2023-2024學年四川省瀘州市高三上冊第一次教學質量診斷性考試數學（理）模擬試題（含解析）

2023-2024學年四川省瀘州市高三上冊第一次教學質量診斷性考試數學（理）模擬試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．注意事項：1、答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題：，則是（）A. B.C. D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.3.已知直線m，n及平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.近年來，中國加大了電動汽車的研究與推廣，預計到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．已知蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的經驗公式為，其中．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流時，放電時間為（）A. B. C. D.5.函數在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.6.已知一個機械工件的正(主)視圖與側(左)視圖如圖所示，俯視圖與正(主)視圖完全一樣，若圖中小網格都是邊長為1的正方形，則該工件的表面積為A.24 B.26 C.28 D.307.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有的點（）A.先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度B.先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度C.先橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度D.先橫坐標縮短到原來倍，再向右平移個單位長度8.已知，，，則（）A. B. C. D.9.已知函數，若方程恰好有三個不等實數根，則實數k的取值范圍是（）A. B.C. D.10.已知定義在上的函數的圖象關于y軸對稱，且滿足，又，，則的值是（）A.1 B. C.2022 D.202311.在棱長為1正方體中，點M在對角線上（點M與A，不重合），則下列結論中錯誤的是（）A.線段與的長度始終相等B.存在點M，使得∥平面C.存在點M，使得直線與平面所成角為D.若N是上一動點，則的最小值為12.已知函數，任取，記函數在上的最大值為，最小值為，設，則函數的值域為（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上）13.已知冪函數的圖象過點，且，則a的值為________．14.寫出滿足條件“函數的圖象關于直線對稱”的的一個值________．15.已知函數存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________．16.已知正三棱錐（底面是正三角形且頂點在底面的射影是底面三角形的中心）的體積為，其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積的最小值為_____________．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數的圖象相鄰兩最高點的距離為，且有一個對稱中心為．（1）求和的值；（2）若，且，求值．18.已知是函數極值點，且曲線在點處的切線斜率為．（1）求函數的解析式；（2）設，若對任意，總存在，使得成立，求實數m的取值范圍．19.設銳角的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，在①；②這兩個條件中任選一個作為條件，試探究符合條件的是否存在，若存在，求b；若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．20.如圖，四棱錐中，，平面平面，點M在棱上．（1）求證：；（2）設時，求二面角的正弦值．21.已知函數（其中）．（1）討論函數的單調性；（2）對任意都有成立，求實數a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數方程22.以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且．以極點O為直角坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．（1）求的極坐標方程；（2）若曲線C的參數方程為（t為參數），求曲線C與交點的極坐標．選修4-5：不等式選講23.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）設函數的最小值為M，若正數a，b，c滿足，證明．2023-2024學年四川省瀘州市高三上冊第一次教學質量診斷性考試數學（理）模擬試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．注意事項：1、答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題：，則是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結論否定.【詳解】是“”.故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求得集合，再根據集合的運算以及包含關系，即可判斷和選擇.【詳解】，又，故，，，，故A正確，其它選項錯誤故選：A.3.已知直線m，n及平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由充分條件與必要條件求解即可【詳解】由題意可知：當時，與可能平行，也可能相交，故充分性不成立；當時，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B4.近年來，中國加大了電動汽車的研究與推廣，預計到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．已知蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的經驗公式為，其中．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流時，放電時間為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據題意結合指、對數運算求解.【詳解】由題意可得：，當時，則，∴.故選：B.5.函數在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據函數奇偶性結合當時函數值的符號性分析判斷.【詳解】∵，即，∴為偶函數；又∵當時，則，故，∴；綜上所述：A正確，B、C、D錯誤.故選：A.6.已知一個機械工件的正(主)視圖與側(左)視圖如圖所示，俯視圖與正(主)視圖完全一樣，若圖中小網格都是邊長為1的正方形，則該工件的表面積為A.24 B.26 C.28 D.30【正確答案】C【分析】根據三視圖判斷出幾何體的結構，并由此計算出表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓柱組合而成，故表面積為.故選C.本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查組合體的表面積計算，考查圓柱的表面積公式，屬于基礎題.7.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有的點（）A.先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度B.先橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度C.先橫坐標縮短到原來倍，再向左平移個單位長度D.先橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位長度【正確答案】B【分析】根據三角函數圖象的變換，結合函數解析式，即可直接判斷和選擇.【詳解】將的圖象上所有的點先橫坐標伸長到原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個單位長度得到的圖象.故選：B.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用換底公式化簡,利用對數函數的單調性、作差法即可得出答案．【詳解】,故選：B．本題考查對數函數的應用，考查換底公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．9.已知函數，若方程恰好有三個不等的實數根，則實數k的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】將問題轉化為與的圖象有三個交點的問題，利用導數判斷的單調性，數形結合，即可求得結果.【詳解】當時，，故不是方程的根；當時，方程恰好有三個不等的實數根即與的圖象有個交點；又，當時，，故當時，單調遞減，在時，單調遞增；當，時，；時，；且；又當時，，故在單調遞減，當，時，；時，；故在同一坐標系下，的圖象如下所示：數形結合可得，當，即時滿足題意，故取值范圍為.故選：D.10.已知定義在上的函數的圖象關于y軸對稱，且滿足，又，，則的值是（）A.1 B. C.2022 D.2023【正確答案】A【分析】求得的周期，根據函數的奇偶性和已知函數值，結合題意，求解即可.【詳解】，則，，故的周期為；又，則；，則；又為偶函數，故，則；故.故選：A.11.在棱長為1的正方體中，點M在對角線上（點M與A，不重合），則下列結論中錯誤的是（）A.線段與的長度始終相等B.存在點M，使得∥平面C.存在點M，使得直線與平面所成角為D.若N是上一動點，則的最小值為【正確答案】D【分析】對A：根據三角形全等，即可容易判斷；對B：以為坐標原點建立空間直角坐標系，設出點的坐標，求得平面的法向量以及直線的方向向量，通過其數量積的坐標運算，即可判斷；對C：根據二面角的向量求解方法，求解即可；對D：將問題轉化為在平面中求的最小值問題，結合幾何作圖，即可求得結果.【詳解】對A：連接，如下所示：因為，故△△，故，又，故△△，故始終成立，故A正確；對B：以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：則，，設平面的一個法向量，則，即，取，則，故；設點的坐標為，，即，解得，故，，若存在點M，使得∥平面，則，即，解得，故存在點為上靠近點的三等分點，使得∥平面，B正確；對C：根據選項B中建立的空間直角坐標系，易知平面的一個法向量，又，若直線與平面所成角為，則，解得（舍）或，即存在點為上靠近點的三等分點滿足題意，故C正確；對D：由A可知，，故的最小值即為的最小值；在平面中，作關于的對稱直線，點關于直線的對稱點為，如下所示：故，則當且僅當，交于點時，取得最小值；在△中，，故，則，在△中，，故，即的最小值為，D錯誤.故選：D.12.已知函數，任取，記函數在上的最大值為，最小值為，設，則函數的值域為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】考慮一個周期內的情況，根據的取值，求得的解析式，結合三角函數的值域，求該函數值域即可.【詳解】因為，其中分別是指在區(qū)間上的最大值和最小值，因為的周期，故在區(qū)間的圖象與在區(qū)間上的圖象完全相同，故，故，即是周期為的函數，故的值域與時的值域相同；又在單調遞減，單調遞增，在單調遞減，故當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時；故在的函數圖象如下所示：數形結合可知，的值域為.故選：C.關鍵點點睛：本題考查函數值域的求解，涉及三角函數值域的求解；處理問題的關鍵是能夠根據題意，找到的周期，同時要對進行分類討論求的解析式，屬綜合困難題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上）13.已知冪函數的圖象過點，且，則a的值為________．【正確答案】或【分析】根據題意求得的解析式，再根據即可求得結果.【詳解】根據題意可設，由題可知，解得，則，又，即，解得或.故或.14.寫出滿足條件“函數的圖象關于直線對稱”的的一個值________．【正確答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】以為整體，結合余弦函數的對稱軸運算求解.【詳解】由題意可得：，則，當時，.故答案為.15.已知函數存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________．【正確答案】【分析】求得，將題意轉化為使得在上存在穿越零點，結合二次函數的性質，列出關于的不等式，求解即可.【詳解】定義域為，，根據題意可得在上存在穿越零點，故，且，解得.故16.已知正三棱錐（底面是正三角形且頂點在底面的射影是底面三角形的中心）的體積為，其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積的最小值為_____________．【正確答案】【分析】根據三棱錐體積求得底面邊長和高之間的關系，結合棱錐外接球求解辦法，求得外接球半徑與高之間的關系，利用基本不等式求得其最小值，再求球的表面積即可.【詳解】根據題意，作如下正三棱錐，即頂點再底面的射影為，連接，記該三棱錐外接球球心為，連接，如下所示：設，，，則；根據題意可得，即，則；在△中，易知，，，由可得，即，則，當且僅當時取得等號；則最小值為，故該球的表面積的最小值為.故答案.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數的圖象相鄰兩最高點的距離為，且有一個對稱中心為．（1）求和的值；（2）若，且，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數的最小正周期，可求得的值，由函數的對稱性結合的取值范圍可求得的值，即可得出函數的解析式；（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數的基本關系以及兩角和的正弦公式可求得的值.【小問1詳解】解：由題意可知，函數的最小正周期為，，則，因為函數有一個對稱中心為，則，所以，，因為，則，故，.【小問2詳解】解：由（1）可得，，因為，則，所以，，因此，.18.已知是函數的極值點，且曲線在點處的切線斜率為．（1）求函數的解析式；（2）設，若對任意，總存在，使得成立，求實數m的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據極值點處的導數為零，結合導數幾何意義，列出滿足的等量關系，求得，則問題得解；（2）求得在區(qū)間上的值域，根據值域的包含關系，列出的不等式，求解即可.【小問1詳解】，則，由題可知，，解得，故.【小問2詳解】由（1）知，，故當，，單調遞減；當，，單調遞增；又，故在上的值域為；，當，單調遞增，故值域為；根據題意，是的子集，故，解得，故實數的取值范圍為.19.設銳角的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若，在①；②這兩個條件中任選一個作為條件，試探究符合條件的是否存在，若存在，求b；若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【正確答案】（1）（2）選①，不存在；選②，存在，【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，結合，求出；（2）選①：由正弦定理得到，進而得到，，故銳角不存在；選②：求出，，滿足為銳角三角形，進而由正弦定理求出.【小問1詳解】，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；【小問2詳解】選①：，銳角中，，，，由正弦定理得：，即，解得：，因為為銳角三角形，所以，因為在上單調遞增，且，所以，此時，此時與為銳角三角形矛盾，這樣的三角形不存在；選②：，銳角中，，，，則，故，滿足均為銳角，滿足題意，，由正弦定理得：，即，解得：，故符合條件的是否存在，.20.如圖，四棱錐中，，平面平面，點M在棱上．（1）求證：；（2）設時，求二面角的正弦值．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】(1)由面面垂直的性質定理即證得.(2)建立空間直角坐標系，求得的兩個半平面的法向量，結合向量夾角的余弦公式代入即可.【小問1詳解】取的中點,連接，如圖所示因為，所以，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，由，且平面，所以平面，由平面，所以.【小問2詳解】由(1)可知，平面，平面，所以平面平面，所以以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，在中，，，在中，，所以，因為平面，，即為平面的一個法向量，設平面的法向量為，，，，取，則，則，，所以二面角的正弦值為.21.已知函數（其中）．（1）討論函數的單調性；（2）對任意都有成立，求實數a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】(1)求出函數的導數，根據的正負進行分類討論.(2)任意都有成立，代入進行參變分離，得，構造新函數，求最值即可求得.【小問1詳解】由題意得，，當時，恒成立，在單調遞增.當時，，，在上單調遞增，，，在上單調遞減.【小問2詳解】任意都有成立，即，即，令，，令，則在上恒成立，即在上單調