)的長(zhǎng)最小，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，理解當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的長(zhǎng)最小是解題的關(guān)鍵．14．135°【分析】利用折疊的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解題．解：連接OC，EO由折疊性質(zhì)可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即的度數(shù)為135°故答案為：135°【點(diǎn)撥】主要在考查折疊的性質(zhì)，學(xué)生動(dòng)手操作的能力，也考查了等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，掌握折疊及等腰三角形的性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．15．50°【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進(jìn)而求出即可；解：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線．∴BO＝CO．∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，∴∠OAB＝∠OAC＝25°．∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠OBC＝65°－25°＝40°．∴∠OBC＝∠OCB＝40°．∵點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO．∴在△OEC中，∠CEF＝∠FEO＝（180°－2×40°）÷2＝50°．故答案為：50°．【點(diǎn)撥】本題考查了三線合一，中垂線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線等知識(shí)點(diǎn)．16．6解：將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，所以AD=A′D，AE=A′E．則陰影部分圖形的周長(zhǎng)等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=6cm．17．13解：∵將△ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴AD=CD，∵AB=7，BC=6，∴△BCD的周長(zhǎng)=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．18．2.5解：試題分析：解：如圖所示，∵D為BC的中點(diǎn)，AB=AC，∴AD⊥BC，∵折疊該紙片使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)D上，∴折痕EF垂直平分AD，∴E是AC的中點(diǎn)，∵AC=5∴AE=2．5．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．．19．（1）見詳解；（2）不能，理由見詳解【分析】（1）由折疊的性質(zhì)，得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，結(jié)合∠C=30°，利用AAS即可證明結(jié)論成立；（2）運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，∴∠BAC=60°，由折疊的性質(zhì)，則∠BAD=∠EAD=∠BAC=，∠B=∠AED=90°，∴，∵，，∴△ADE≌△CDE；（2）解：不能；理由如下：若△ADB≌△ADE≌△CDE，∴，∵，∴，即，∴；∴若一個(gè)直角三角形能按照此種折疊方式將其分成三個(gè)全等的小三角形，那么該直角三角形應(yīng)含有一個(gè)30°的銳角；∴對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，不能按照此種折疊方式將其分成三個(gè)全等的小三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定．20．（1）2；（2）證明見分析；（3）證明見分析【分析】（1）由題意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF為等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF為等腰三角形；（2）在和中，，可得；（3）由于，，，有，，故，進(jìn)而可得出結(jié)果．（1）解：有△ACF和△DEF共2個(gè)等腰三角形證明如下：由折疊的性質(zhì)可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC∵∴∠EAC=∠DCA∴△ACF為等腰三角形；在和中∵∴∴∠DEA=∠EDC∴△DEF為等腰三角形；故答案為：2．（2）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，在和中，∴．（3）證明：由（1）得∴，即∴又∵∴∴∴點(diǎn)F在線段AC的垂直平分線上．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何圖形折疊的性質(zhì)，矩形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等，垂直平分線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用知識(shí)．21．證明見分析．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理即可得證結(jié)論．解：證明：連接，如圖：∵是的中點(diǎn)∴∵將沿折疊后得到∴，∴，∵，∴∴在和中，∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、兩直角三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．22．作圖見分析【分析】作（或）的垂直平分線交（或）于，連接（），即可求解．解：如圖，即為所作【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，作線垂直平分線，熟練掌握基本作圖以及三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（1）；；（2）證明見分析；（3）【分析】（1）由倍余角的定義可求解即可；（2）