索端力與索的幾何線形的對應關系

索端力與索的幾何線形的對應關系

由于懸索結構的特點，如大傾角懸索橋、斜拉橋和張拉結構，結構分析應考慮幾何非線性的影響，結構分析的精度主要取決于對索的精確分析。較早對索的分析采用解析法,該方法僅適合于結構體系和受力較簡單的場合,對于結構和荷載分布較復雜等情況,分析計算往往太煩瑣.隨著計算機技術的發(fā)展,有限元分析已成為大型結構最有效的計算分析方法.目前,索的有限元分析主要有桿單元法、考慮垂度效應的桿單元法、多節(jié)點曲線索單元法和拋物線索單元法等,這些方法均存在計算精度不高或使用不便等缺點.楊孟剛等利用推導的兩節(jié)點懸鏈線索單元對自錨式懸索橋施工全過程進行了模擬分析.本文根據(jù)索的基本假定和懸鏈線平衡方程,采用索段分析及迭代方法,導出了兩節(jié)點空間懸鏈線索單元切線剛度陣及節(jié)點力的迭代格式,建立起了空間懸鏈線索單元的幾何非線性有限元方法.該索單元既克服了桿單元(考慮Ernst彈模修正)和拋物線索單元模擬索計算精度不高的問題,又解決了多節(jié)點曲線索單元使用不便等缺點.經典算例結果表明,本文導出的空間懸鏈線索單元具有較高的精度.1受均布荷載q作用下柔性索段力學性能本文公式的推導主要基于以下基本假定:1)索的材料符合胡克定律;2)索的面積不隨外荷載作用變化;3)索是理想柔性的.對于一般的索結構而言,可將其離散多個索段(索單元).對于每個索段而言,所承受的荷載有兩種:一是索單元間沿弧長均布的主纜自重;二是索端力.由文獻可知,在沿索曲線均布荷載q作用下,索的水平張力H是常數(shù),索的線形為懸鏈線.對于如圖1所示的受均布荷載q作用下的柔性索段IJ,彈性模量為E,截面面積為A,索段兩端點跨長為L,高差為C,索段的無應力長度為S0,變形后的索長為S,OXZY為總體坐標系,oxyz為局部坐標系,且索的水平張力H是常數(shù),索的線形為懸鏈線.根據(jù)靜力平衡條件,有Τdxdr=Η?Τ(-dzdr)=V-qs(1)其中T為張力.邊界條件為s|x=0,z=0=0,s|s=L,z=C=S0且張力與應變關系為T=EAε=EA(dr/ds-1).由式(1)并考慮在(0,S0)區(qū)間內的積分,可以得到L=x(S0)=ΗS0EA+ΗqlnV+√Η2+V2(V-qS0)+√Η2+(V-qS0)2(2)C=y(S0)=qS20-2VS02EA-1q{√Η2+V2-√Η2+(V+qS0)2}(3)由式(2)和式(3)可知,端點內力H,V與線形參數(shù)L,C之間形成對應關系,因此如果內力一旦確定,線形也確定下來,反之亦然.顯然式(2)和式(3)可以簡化成為L=-ΗΙ[S0EA+1qln(VΙ+ΤΙΤJ-VJ)](4)C=12EAq(Τ2J-Τ2Ι)+ΤJ-ΤΙq(5)其中VJ=-VΙ+qS0?ΗJ=-ΗΙ?ΤΙ=√Η2Ι+V2Ι?ΤJ=√Η2J+V2J.2迭代過程中的拉格朗日乘子法如果把式(4)和式(5)看成是HI和VI的函數(shù),則L和C的變化量可用對HI和VI的微分表示為δLi=ξi1δHiΙ+ξi2δViΙ(6)δCi=ξi3δHiΙ+ξi4δViΙ(7)其中i表示迭代步數(shù),并且ξi1=(?L/?HI)i=Li/Hi1+(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q,ξi2=(?L/?VI)i=Hi1(1/TiJ-1/TiI)/q,ξi3=(?C/?HI)i=Hi/Hi1+(1/TiJ-1/TiΙ)/q,ξi4=(?C/?VI)i=-S0/EA-(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q.對于處于第i個迭代步索單元的變形情況,如圖2所示.HiΙ和ViΙ表示節(jié)點I端內力,Li和Ci根據(jù)式(6)和式(7)得到.如果|JiJ|超過某個允許值,繼續(xù)第i+1步迭代,此時的HI和VI可表示為{Ηi+1=ΗiΙ+δΗiΙ=ΗiΙ+αi1δLi+αi2δCiVi+1Ι=ViΙ+δViΙ=ViΙ+αi3δLi+αi4δC(8)其中αi1=ξi4/di,αi2=-ξi3/di,αi3=-ξi2/di,αi4=ξi1/di,di=ξi1ξi4-ξi2ξi3.為了使得迭代過程快速收斂,HI和VI的初始值可按如下取值ΗΙ=-qL2β?VΙ=q2[-Ccoshβsinhβ+S0]?β=√6(√S20-C2/L2-1)(9)迭代收斂后,即可得到HI和VI,然后就可以得到HJ,VJ,TI和TJ.迭代計算流程如圖3所示.3單元剛度矩陣面元根據(jù)式(8),在豎直索平面xz內,單元的節(jié)點力與節(jié)點位移增量的關系可描述如下(注意α2=α3):{δF}=[k′]{δu}(10)式中{δF}={δFΙxδFΙyδFIzδFJxδFJyδFJz}T為單元力列陣;{δu}={δuIδvIδwIδuJδvJδwJ}T為節(jié)點位移增量列陣;[k′]6×6為局部坐標系中的單元剛度矩陣,并且非零元素為:k′11=-k′41=k′14=-k′44=-α1;k′31=k′13=-k′16=-k′34=-k′43=k′46=-k′61=k′64=-α2;k′34=-k′36=-k′64=k′66=-α4.如果定義索平面xz與總體坐標平面XZ之間的夾角為θ,則轉換矩陣[R]為[R]=[t00t](11)其中[t]=[cosθsinθ0-sinθcosθ0001](12)從而總體坐標系下索單元的剛度矩陣和節(jié)點力分別可寫為[k]=[R]T[k′][R],{F}=[R]T{Φ}(13)式中{Φ}={HI0VIHJ0VJ}T.4懸鏈線索單元的應用根據(jù)以上算法,編制了相應程序,并用兩個經典算例進行了驗證.例1圖4所示為一單索結構(虛線為變形后的曲線),結構的彈性模量E=190MPa,截面積A=0.85mm2,在自重均布荷載q=3.16kN·m作用下處于初始平衡狀態(tài).計算在集中荷載P=8kN作用下的節(jié)點位移.和文獻一樣,本文采用兩個索單元進行分析,計算由一步加載迭代17次完成,結果見表1.可以看出,本文推導的懸鏈線索單元能夠得到滿意的結果.例2圖5所示為一預應力空間索網結構,彈性模量E=120MPa,截面積A=0.227mm2,施加在水平單元3,4,8,11上的預應力為5.459kN,而施加在其它單元上的預應力為5.325kN,在節(jié)點4,5,8,9上施加大小為8kN的集中力,節(jié)點4的位移比較見表2.計算結果表明本文導出的懸鏈線索單元能方便地應用于空間索網結構的分析.5算例及分析1)本文根據(jù)索的基本假定和懸鏈線平衡方程,采用索段分析及柔性迭代方法,導出了兩節(jié)點空間懸鏈線索單元幾何非線性有限元分析的全套公式及算