考慮滑移的鋼混凝土軸壓剛度計(jì)算

考慮滑移的鋼混凝土軸壓剛度計(jì)算

鋼-混凝土組合梁的原理是由于其經(jīng)濟(jì)性。但是,栓釘?shù)淖冃螌?huì)引起混凝土和鋼梁交界面上產(chǎn)生滑移,使截面的曲率增大,從而使彈性工作階段由換算截面法計(jì)算得到的撓度值總是小于試驗(yàn)值。Newmark等建立了考慮滑移影響的組合梁平衡微分方程,由于公式較為復(fù)雜而不便于在實(shí)際工程中應(yīng)用。我國現(xiàn)行規(guī)范《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50017-2003)中,用折減剛度考慮滑移的影響。折減剛度計(jì)算公式如下:EΙ=EsΙh1+ζ(1)式中:ζ=14.4h0hξ-164.61h0Ι0hΙhξ2(2)ξ=EsA0l2?pnsk,Ι0=Ιs+ΙcαEA0=AcAsαEAs+Ac(3)式中:Ih是完全組合梁的換算截面慣性矩,Es是鋼的彈性模量,Ec是混凝土的彈性模量,αE=Es/Ec,p是抗剪連接件的縱向平均間距,ns是連接件的列數(shù),k是抗剪連接件剛度,k在數(shù)值上等于Ncv,但是量綱為N·mm-1,Ncv是一個(gè)抗剪連接件的承載力設(shè)計(jì)值,單位是N。l是組合梁的跨度,h是組合梁截面的高度,Ac是混凝土翼板截面面積,As是鋼梁截面面積,Ic是混凝土翼板繞樓板中面的慣性矩,Is是鋼梁截面繞自身形心軸的慣性矩,h0是鋼梁截面形心到混凝土翼板截面形心的距離。觀察式(3)可以發(fā)現(xiàn),在ξ=122.861ΙhΙ0時(shí),ζ取極大值ζmax=0.315h0hΙhΙ0,在此之前或之后ζ的值都將變小,而不是隨抗剪件抗滑移剛度的增大而單調(diào)減小。這是不可能的,因?yàn)檫@可能會(huì)出現(xiàn)增加抗剪件,而使折算剛度減小的現(xiàn)象。下面舉一個(gè)具體的算例。C20混凝土板有效寬度be=1860mm,壓型鋼板肋高h(yuǎn)c2=76mm,垂直于鋼梁的壓型鋼板上面混凝土厚hc1=64mm,鋼梁截面為:H400×8×180×12/250×12,栓釘直徑d=16mm,栓釘面積Astud=201.06mm,Es=206kN·mm-2,Ec=25.5kN·mm-2。組合梁設(shè)計(jì)參數(shù)如下:h0=327.95mm,A0=5255.07mm2,I0=2.3142×108mm4,Ih=6.455×108mm4,p=304.8mm,l=5670mm,k=42780N·mm-1,h=540mm。當(dāng)ns分別等于1和2時(shí),代入式(1)～式(3)得到:ns=1時(shí)ξ=0.2399,ζ=0.03531,11+ζ=0.9659,EΙ=12.8438×104kΝ?m2;ns=2時(shí)ξ=0.12,ζ=0.5334,11+ζ=0.6522,EΙ=8.41955×104kΝ?m2可以看出當(dāng)栓釘增加后計(jì)算出的折減剛度反而降低了。值得注意的是上述計(jì)算數(shù)據(jù)均取自一個(gè)實(shí)際工程的算例,因此式(1)應(yīng)該加以改進(jìn)。1剛度組合作用系數(shù)當(dāng)鋼梁和樓板兩者不存在組合作用時(shí),混凝土和鋼梁按照自己的形心軸彎曲,總的截面抗彎剛度為EsI0=EsIs+EcIc,當(dāng)混凝土和鋼梁完全組合時(shí),截面的剛度為EsIh=EsIs+EcIc+EsA0h20。因此,在存在滑移情況下的組合梁剛度設(shè)想可以表示為EΙ=EsΙ0+ψEA0h20(4)式中ψ是鋼與混凝土的剛度組合作用系數(shù)。觀察式(1),可以知道,式(1)對EsIs+EcIc部分也進(jìn)行了折減。但是如果將式(1)改寫成式(4)的形式,則有ψ=EΙ-EsΙ0EsA0h20=Ιh/Ι0-1-ζ(1+ζ)(Ιh/Ι0-1)(5)2滑移橫截面的簡單傾角誤差2.1界面滑動(dòng)剛度公式本文試圖從理論推導(dǎo)出發(fā)求得剛度折減系數(shù)ψ的表達(dá)式。假設(shè)混凝土樓板和鋼梁的撓度相同,抗剪鍵的剪力-滑移關(guān)系呈線性且抗滑移剛度沿梁長均勻;混凝土和鋼梁均處在彈性階段,混凝土和鋼梁的變形滿足各自的平截面假定。假定梁的兩個(gè)部分可以用兩條軸線來代表,以縱向?yàn)閤軸,梁一端為坐標(biāo)原點(diǎn),令橫截面為y,z平面,兩軸平行主方向形成右手直角笛卡爾坐標(biāo)系(圖1)。x,y,z方向的位移記為u,v,w,用u1,u2代表鋼梁和混凝土樓板的形心的縱向位移。根據(jù)平截面假定,混凝土和鋼梁交界面的滑移為s=u2+h2w′-(u1-h1w′)=u2-u1+h0w′(6)如圖2所示,軸力受拉為正,彎矩以z軸正向一邊受拉為正,剪力以微元體發(fā)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。彎矩M、剪力V以規(guī)定的坐標(biāo)軸為依據(jù)確定,假設(shè)q>0表示指向z軸正向,數(shù)值計(jì)算時(shí)以負(fù)值代入,軸力N是指鋼梁內(nèi)的拉力,它與混凝土內(nèi)的壓力相等相反?？倓菽艿囊浑A變分為:δΠ=∫l0(EsAsu′1δu′1+EcAcu′2δu′2+EsΙ0w″δw″+k(u2-u1+h0w′)(δu2-δu1+h0δw′)-qδw)dx-[V1δw(0)+V2δw(l)-Μ1δw′(0)+Μ2δw′(l)-Ν1δu1(0)+Ν1δu2(0)-Ν2δu1(l)+Ν2δu2(l)](7)分部積分后得到:δΠ=-∫l0[EsAsu″1+Κ(u2-u1+h0w′)]δu1dx-∫l0[EcAcu″2-Κ(u2-u1+h0w′)]δu2dx+∫l0[EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q]δwdx+[EsAsu′1(0)+Ν1]δu1(0)-[EsAsu′1(l)-Ν2]δu1(l)+[EcAcu′2(0)-Ν1]δu2(0)-[EcAcu′2(l)+Ν2]δu2(l)+[Κh0u2(0)-Κh0u1(0)+Κh20w′(0)-EsΙ0w?(0)-V1]δw(0)-[Κh0u2(l)-Κh0u1(l)+Κh20w′(l)-EsΙ0w?(l)+V2]δw(l)+[EsΙ0w″(0)+Μ1]δw′(0)-[EsΙ0w″(l)+Μ2]δw′(l)式中:K是鋼與混凝土界面滑移剛度,即Κ=nskp。由變分項(xiàng)的任意性得到:EsAsu″1=-Κ(u2-u1+h0w′)(8a)EcAcu″2=Κ(u2-u1+h0w′)(8b)EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q=0(8c)由位移、滑移關(guān)系qu=Κs=Κ(s0+h0w′)(9)式中:s0=u2-u1為上下截面形心之間的相對滑移。由式(8)和式(9)聯(lián)立可以推得:EsΙ0w(4)-h0q′u-q=0(10a)EsA0s″0=qu(10b)由式(10b)和式(9),得到:w′=(EsA0Κs″0-s0)/h0(11)對式(10b)求一次導(dǎo)數(shù),對式(11)求三次導(dǎo)數(shù),代入(10a)式得到:EsΙ0EsA0s(5)0-ΚEsΙhs?0=qΚh0上式改寫為:s(5)0-ρ2s?0=qΚh0EsΙ0EsA0(12)式中:ρ=√ΚΙhEsA0Ι0。對于承受均布荷載的兩端簡支組合梁,求解上述微分方程得到:s0=-qh06EsΙhx3+C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5(13)代入式(11)求得w的表達(dá)式為:h0w=qh0x424EsΙh+(ΙhΙ0-1)C1chρx+C2shρxρ-16C3x3-(C42+qh02EsΙhEA0Κ)x2+(C3EsA0Κ-C5)x+C6簡支梁有如下邊界條件:w(0)=w(l)=0,w″(0)=0,w″(l)=0;s′0(0)=0,s′0(l)=0將解代入得到跨中撓度為:w=5ql4384EsΙh+5ql4384EsΙh(ΙhΙ0-1)3845?1ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](14)在跨中集中荷載作用下的簡支梁的解為:s0=C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5hscw=1ρ(β-1)(C1coshρx+C2sinhρx)-16C3x3-12C4x2+(C3EsA0k-C5)x+C6此時(shí)簡支梁有如下邊界條件:w(0)=0,w″(0)=0,w′(0.5l)=0,s′0(0)=0,s0(0.5l)=0,khsc[s0(0)+hscw′(0)]-EsΙ0w?(0)=12Ρ將通解代入得到跨中撓度為:w=Ρl348EsΙh+Ρl348EsΙh(ΙhΙ0-1)?3(0.5ρl)2[1-tanh0.5ρl0.5ρl](15)2.2等效剛度的計(jì)算對均布荷載和跨中集中荷載作用下的簡支梁跨中撓度的計(jì)算表明,考慮滑移后,跨中的撓度增加,增大系數(shù)可以從式(14)和式(15)推導(dǎo)出來。記增大系數(shù)為αm,則αm=1+?(ΙhΙ0-1)(16)均布荷載作用下:?=38451ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](17a)跨中集中荷載作用下:?=3(0.5ρl)2(1-tanh0.5ρl0.5ρl)(17b)兩個(gè)?非常接近,并且均可以采用下式很精確地加以近似計(jì)算:?=1010+ρ2l2=1010+Ιh/(ξsΙ0)(18)式中ξs=EsA0Κl2。以上各式的對比見圖4。確定等效剛度的原則是:按照這個(gè)等效剛度計(jì)算的簡支梁跨中撓度為:5ql4384EΙ和Ρl348EΙ應(yīng)該分別與式(14)和式(15)的撓度相等。利用式(14)得到:5ql4384EΙ=[1+?(ΙhΙ0-1)]5ql4384EsΙh即EsΙh=EΙ[1+?(ΙhΙ0-1)],展開得到:Ι0+A0h02=(Ι0+ψA0h02)+?(ΙhΙ0-1)(Ι0+ψA0h02)最后可以得到:ψ=11+10ξs(19)上式滿足兩種極端情況下的ψ值:(i)當(dāng)沒有栓釘時(shí)沒有組合作用,ξs=∞時(shí),ψ=0;(ii)當(dāng)剪切面抗滑移剛度無窮大時(shí),ξs→0時(shí),ψ=1,表示完全的組合。2.3我國栓釘承載力的計(jì)算公式作為鋼-混凝土組合梁的重要組成部分,抗剪連接件保證了鋼梁和混凝土協(xié)同工作。研究組合梁的撓度時(shí),抗剪連接鍵的抗滑移剛度的確定是關(guān)鍵問題之一。栓釘抗滑移剛度的確定采用的是推出實(shí)驗(yàn),得到的栓釘剪力-界面滑移曲線如圖5所示。一般認(rèn)為正常使用極限狀態(tài),栓釘承受的剪力為其極限荷載的50%(文獻(xiàn),平均的荷載系數(shù)1.3左右,混凝土的抗力分項(xiàng)系數(shù)1.4,考慮10%左右的富裕度,則使用極限狀態(tài)驗(yàn)算的荷載水平是極限承載力對應(yīng)荷載的1/(1.1×1.3×1.4)=1/2,而且認(rèn)為此時(shí)鋼-混凝土界面上的滑移為0.5毫米,由此可以計(jì)算出栓釘?shù)目够苿偠仍跀?shù)值上就等于栓釘?shù)臉O限承載力,即在數(shù)值上k=Nvs。因此,只要試驗(yàn)得出了栓釘?shù)目辜魳O限承載力,就可以得到其平均剛度。但是文獻(xiàn)認(rèn)為,在承擔(dān)50%的荷載時(shí)界面的滑移量在0.2mm～0.4mm,在算例計(jì)算中,Johnson采用的直徑19mm長度100mm的栓釘在C30混凝土(按照中國規(guī)范的混凝土強(qiáng)度等級(jí))的抗滑移剛度為150kN·mm-1(相當(dāng)于界面滑移0.33mm),約等于其極限承載力的1.4倍。文獻(xiàn)取極限承載力的2倍作為界面抗滑移剛度。Colin的半足尺試驗(yàn)對直徑9.525mm總高50.4mm的栓釘在C50混凝土中的抗滑移剛度為190kN·mm-1,是按照我國規(guī)范計(jì)算的承載力的7倍。WangC.Y.對一些試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了考察,從結(jié)果看出,栓釘抗滑移剛度的離散性是非常大的,文獻(xiàn)最后取栓釘抗滑移剛度為:k=Νv,ks(20)但是采用上式時(shí)要注意,這里Nv,ks是承載力的標(biāo)準(zhǔn)值,并且不考慮栓釘本身剪切破壞的承載力,只考慮混凝土破壞對應(yīng)的承載力計(jì)算公式?，F(xiàn)在廣泛采用的混凝土破壞對應(yīng)的栓釘承載力,最早由文獻(xiàn)歸納提出,并且在美國的AISCLRFD規(guī)范中仍在使用:Νv,ks=0.5Asf′ckEc≤fuAs(21)式中:Nvs是栓釘?shù)目辜舫休d力,As是栓釘?shù)慕孛娣e,f′ck是混凝土的150×300圓柱體抗壓強(qiáng)度,fu是栓釘?shù)臉O限抗拉強(qiáng)度。美國AISC的LRFD設(shè)計(jì)規(guī)范仍然采用式(21)進(jìn)行栓釘承載力的計(jì)算,其中f′ck被解釋為specifiedminimumcompressivestrengthofconcrete,相當(dāng)于有95%保證率的150×300圓柱體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值,0.85f′ckAc是面積為Ac的混凝土樓板受壓達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的軸壓力,用這個(gè)壓力和式(21)決定栓釘數(shù)量。這種計(jì)算栓釘承載力的方法是標(biāo)準(zhǔn)值對標(biāo)準(zhǔn)值,所以美國AISC規(guī)范沒有給出配合式(21)使用的抗力分項(xiàng)系數(shù)。從試驗(yàn)結(jié)果和公式結(jié)果的對比看,式(21)是平均值,用于我國規(guī)范體系的設(shè)計(jì)顯然偏大。后續(xù)研究得出的有較高保證率的栓釘承載力公式也采用式(21)的形式,僅對其中的參數(shù)進(jìn)行修正,例如ECCS1981《組合結(jié)構(gòu)》曾經(jīng)給出過如下的公式:Νv,ks=0.46Asf′ckEc≤0.7fuAs(22)上式基本上是試驗(yàn)結(jié)果的下限。但是歐洲EC4(2004)對栓釘承載力的計(jì)算公式已經(jīng)改為(設(shè)計(jì)值):Νvs=0.37Asf′ckEcmγv≤0.8Asfuγv(23)式中:f′ck是混凝土的150×300圓柱體抗壓強(qiáng)度特征值(指有95%保證率的強(qiáng)度),Ecm是混凝土平均彈性模量,γv是栓釘承載力的抗力分項(xiàng)系數(shù),EC4建議取為1.25。上式表示的栓釘承載力比我國規(guī)范的設(shè)計(jì)值小10%。我國則取栓釘承載力設(shè)計(jì)值為:Νvs=0.43AsfcEc≤0.7As(1.67fv)=1.169Asfv(24)式中:fc是我國規(guī)范的混凝土強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。注意150×300的圓柱體試件的強(qiáng)度f′ck與我國的150mm立方體試件的強(qiáng)度fcu,k之間存在f′ck=(0.8~0.85)fcu,k=0.8~0.850.88×0.76fck=(0.8~0.85)×1.40.88×0.76fc=(1.675~1.779)fc如果按照式(22)作為栓釘承載力的標(biāo)準(zhǔn)值,換算到我國規(guī)范的有關(guān)記號(hào),得到:Νv,ks=0.46Asf′ckEc=0.46As(1.675~1.779)fcEc=(0.5953~0.6136)AsfcEc上式數(shù)值接近于Νv,ks=1.4×0.43AsfcEc=0.602AsfcEc。如果以EC4公式作為計(jì)算栓釘承載力標(biāo)準(zhǔn)值的依據(jù),則Νv,ks=0.37Asf′ckEcm=0.37As(1.675~1.779)fcEcm=(0.479~0.494)AsEcmfc本文取抗滑移剛度為上述兩個(gè)式子的平均值,即k0.5=1.25×0.43AsfcEc(Ν?mm-1)(25)其值是我國栓釘承載力設(shè)計(jì)值的1.25倍,比Johnson的取值小。在下面與試驗(yàn)結(jié)果的對比中,國內(nèi)的試驗(yàn)結(jié)果中撓度的數(shù)值在P/Pu=0.71～0.77之間讀取,此時(shí)宏觀的非線性已經(jīng)部分開展,而栓釘附近混凝土的非線性開展更加嚴(yán)重,抗滑移割線剛度已經(jīng)下降,此時(shí)取k0.75=11.2×0.43AsfcEc(Ν?mm-1)(26)文獻(xiàn)取0.66Nvs(規(guī)范規(guī)定的設(shè)計(jì)值)作為栓釘?shù)目够苿偠取＆?Ρu=0.45~0.5∶ξs=EsA0nsk0.5l2/p≈0.8EsA0nskl2/p=0.8ξΡ/Ρu=0.7~0.75∶ξs=EsA0nsk0.75l2/p=EsA0ns0.833kl2/p=1.2ξ在下面的試驗(yàn)結(jié)果的對比中,鋼與混凝土的組合作用系數(shù)取Ρ/Ρu=0.45~0.5∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.5A0h02),(27a)ψ0.5=11+8ξ(27b)Ρ/Ρu=0.7~0.75∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.75A0h02),(28a)ψ0.75=11+12ξ(28b)撓度放大系數(shù)可以化為:αm=8ξ+18ξΙ0/Ιn+1(29)αm=12ξ+112ξΙ0/Ιn+1(30)3算法2:外加栓釘計(jì)算[3.2]vg2005下面將本文推導(dǎo)的公式、規(guī)范公式與來自文獻(xiàn)的撓度試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,見表1和表2,其中后面的6個(gè)試件是文獻(xiàn)的。本文公式的誤差見圖6,由圖可見,相對于規(guī)范公式,本文公式的精度有一定的改善,而且公式形式更加簡化。對表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得