2022-2023學(xué)年江蘇省南京天印高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)一模考試數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年南京天印高級(jí)中學(xué)高三第二學(xué)期一?？荚囋嚲?/p>

一.選擇題（共8小題）

1."xe{x|k>g3（2-x）W1}"是"x6{x|b-1|W1}”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在射線y=3x（x>0）上，且|z|='而，則z的虛部為（）

A.3B.3/C.±3D.±3i

3.在五邊形ABC3E中，EB=a.AD=b-M,N分別為4E,8。的中點(diǎn)，則而=（）

A-點(diǎn)亭B.Q亭C.表亭D.笳亭

4.衡陽市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動(dòng)中，大力加強(qiáng)垃圾分類投放宣傳.某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃

圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶.一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋,

隨機(jī)每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對(duì)的概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

9632

5.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，

裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為?的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）

A.144B.72C.36D.24

6.已知函數(shù)g（x）=J§sin（3x+（p）,g（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工，得到/（x）的圖

2

象，/（X）的部分圖象如圖所示，若瓦?前=|屈|2,則3等于（）

A.—B.—C.—D.—

12642

7.某圓錐母線長(zhǎng)為2,底面半徑為料，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為()

A.2B.V3C.V2D.1

8.已知e-2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)。=?-3,6=&-2,c=J-1-歷2,則()

ee

A.a〈b〈cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

多選題(共4小題)

(多選)9.對(duì)于兩條不同直線機(jī)，〃和兩個(gè)不同平面a,0,下列選項(xiàng)中正確的為()

A.若〃z_La,a_L0,則機(jī)

B.若加〃a,n//P，a±P，則m_L〃或〃2〃〃

C.若加〃a,a〃0,則加〃0或加邪

D.若機(jī)_La,mLn,則〃〃a或〃?a

(多選)10.己知函數(shù)/(x)=,x'l，x>0,則下列結(jié)論正確的是()

cosx,X0

A.7(x)是偶函數(shù)B./(/(-3.n))-1

2

C.f(x)是增函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)椋?1,+8)

(多選)11.提丟?斯波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國

的一位中學(xué)老師戴維斯?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)列｛a”｝：

0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離(以天文單位

A.U.為單位).現(xiàn)將數(shù)列｛“”｝的各項(xiàng)乘10后再減4,得到數(shù)列｛為｝,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛囪｝從第3項(xiàng)起,

每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式為3=3X2"-2

B.數(shù)列｛斯｝的第2021項(xiàng)為0.3X22020+0.4

C.數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S?=0.4/?+0.3X2nl-0.3

D.數(shù)列｛泌”｝的前“項(xiàng)和7”=3(n-1)?2"-1

(多選)12.定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)+xf(x)=」才，f(1)=0,則下列說法正

X

確的是()

A./(x)在處取得極大值，極大值為」_

2e

B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

02/14

C.若f（x）在（0,+oo）上恒成立，貝I]k>且

X22

D./（I）</（&）</（?）

三.填空題（共4小題）

13.在二項(xiàng)式（1-3%）〃的展開式中，若所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于64,那么在這個(gè)展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)

是.（用數(shù)字作答）

14.拋物線C：^=2py,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線/的距離為4,則準(zhǔn)線/被圓/+），2-6x=0截得的弦長(zhǎng)為.

15.若直線y=-2x+2與曲線>=上火3-ax相切，則.

33

22

16.已知橢圓C：二/_=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi（-2,0）和F2（2,0）,直線/過點(diǎn)Fi，點(diǎn)F2關(guān)于/的

對(duì)稱點(diǎn)A在C上，且（F[A+4F）?AF；=6,則C的方程為.

四.解答題（共6小題）

17.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S,”“1=1,S?+i+2Sn-i=3Sn（n>2）.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）令/J_,求數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和T“.

n2nSn+1

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知tanA=1.

3

<1）若。=J7，c=a，求方的值；

（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D,=A,a=2,求△AC。的面積.

2AABC3

19.2020年將全面建成小康社會(huì)，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾.目前脫貧攻堅(jiān)已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段，某貧困

縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2.用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年

收入數(shù)據(jù)（單位：萬元），繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住

在山區(qū).

（1）完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收

入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).

超過1.5不超過總計(jì)

萬元1.5萬元

平原地區(qū)

山區(qū)10

總計(jì)

2

附：K1—-----、?(蚓-卜)----,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(修2)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

(2)根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率.為了更好地落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，從2020年9

月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶作為“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”，

記“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

20.如圖，三棱柱ABC-4BQ中，側(cè)面8CGB1為矩形，AB8A是邊長(zhǎng)為2的菱形，BC=\,AC=&,

(1)證明：平面AiBCL平面ABBiAi；

(2)若AC=AiC,求三棱柱ABC-AbBiG的體積.

21.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：A_+Z_=l(a>/,>0)的左、右焦點(diǎn)分別Q、B焦距為2,

2°

且與雙曲線工--尸=1共頂點(diǎn).P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PFi交橢圓C于另一點(diǎn)Q.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,b),求過P、Q、尸2三點(diǎn)的圓的方程；

(3)若第=入西，且入日微，2J,求而?演的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)(aGR)(其中e^2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

04/14

（1）當(dāng)“=1時(shí)，求證：函數(shù)/（X）圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于微；

（2）若f5）〉工111鼠+1）+*$乂對(duì)于任意的在［0,+8）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2022-2023學(xué)年南京天印高級(jí)中學(xué)高三第二學(xué)期一?？荚囋嚲?/p>

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

a

1.xG{x|log3（2-x）W1}”是“xe{琲"的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在射線y=3x（x>0）上，且|z|=/正，則z的虛部為（）

A.3B.3/C.+3D.±3i

故選：A.

3.在五邊形ABCQE中，而=之，AD=b，M,N分別為30的中點(diǎn)，則誣=（）

A.亭B.齊亭C.占亭D.於亭

故選：C.

4.衡陽市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動(dòng)中，大力加強(qiáng)垃圾分類投放宣傳.某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃

圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶.一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋,

隨機(jī)每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對(duì)的概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

9632

故選：D.

5.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，

裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為我的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）

A.144B.72C.36D.24

故選:B.

6.已知函數(shù)g（x）=J^sin（uir+（p）,g（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工，得到了（X）的圖

2

象,一（尤）的部分圖象如圖所示，若標(biāo).前=|ABI2-則3等于（）

A.—B.—C.—D.—

12642

故選：A.

7.某圓錐母線長(zhǎng)為2,底面半徑為舊，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）

A.2B.V3C.A/2D.1

故選：A.

8.已知e^2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)“=遙-旦，-2,c=eV2-l-/?2,Ml］（）

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.

故選：A.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.對(duì)于兩條不同直線相，”和兩個(gè)不同平面a,0,下列選項(xiàng)中正確的為（）

A.若,"_La,a_L0,則〃

B.若，?i〃a,n//p,a_Lp?則，w_L〃或加〃〃

C.若機(jī)〃a,a〃0,則機(jī)〃0或機(jī)?0

D.若，"_La,，w_L”,則〃〃a或"?a

故選：ACD

(多選)10.已知函數(shù)/(x)=,x?+l，x>0,則下列結(jié)論正確的是()

cosx,x<C0

A./(x)是偶函數(shù)B./(/(-2.n))-1

2

C.f(x)是增函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)椋?1,+8)

故選：BD.

06/14

（多選）11.提丟?斯波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國

的一位中學(xué)老師戴維斯?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)列｛金｝：

0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離（以天文單位

4.U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)乘10后再減4,得到數(shù)列｛a｝,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛與｝從第3項(xiàng)起,

每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為6“=3X2”-2

B.數(shù)列｛斯｝的第2021項(xiàng)為0.3X22020+0.4

C.數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S"=0.4〃+0.3X2"r-0.3

D.數(shù)列｛?”｝的前“項(xiàng)和7”=3（n-1）?21

故選：CD.

（多選）12.定義在（0,+8）上的函數(shù)/（x）滿足（x）+xf（x）/（I）=0,則下列說法正

X乙

確的是（）

A./（x）在x=4處取得極大值，極大值為」」

2e

B.f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

c.若/co<k--L在（0,+8）上恒成立，則且

x22

D./（I）</（V2）</（V3）

故選：ACD.

三.填空題（共4小題）

13.在二項(xiàng)式（1-3x）”的展開式中，若所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于64,那么在這個(gè)展開式中，，項(xiàng)的系數(shù)是

135.（用數(shù)字作答）

故答案為135

14.拋物線C：xz=2py,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線/的距離為4,則準(zhǔn)線/被圓?+/-6x=0截得的弦長(zhǎng)為，遙

娓,

故答案為：

15.若直線y=-2x+2與曲線y=-以相切，則。=3.

33

故答案為：3.

22

16.已知橢圓C：號(hào)三=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi（-2,0）和F2（2,0）,直線/過點(diǎn)八，點(diǎn)22關(guān)于/的

______22

對(duì)稱點(diǎn)A在。上，且（FiA+4FI；），AF；=6,則。的方程為J—=I_.

ii/1z95

22

故答案為：

95

四.解答題(共6小題)

17.已知等比數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”,ai=l,S"+I+2S"T=3S(〃22).

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)令人=土工，求數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和Tn.

nSnSn+1

【解答】解：(1)由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

則當(dāng)<7=1時(shí)，S?+i+2S?-i=(n+1)ai+2(n-1)a\=3n-1,

3Sn=3na\=3n,

Sn+\+25〃-1#3S〃，

顯然q=l不符合題意，故q￥l,

當(dāng)時(shí)，s,尸21(7)=上已

1-q1-q

1nT

S〃+1=S“-i=1-q

1-q1-q

?Sn+1+2Sn-1~3S/7,

-n+1in-1rn

—+2±13_=3

1-q1-q1-q

即1-產(chǎn)+2(I-，")=3(I"),

化簡(jiǎn)，得(q-2)(q-1)=0,

且qWO,：.q=2,

.,.即=1?2"-1=2""，〃€N*.

(2)由(1)知，s〃=上21,s”+i=±對(duì);.，

1-21-2

則b.上_=——二——=2n=1.1

nHn1nn+1

nSnSn+11-2\-2(2-i)(2^-l)2-l2-l

1-21-2

T〃=bi+b2+…+b〃

=_1_-.._!一

21-122-l22-l23-l2n-l2n+1-l

08/14

18.在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知tanA=1_.

（1）若。c=M，求b的值；

（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)O,S-ABD"a=2,求△ACC的面積.

2AABC3

【解答】解：（1）因?yàn)閠anA=1,

所以cosA=Y2,

2

由余弦定理得a2=b2+c1-2/?ccosA=7,

即從-3b-4=0,

解得b=4或〃=-1（舍），

（2）因?yàn)橐灿?」，

^AABC3

所以也幽=工，

S?2

因?yàn)?C4Q=N8A。，

所以￡=工，

b2

因?yàn)閍-2,

222

由余弦定理得C+4C-4CX亨=4,

故c2=——&

5-2V3

所以SAABC=--bcsinA~~~X2X—=

/\ACD的面積SMCD=—x―2。+8?=20+8V3

35-2V33939

19.2020年將全面建成小康社會(huì)，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾.目前脫貧攻堅(jiān)已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段，某貧困

縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2.用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年

收入數(shù)據(jù)（單位：萬元），繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住

在山區(qū).

（1）完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收

入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).

超過1.5不超過

萬元1.5萬元

平原地區(qū)

山區(qū)10

總計(jì)

2

附：r=1---、?)、/----其中〃=a+b+c+4.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(產(chǎn)》4)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

(2)根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率.為了更好地落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，從2020年9

月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶作為“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”，

記“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

欽率

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可知，超過1.5萬元的頻率為(0.5+0.4+0.1)X0.5-0.5,

所以超過1.5萬元的戶數(shù)有100X0.5=50戶，

又因?yàn)槠皆貐^(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2,抽取了100戶，

故平原地區(qū)的共有60戶，山區(qū)地區(qū)的共有40戶，

又樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)，所以超過1.5萬元的有40戶居住在平原地區(qū),

不超過1.5萬元的有20戶住在平原地區(qū)，有30戶住在山區(qū)地區(qū)，

故2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表如下：

超過1.5萬元不超過1.5萬元總計(jì)

平原地區(qū)402060

山區(qū)103040

總計(jì)5050100

10/14

n(ad-bc)210QX(40X30-10X20)2

則心==

=詈=16.667>10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60X40X50X50o

所以有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān);

(2)由(1)可知，選1戶家庭在平原的概率為2,山區(qū)的概率為3,

55

X的可能取值為0,1,2,3,4,

所以P(X=0)=c；(卷)°(卷)4=-^-

!x396.

p(x=i)-c：(J；)6=25

P(X=2)=(_11)2=216,

iJ625

1=216

P(X=3)=c：6；)625’

P(X=4)-烯(1g旦,

「625

所以X的分布列為:

X01234

p169621621681

625625625625625

因?yàn)閄服從二項(xiàng)分布X?B(4,3),

5

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4X3」2=2.4-

55

20.如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面3CC向?yàn)榫匦?，ABBA是邊長(zhǎng)為2的菱形，8c=1,AC=遙,

(1)證明：平面48cl,平面ABBiAi；

(2)若AC=AiC,求三棱柱ABC-。的體積.

【解答】(1)證明：因?yàn)閭?cè)面BCGBi是矩形，所以BCLBBi，

又因?yàn)锽C=1,AB=2,AC=遙,所以BC2+Ag2=AC2,

所以8c又ABCB—所以8C_L平面AB81A1，

又因?yàn)锽C?平面A\BC,所以平面48CL平面ABB14；

(2)解：取A4的中點(diǎn)“，連接CM,BM,因?yàn)锳C=A|C,所以CM，A4i，

又因?yàn)镃8JL平面A88i4，所以

且CMA8M=M,所以A4i_L平面BCM；

因?yàn)镃M=JAC2-AM2=45-F=2,所以BM=,MC?-BC2=V4-l=V3，

所以三棱柱ABC-4BiCi的體積為：

V=SABC“?AAI=A?BM?BC?AAI=』XMX1X2=F.

22

21.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：z+z=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別Q、F2焦距為2,

2,

且與雙曲線三_-y2=i共頂點(diǎn).p為橢圓c上一點(diǎn)，直線PFi交橢圓C于另一點(diǎn)Q.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,b）,求過P、。、乃三點(diǎn)的圓的方程；

（3）若用=入西，且入日技，2],求而?質(zhì)的最大值.

【解答】解：（1）由題意得c=l,J=2…（2分）

2°

故橢圓的方程為二+丫2=1.…（3分）

2，

（2）因?yàn)槭?,1）,F\（-1,0）,所以尸門的方程為x-y+l=0

由（x；y+l=：，解得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一上，…（5分）

2

x+2y=233

設(shè)過P,Q,尸2三點(diǎn)的圓為/+）?+￡>x+Ey+F=0…（6分）

1+E+F=O

W解得嶺

則

T萬D字+F=。

所以圓的方程為x2+y2+yx+1-y^=0,**（8分）

⑶設(shè)尸（肛，yi）,Q（X2,）2），貝I]甲=（X1+1,y。QF\=（-l-x2，-y2）

12/14

X<+1=(-l-Xn)X]=一入X2■■入-1

因?yàn)镕[,=入QF,所以，，即,

丫1="丫2了[=-”2

(-人X2-入-I)?

22,

-------2-------*入y2=1

所以，解得上部-…（10分）

2X22入

x2.2.

T+y2=1

II

所以O(shè)P?OQMX]”+y1丫2="2（-”乂2一人一1）-入了鄉(xiāng)二W-x：-（1+入）,2-入

=々（?^■）2-（1+人）人手）…。2分）

人2人4o