新教材2023高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程第二章直線和圓的方程章末復(fù)習(xí)課新人教A版選擇性必修第一冊

第二章直線和圓的方程章末復(fù)習(xí)課回顧本章學(xué)習(xí)過程、建構(gòu)“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”之間的聯(lián)系.要點(diǎn)訓(xùn)練一直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率是直線方程中最基本的兩個(gè)概念,它們從“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面刻畫了直線的傾斜程度.(1)傾斜角的范圍是[0,π).(2)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系:①當(dāng)α≠90°時(shí),k=tanα;②當(dāng)α=90°時(shí),斜率不存在.(3)斜率公式:經(jīng)過A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)兩點(diǎn)的直線的斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2),應(yīng)用時(shí)注意其適用的條件x1≠x2,1.過點(diǎn)M(-2,a),N(a,4)的直線的斜率為-12,則a等于()A.-8 B.10 C.2 D.4解析:因?yàn)檫^點(diǎn)M(-2,a),N(a,4)的直線的斜率為-12,所以有4-aa-(-2)答案:B2.直線3x+y+1=0的傾斜角的大小為()A.30° B.60° C.120° D.150°解析:由直線方程3x+y+1=0,可知直線的斜率k=-3.設(shè)直線的傾斜角為α,則tanα=-3.因?yàn)棣痢蔥0,π),所以α=120°.答案:C3.已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),直線l過點(diǎn)P(1,1),且與線段AB相交,則直線l的斜率k滿足()A.k≥34或k≤-4 B.k≥34或k≤C.-4≤k≤34 D.34≤解析:如圖所示,過點(diǎn)P作直線PC⊥x軸交線段AB于點(diǎn)C,作直線PA,PB.當(dāng)直線l與線段AB的交點(diǎn)在線段AC(不含點(diǎn)C)上時(shí),直線l的傾斜角為鈍角,斜率k的范圍是k≤kPA.當(dāng)直線l與線段AB的交點(diǎn)在線段BC(不含點(diǎn)C)上時(shí),直線l的傾斜角為銳角,斜率k的范圍是k≥kPB.因?yàn)閗PA=-3-12-1=-4,k所以直線l的斜率k滿足k≥34或k≤-4答案:A4.若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三點(diǎn)在同一直線上,則實(shí)數(shù)b=-9.解析:因?yàn)锳(3,1),B(-2,b),C(8,11)三點(diǎn)在同一直線上,所以kAB=kAC,即b-1-2-3=要點(diǎn)訓(xùn)練二距離問題距離問題包含兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩平行直線間的距離,牢記各類距離公式并能直接應(yīng)用.解決距離問題時(shí),往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合.1.直線l過點(diǎn)P(1,2),且M(2,3),N(4,-5)到直線l的距離相等,則直線l的方程是()A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0解析:由條件可知直線l平行于直線MN或過線段MN的中點(diǎn),MN的斜率為3+52-4當(dāng)直線l∥MN時(shí),l的方程是y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0.當(dāng)直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)(3,-1)時(shí),l的斜率為2+11-3l的方程是y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0綜上所述,直線l的方程為3x+2y-7=0或4x+y-6=0.答案:C2.從點(diǎn)A(1,-2)射出的光線經(jīng)直線l:x+y-3=0反射后到達(dá)點(diǎn)B(-1,1),則光線所經(jīng)過的路程是()A.11 B.13 C.213 D.37解析:設(shè)點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于直線l:x+y-3=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(x0,y0),則y解得x0=5,y0=2.所以點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于直線l:x+y-3=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A'(5,2)答案:D3.(2020全國卷Ⅲ)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.2解析:點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離d=|1+k|k2因?yàn)橐缶嚯x的最大值,故需k>0.因?yàn)閗2+1≥2k,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號成立,所以d≤1+2k2k=2,當(dāng)故選B.答案:B4.若點(diǎn)M(m,n)為直線l:3x+4y+2=0上的動(dòng)點(diǎn),則m2+n2的最小值為425解析:由題意知m2+n2的最小值表示:直線l:3x+4y+2=0上的點(diǎn)M(m,n)到點(diǎn)(0,0)的最短距離的平方.因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)到直線l:3x+4y+2=0的距離為|0+0+2|9+16=25,所以m2+n要點(diǎn)訓(xùn)練三直線的方程(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法,要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化,能根據(jù)條件靈活選用方程,當(dāng)不能確定某種條件是否具備時(shí),要另行討論條件不滿足的情況.(2)運(yùn)用直線系方程的主要目的是使計(jì)算簡捷.1.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分線所在直線的方程為y=x+1,則直線AC的方程為()A.y=2x+4 B.y=12x-C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0解析:設(shè)點(diǎn)A(3,1)關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為A'(x1,y1),則y1-1x1-3=-1,y1+12=x1+32+1,解得x1=0,y1=4,即A'(0,4).所以直線A'B的方程為答案:C2.直線mx-y-m+2=0過定點(diǎn)A,若直線l過點(diǎn)A且與直線2x+y-2=0平行,則直線l的方程為()A.2x+y-4=0 B.2x+y+4=0C.x-2y+3=0 D.x-2y-3=0解析:由mx-y-m+2=0,得y-2=m(x-1),所以直線mx-y-m+2=0過定點(diǎn)A(1,2).又因?yàn)橹本€2x+y-2=0的斜率k=-2,且與直線l平行,所以直線l的斜率為-2,所以直線l的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.答案:A3.經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線方程是x+y=2或x-y=0.解析:當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為x+y=a.把點(diǎn)A(1,1)代入可得1+1=a,即a=2,此時(shí)直線的方程為x+y=2.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),直線的方程為y=x,即x-y=0.綜上可得,滿足條件的直線方程為x+y=2或x-y=0.4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(4,6),C(0,8),則BC邊上的高所在直線的一般方程為2x-y-6=0.解析:BC邊所在直線的斜率kBC=8-60-4=-12所以BC邊上的高所在直線的方程為y=2(x-3),化為一般式方程為2x-y-6=0.要點(diǎn)訓(xùn)練四圓的方程(1)求圓的方程的常用方法有待定系數(shù)法、幾何法等,運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí),要充分利用題目中提供的三個(gè)條件來確定三個(gè)獨(dú)立的參數(shù);使用幾何法時(shí),要充分利用圓的有關(guān)性質(zhì),如垂徑定理、“半徑、弦的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形”等.(2)如果已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑,則一般選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,否則選用圓的一般方程.1.過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為()A.(x-3)2+y2=2 B.(x-3)2+y2=4C.(x+3)2+y2=2 D.(x+3)2+y2=4解析:設(shè)圓心C(a,b).因?yàn)橹本€x-y-1=0與圓C相切于點(diǎn)B(2,1),所以斜率kBC=b-1a-2=-1,即a+b-3=0.因?yàn)锳B所在直線為y=1,所以圓心C滿足直線x=3,即a=3,所以b=0,所以半徑r=(3-2)2+(0-1答案:A2.已知過點(diǎn)(2,2)的圓C的圓心在直線x-y=0上,且與直線x+y=0相切,則圓C的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.解析:根據(jù)圓C的圓心在直線x-y=0上,可設(shè)圓C的圓心為(a,a),半徑為r.由圓C過點(diǎn)(2,2)且與直線x+y=0相切,得r2=(2-a)2+(2-a)2=|2a|1所以圓心的坐標(biāo)為(1,1),所以r2=(2-1)2+(2-1)2=2,所以圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.3.(1)已知圓M經(jīng)過A(2,-3)和B(-2,-5)兩點(diǎn),若圓心在直線x-2y-3=0上,求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)和C(0,1)的圓N的一般方程.解:(1)由點(diǎn)A(2,-3)和點(diǎn)B(-2,-5)可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),其所在直線的斜率kAB=-5+3-2-2=12.所以線段AB的垂直平分線的方程為y+4=-2(x-0),即所以2x+y+4=0,x-2y-3=0所以半徑r=(-1-2所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(2)設(shè)圓N的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因?yàn)閳AN過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)和C(0,1),所以1-D所以圓N的一般方程為x2+y2-2x+2y-3=0.要點(diǎn)訓(xùn)練五直線與圓的位置關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系,一般用代數(shù)法或幾何法,為避免煩瑣的運(yùn)算,最好用幾何法,其解題思路是:先求出圓心到直線的距離d,然后比較所求距離d與半徑r的大小關(guān)系,進(jìn)而判斷直線和圓的位置關(guān)系.1.直線x+3y-2=0被圓(x-1)2+y2=1截得的線段的長為()A.1 B.2 C.3 D.2解析:由題意,知圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=1,則圓心到直線的距離d=|1+0-2所以截得的線段長為2r2-d答案:C2.已知圓C:x2+y2-4x=0與直線l相切于點(diǎn)P(1,3),則直線l的方程為()A.x-3y+2=0 B.x-3y+4=0C.x+3y-4=0 D.x+3y-2=0解析:圓C的方程x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4,顯然過點(diǎn)P(1,3)的直線x=1不與圓C相切.因?yàn)檫^點(diǎn)P和圓心的直線斜率為0-32-1=-3,所以直線l的斜率為33,利用直線的點(diǎn)斜式方程,可得y-3=33(x-1),整理得答案:A3.已知直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且與圓x2+y2-4x+3=0相切,切點(diǎn)在第四象限,則直線l的方程為x+3y=0.解析:由題意,知直線l的斜率存在.不妨設(shè)過原點(diǎn)的直線l的方程為y=kx.把y=kx代入圓的方程,整理得(1+k2)x2-4x+3=0.由Δ=0,解得k=-33k=33舍去.所以直線l4.已知圓C和y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且被直線y=x截得的弦長為27,求圓C的方程.解:設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).由圓C與y軸相切,得|a|=r.①因?yàn)閳A心在直線x-3y=0上,所以a-3b=0.②因?yàn)閳A心C(a,b)到直線y=x的距離d=|a所以|a-b|22+(7)聯(lián)立①②③,得方程組|解得a故圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.要點(diǎn)訓(xùn)練六圓與圓的位置關(guān)系兩個(gè)不相等的圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含,其判斷方法有兩種:代數(shù)法(解兩圓的方程組成的方程組,根據(jù)解的個(gè)數(shù)來判斷)、幾何法(由兩圓的圓心距d與半徑長r,R的和或差的大小關(guān)系來判斷).(1)求相交兩圓的公共弦長時(shí),可先求出兩圓公共弦所在直線的方程,再利用相交兩圓的幾何性質(zhì)和勾股定理來求弦長.(2)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.1.圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.外離 C.外切 D.相交解析:由題意可得,兩圓方程分別為x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,所以兩圓圓心分別為(0,0),(2,-1),半徑分別為r1=1,r2=3,所以圓心距d=(2-0因?yàn)閨r1-r2|<5<r1+r2,所以兩圓相交.答案:D2.已知圓C1的圓心在x軸上,半徑為1,且過點(diǎn)(2,-1),圓C2:(x-4)2+(y-2)2=10,則圓C1,C2的公共弦長為()A.624 B.32 C.3解析:設(shè)圓C1的圓心為(a,0),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=1.將點(diǎn)(2,-1)代入圓C1的方程,得(2-a)2+(-1)2=1,解得a=2,故圓C1的方程為(x-2)2+y2=1.將圓C1,C2的方程作差得其公共弦所在直線的方程為4x+4y-7=0,所以圓心C1(2,0)到該直線的距離為|8-7|16+16=28,答案:A3.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2mx-8=0(m>0)的公共弦長為22,則m=2.解析:圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2.將x2+y2=4與x2+y2+2mx-8=0相減,得公共弦所在直線的方程為mx-2=0,所以圓心(0,0)到公共弦所在直線的距離為|-2|m2=2m(m>0),所以22-(2)4.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圓C1與圓C2外切,求實(shí)數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下,若直線l與圓C2的相交弦長為23且過點(diǎn)(2,1),求直線l的方程.解:(1)由圓C1:x2+y2=1,得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1.因?yàn)閤2+y2-6x+m=0可化為(x-3)2+y2=9-m,所以圓C2的圓心為C2(3,0),半徑r2=9-因?yàn)閳AC1與圓C2外切,所以|C1C2|=r1+r2,即3=1+9-m,解得m=(2)由(1)得m=5,圓C2的方程為(x-3)2+y2=4,圓心C2(3,0),半徑r2=2.由題意可得圓心C2到直線l的距離d=r22-當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,符合題意;當(dāng)直線l斜率為k時(shí),直線方程為y-1=k(x-2),化為一般方程為kx-y-2k+1=0,此時(shí)圓心C2(3,0)到直線l的距離d=|k+1解得k=0,所以直線方程為y=1.綜上所述,直線l的方程為x=2或y=1.要點(diǎn)訓(xùn)練七分類討論思想由于直線的斜率及直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程的局限性,在解決直線的斜率、直線與直線的位置關(guān)系問題時(shí),常常用到分類討論思想.1.已知直線l的方程為ax+2y-a-2=0(a∈R).(1)若直線l與直線m:2x-y=0垂直,求a的值.(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求該直線的方程.解:(1)因?yàn)橹本€l與直線m:2x-y=0垂直,所以-a2×2=-1,解得a=1(2)當(dāng)a=0時(shí),直線l的方程化為y=1,不滿足題意,舍去.當(dāng)a≠0時(shí),可得直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為0,a+2因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以a+22=a+2a,所以該直線的方程為x-y=0或x+y-2=0.2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點(diǎn)(1,1).(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;(2)若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為14,求直線l的方程解:(1)①若直線l過原點(diǎn),則直線l的方程為y=x.②若直線l不過原點(diǎn),設(shè)直線l的方程為xa+ya=1(將點(diǎn)(1,1)的坐標(biāo)代入,得1a+1a=1,解得此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.綜上所述,直線l的方程為y=x或x+y-2=0.(2)由題意,知直線l的斜率存在且不為0,所以可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+1(k≠0),可得直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1-k),k-所以12×|1-k|×k-1k=14,解得