基于隨機(jī)性的金融資產(chǎn)損失評估方法

基于隨機(jī)性的金融資產(chǎn)損失評估方法

一、傳統(tǒng)保證金進(jìn)展法未考慮到已經(jīng)決議賬款的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)和已經(jīng)制通常，會計(jì)在評估準(zhǔn)備錢時(shí)使用已決損失數(shù)據(jù)或請求的返還數(shù)據(jù)，但該方法存在一些缺陷。一方面,對于歷史數(shù)據(jù)中所包含的已決賠款數(shù)據(jù)和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并未有效使用,也就是未充分利用有關(guān)信息;另一方面,在實(shí)務(wù)操作中,基于兩類數(shù)據(jù)得到的最終損失存在較大差異,導(dǎo)致精算師對于已決賠款數(shù)據(jù)和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)的選擇產(chǎn)生困惑。傳統(tǒng)的準(zhǔn)備金進(jìn)展法已經(jīng)考慮到了兩類數(shù)據(jù)的關(guān)系。在確定性準(zhǔn)備金進(jìn)展法中,已決賠款和已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)可以采用兩種形式,即按報(bào)案年統(tǒng)計(jì)和按事故年統(tǒng)計(jì)。相應(yīng)地,準(zhǔn)備金進(jìn)展法也就分為報(bào)案年準(zhǔn)備金進(jìn)展法和事故年準(zhǔn)備金進(jìn)展法。但是,由于報(bào)案年準(zhǔn)備金進(jìn)展法無法評估已發(fā)生未報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金(純IBNR),因此下面只對事故年準(zhǔn)備金進(jìn)展法進(jìn)行介紹。二、準(zhǔn)備金融啟動法(一)試驗(yàn)結(jié)果見表1如果按事故年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),則總會有新的索賠數(shù)據(jù)不斷進(jìn)入統(tǒng)計(jì)范圍,這就給準(zhǔn)備金進(jìn)展法的應(yīng)用造成了一定困難。在應(yīng)用事故年準(zhǔn)備金進(jìn)展法時(shí),要假設(shè)IBNR索賠與已報(bào)案索賠之間具有穩(wěn)定的關(guān)系。對于大多數(shù)報(bào)案較快的險(xiǎn)種來說,在事故年的初期可以積累大量賠案數(shù)據(jù),這就為評估IBNR提供了一個(gè)穩(wěn)定的基礎(chǔ)。假設(shè)事故年和進(jìn)展年的年數(shù)都為n。以Pi,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)已決賠款流量三角形,XPi,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的增量已決賠款流量三角形,Ii,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形,XIi,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的增量已報(bào)案賠款流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金流量三角形記為RVi,j=Ii,j-Pi,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。準(zhǔn)備金進(jìn)展法的基本思想是考察已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的進(jìn)展情況。事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j在下一進(jìn)展年j+1一部分轉(zhuǎn)化為下一進(jìn)展年的增量已決賠款XPi,j+1,另一部分仍為下一進(jìn)展年已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j+1的一部分。(1)我們引入準(zhǔn)備金進(jìn)展率(CEDi,j→j+1比率),對于轉(zhuǎn)化為已決賠款的部分用準(zhǔn)備金支付率(POi,j→j+1比率)表示,對于仍為已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的部分用準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率(CE-Di,j→j+1-POi,j→j+1比率)表示。(二)進(jìn)展年結(jié)算率的計(jì)算步驟一,利用給定的按事故年統(tǒng)計(jì)的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形得到已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的流量三角形,即:步驟二,將給定的按事故年統(tǒng)計(jì)的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形轉(zhuǎn)化為增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款流量三角形,即:1)(3)步驟三,通過事故年i在第j+1個(gè)進(jìn)展年的增量已決賠款除以事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金得到準(zhǔn)備金支付率的流量三角形,進(jìn)而得到各進(jìn)展年支付率的算術(shù)平均數(shù),(2)即:上述式(4)表示準(zhǔn)備金支付率的流量三角形,式(5)表示各進(jìn)展年支付率的算術(shù)平均數(shù)。步驟四,通過事故年i在第j+1個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金除以事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金得到準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率的流量三角形,進(jìn)而得到各進(jìn)展年結(jié)轉(zhuǎn)率的算術(shù)平均數(shù),(3)即:上述式(6)表示準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率的流量三角形,式(7)表示各進(jìn)展年結(jié)轉(zhuǎn)率的算術(shù)平均數(shù)。步驟五,通過步驟一得到的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的上三角數(shù)據(jù)乘以對應(yīng)各進(jìn)展年結(jié)轉(zhuǎn)率的選定值來估計(jì)流量三角形下三角的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金,即:步驟六,將步驟五的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金下三角數(shù)據(jù)乘以對應(yīng)各進(jìn)展年支付率的選定值,得到增量已決賠款的下三角數(shù)據(jù),即:步驟七,將步驟六估計(jì)的增量已決賠款轉(zhuǎn)化為累計(jì)已決賠款,最后一列求和即為所有事故年最終損失(UL)的估計(jì)值,進(jìn)一步可得到所有事故年未決賠款準(zhǔn)備金(CV)和已發(fā)生未報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金(IBNR)的估計(jì)值。(4)三、基于botstro方法的隨機(jī)性準(zhǔn)備過程(一)過度分散泊松模型設(shè)事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的增量已決賠款XPi,j和增量已報(bào)案賠款XIi,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)都服從過度分散泊松(Over-dispersedPoisson)分布。對于增量已決賠款XPi,j,過度分散泊松模型可以表述為:對所有的i和j,XPi,j相互獨(dú)立,而且都服從過度分散泊松分布,參數(shù)由式(12)、(13)、(14)確定。對于增量已報(bào)案賠款XIi,j,過度分散泊松模型可以表述為:對所有的i和j,XIi,j相互獨(dú)立,而且都服從過度分散泊松分布,參數(shù)由式(15)、(16)、(17)確定。上述兩個(gè)模型是一種特殊的廣義線性模型(GLM)。因此,由參數(shù)的最大似然估計(jì)即可得到{XPi,j}和{XIi,j}的擬合值及預(yù)測值。這兩個(gè)模型需要估計(jì)各個(gè)事故年和進(jìn)展年的參數(shù)μiP、μiI和γjP、γjI,其中i、j=1,2,…,n。約束條件(14)和(17)是為了唯一確定這四個(gè)參數(shù),因此每個(gè)模型中估計(jì)參數(shù)的總個(gè)數(shù)為2n-1。(二)在《儲備處理法》中，使用botst類固醇方法模擬未決損害的預(yù)測分布1.主成分殘差分析傳統(tǒng)的準(zhǔn)備金進(jìn)展法雖然考慮了已決賠款數(shù)據(jù)和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)的關(guān)系,但仍然是一種確定性方法,從而只能得到準(zhǔn)備金的均值估計(jì),而不能得到準(zhǔn)備金的波動性度量。針對這一不足之處,可在準(zhǔn)備金進(jìn)展法的基礎(chǔ)上應(yīng)用Bootstrap方法加以補(bǔ)充。(1)對給定的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)(上三角數(shù)據(jù))應(yīng)用準(zhǔn)備金進(jìn)展法,估計(jì)各事故年在每個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額,進(jìn)而得到未決賠款準(zhǔn)備金(5)和IBNR的估計(jì)值。(2)保持最近日歷年累計(jì)已決和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)(對角線數(shù)據(jù))不變,由累計(jì)進(jìn)展因子(6)和對角線數(shù)據(jù)逆向計(jì)算,得到以往每個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額的擬合值,然后得到上三角數(shù)據(jù)的增量擬合值此值與給定的增量賠款之差就是殘差。通過對殘差進(jìn)行分析,選定殘差的類型,這里選用Pearson殘差,即:(3)計(jì)算分散參數(shù)ue788。這里的分散參數(shù)ue788可以通過Pearsonχ2統(tǒng)計(jì)量除以自由度得到,Pearson統(tǒng)計(jì)量是Pearson殘差的平方和,自由度等于已有數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)減去模型中參數(shù)的個(gè)數(shù),即分散參數(shù)ue788的估計(jì)值是:式中,n表示已有數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),p表示模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)。(4)將給定的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形轉(zhuǎn)化為增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款流量三角形。由于前面假設(shè)這兩類增量數(shù)據(jù)服從過度分散泊松分布,因此可以將其視為相應(yīng)事故年和進(jìn)展年的增量賠款額隨機(jī)變量的均值,這樣就可以從均值為XPi,j、方差為ue788p贊XPi,j的過度分散泊松分布中抽取隨機(jī)數(shù)作為模擬的增量已決賠款(上三角數(shù)據(jù))。從均值為XIi,j、方差為ue788I贊XIi,j的過度分散泊松分布中抽取隨機(jī)數(shù)作為模擬的增量已報(bào)案賠款(上三角數(shù)據(jù))。(5)應(yīng)用前面介紹的準(zhǔn)備金進(jìn)展法,計(jì)算相應(yīng)的模擬增量已決賠款(下三角),對這些模擬的增量賠款求和即可得到未決賠款準(zhǔn)備金的均值估計(jì),同時(shí)也可以得到最終損失和IBNR的均值估計(jì)。(6)這些模擬的增量賠款可視為相應(yīng)事故年和進(jìn)展年的增量賠款額變量的均值,這樣就可從均值為方差為的過度分散泊松分布中抽取隨機(jī)數(shù),并把從下三角中抽取的增量賠款隨機(jī)數(shù)求和,以實(shí)現(xiàn)對未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測分布的一次模擬。(7)多次Bootstrap再抽樣后,可得到未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布,進(jìn)而得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等?？紤]到一般情況下,抽樣1000次即可獲得較滿意的參數(shù)估計(jì)值,一般將抽樣次數(shù)定為1000次。重復(fù)上述過程1000次,最后即可得到總準(zhǔn)備金的預(yù)測分布,進(jìn)而得到分位數(shù)以及相關(guān)的分布度量。實(shí)際上,即使抽取10000次,在R軟件的運(yùn)算所需時(shí)間也只有1分鐘左右。2.未決賬款保證金的預(yù)測均方誤差習(xí)慣上,為描述未來增量賠款額預(yù)測值的不確定性,通常采用預(yù)測均方誤差(MSEP)。對于事故年i在進(jìn)展年j的增量賠款額,預(yù)測均方誤差(MSEP)為:其中,Var[XPi,j]是過程方差,Var[X^pi,j]是參數(shù)誤差。應(yīng)用廣義線性模型的一般理論和方法,可以計(jì)算增量賠款額的預(yù)測均方誤差。進(jìn)一步,可以計(jì)算每個(gè)事故年i未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測均方誤差以及各事故年未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測均方誤差,分別為:在計(jì)算上述各個(gè)預(yù)測均方誤差時(shí),遇到的難點(diǎn)是如何計(jì)算參數(shù)誤差。當(dāng)計(jì)算各事故年未決賠款準(zhǔn)備金及未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測均方誤差時(shí),會涉及到相關(guān)性處理,計(jì)算量非常大,具體的論證可參考Wüthrich和Merz(2008)的第6章。本文假設(shè)增量已決賠款數(shù)據(jù)和增量已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)服從過度分散泊松分布,將Bootstrap方法應(yīng)用于準(zhǔn)備金進(jìn)展法中,避免了上述相關(guān)性計(jì)算的復(fù)雜性。在估計(jì)參數(shù)誤差的同時(shí),進(jìn)一步通過隨機(jī)模擬考慮到了過程方差,最終得到未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布。其中,過程方差是分散參數(shù)ue788p和未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值(7)的乘積,參數(shù)誤差采用Bootstrap模擬得到。為了得到Bootstrap方法的參數(shù)誤差,需要多次重復(fù)上述過程,得到一系列未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值,Bootstrap方法的參數(shù)誤差就是多次Bootstrap模擬的未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值的樣本方差。具體地講,事故年i未決賠款準(zhǔn)備金的Bootstrap預(yù)測均方誤差為:各事故年度未決賠款準(zhǔn)備金總額的Bootstrap預(yù)測均方誤差為:式(23)和式(24)中,右邊第一項(xiàng)表示過程方差,第二項(xiàng)表示參數(shù)誤差。3.增量已決收款時(shí)的隨機(jī)抽樣問題這里先對過度分散泊松分布給予簡要補(bǔ)充,給定某正數(shù)ue788,設(shè)隨機(jī)變量Y服從泊松分布,參數(shù)為λ/ue788,那么變量X=ue788·Y就服從過度分散泊松分布,均值為λ,分散參數(shù)為ue788。對于增量已決賠款數(shù)據(jù),每個(gè)XPi,j都服從過度分散泊松分布。從均值為λ、方差為фPλ的過度分散泊松分布中抽取隨機(jī)數(shù),可轉(zhuǎn)化為從均值為λ/фP的泊松分布中抽取隨機(jī)數(shù),最后再乘以分散參數(shù)ue788P。同理,增量已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)的隨機(jī)抽樣問題可類似處理。另外,增量已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)可能存在負(fù)數(shù),而泊松分布的均值不能為負(fù),這樣從流量三角形增量賠款中隨機(jī)抽取樣本就會出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了解決這個(gè)問題,本文對模擬出的增量賠款的每個(gè)單元定義了一個(gè)符號函數(shù),如下所示:布中抽取,最后再乘以同時(shí),由于模擬出的增量已決賠款數(shù)據(jù)也可能存在負(fù)數(shù),因此隨機(jī)抽取樣本時(shí)可做類似處理。(三)防止金融債績業(yè)務(wù)金融債績評估數(shù)據(jù)成為我國的一種重要數(shù)據(jù)本文實(shí)證分析中的累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)來源于《保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金評估實(shí)務(wù)指南》(吳小平),這些數(shù)據(jù)在準(zhǔn)備金評估相關(guān)的文獻(xiàn)中被經(jīng)常引用,此處引用這里的數(shù)據(jù)也是為了更好地與確定性準(zhǔn)備金進(jìn)展法的結(jié)果進(jìn)行比較。四、偽過去提高對未決收款的影響下面以數(shù)值實(shí)例進(jìn)行實(shí)證分析,詳細(xì)說明如何在準(zhǔn)備金進(jìn)展法中利用Bootstrap方法模擬未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測分布,這里采用R語言對其進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)。表1是累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù),表2是累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)。下面是應(yīng)用Bootstrap方法得到未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測分布的詳細(xì)過程。第一步,應(yīng)用準(zhǔn)備金進(jìn)展法,估計(jì)各事故年在每個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額,進(jìn)而得到未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的均值估計(jì)。第二步,利用加權(quán)平均法計(jì)算年度進(jìn)展因子,如表4所示。根據(jù)得到的進(jìn)展因子擬合累計(jì)賠款數(shù)據(jù),得到偽過去累計(jì)賠款數(shù)據(jù),它等于對角線上的累計(jì)賠款數(shù)據(jù)除以各年度的累計(jì)進(jìn)展因子,表5和表6給出了偽過去累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)。第三步,分別得到增量賠款數(shù)據(jù)和偽過去增量賠款數(shù)據(jù),表7和表8給出了兩類偽過去增量賠款數(shù)據(jù)。第四步,由式(18)得到Pearson殘差rP和rI,如表9和表10所示,進(jìn)而計(jì)算出分散參數(shù)фP和фI,第五步,利用Bootstrap方法模擬增量已決賠款數(shù)據(jù)樣本和增量已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)樣本,如表11和表12所示。第六步,對模擬出的增量賠款數(shù)據(jù)應(yīng)用準(zhǔn)備金進(jìn)展法,計(jì)算模擬的增量已決賠款的下三角數(shù)據(jù),進(jìn)而得到一次模擬情況下的未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的估計(jì)值。表13給出了利用模擬數(shù)據(jù)得到的結(jié)轉(zhuǎn)率、支付率、進(jìn)展率的選定值,表14給出了一次模擬的結(jié)果。第七步,利用第四步得到的分散參數(shù)фP,進(jìn)而從均值為的泊松分布中隨機(jī)抽取樣本,再乘以得到從分布中模擬的增量已決賠款數(shù)據(jù)樣本,表15給出了相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。第八步,多次重復(fù)上面的過程,這里重復(fù)次數(shù)為10000次,每一次得到一個(gè)新的Bootstrap樣本和Bootstrap未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值,最后根據(jù)式(23)和式(24)得到Bootstrap的預(yù)測均方誤差。表16給出了最后的計(jì)算結(jié)果,同時(shí)模擬了所有事故年未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測分布,如圖1所示,圖1中的準(zhǔn)備金以千元為單位,其對應(yīng)的分布特征如表17所示。五、完成研究結(jié)論和相應(yīng)的建議(一)預(yù)測誤差的變化根據(jù)以上分析,我們可以得到兩個(gè)主要結(jié)論。(1)從整體趨勢上講,Bootstrap的預(yù)測均方誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講,從第2事故年到第7事故年,賠款數(shù)據(jù)依次減少,所以未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測均方誤差依次增大,該結(jié)論是符合實(shí)際情況的,因?yàn)楫?dāng)已知信息減少時(shí),估計(jì)的誤差就會增大。(2)Bootstrap方法簡單有效,容易理解,在計(jì)算機(jī)上易于編程計(jì)算。(二)未決收款保證金模型第一,目前在我國精算實(shí)務(wù)中,對未決賠款準(zhǔn)備金評估的不確定性風(fēng)險(xiǎn)逐漸引起了人們的重視,對不確定性加以度量顯得很有必要。鑒于準(zhǔn)備金的隨機(jī)模型相對更復(fù)雜,沒有適當(dāng)?shù)能浖?shí)現(xiàn),以及精算實(shí)務(wù)中對隨機(jī)性方法缺乏了解,本文在對隨機(jī)模型(Bootstrap)系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上,根據(jù)流量三角形的具體數(shù)據(jù)特征,假設(shè)增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款都服從過度分散泊松分布,將Bootstrap方法應(yīng)用